Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа (модуль «Определенный интеграл и несобственные интегралы»). Учебное пособие
.pdf
91
Рисунок 43
2
1
k
3
1
k
На рисунках 44 и 45 изображены, соответственно, «розы», у которых
.
Рисунок 44
и
92
6
1
6
6
0
2
6
0
6
0
2
2
2
6
0
2
6
6sin
4
6cos1
4
3cos
22
1
6
1 a
d
a
d
a
dS
646
sin
64
22
aa
4
2
aS
Рисунок 45
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой.
Решение: каждый лепесток розы можно разбить на две одинаковые части.
Лепестки конгруэнтны, значит, можно найти
искомой площади. Радиус – вектор
точки кривой «заметает» эту часть при изменении угла
образом,
.
Ответ:
(кв. ед.).
от 0 до
. Таким
93
5.8 Примеры решения задач
.sin
,cos
tay
tax
2
0
2
2
0
22
2
0
2cos1
2
1
sinsinsin
2
1
dttatdtatdtatadttxtyS
t
t
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2sin
2
1
2
2cos
2
att
a
tdtdt
a
2aS
20,sin,cos ttaytax
x
y
0
t
a
2
1
22
t
t
dtyxl
2
0
2
0
22
2cossin adtadttatal
a2
1 Окружность радиуса a
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией:
Решение: для вычисления площади воспользуемся формулой
Ответ:
Задача 2. Найти длину окружности радиуса a.
Решение: окружность (см. рисунок 46) в параметрической форме задается
уравнениями:
(кв. ед.).
(кв. ед.).
.
Согласно формуле
Ответ:
(ед.).
Рисунок 46
получим
.
94
Задача 3. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
222
ayx
.Ox
b
a
x
dxyV
2
tay
tax
sin
cos
0
33
0
2
22
sinsinsin tdtadttatadxydxyV
a
a
b
a
x
0 0
2323
0
33
coscos1sinsinsin tdtatdttatdta
.
3
8
3
cos
cos
3
0
3
0
3
at
ta
3
83
a
V
x
a
dS
2
2
1
линией
вокруг оси
Решение: для вычисления объёма воспользуемся формулой
Запишем уравнение окружности в параметрическом виде
Ответ:
(куб. ед.).
.
. Тогда получим
3 Спираль Архимеда
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной одним витком спирали
Архимеда
Решение: Кривая (см. рисунок 47) задана в полярной системе координат,
поэтому для нахождения площади применим формулу
.
.
95
Рисунок 47
.
3
4
322
1
32
2
0
32
2
0
2
a
a
daS
32
3
4
aS
a
А
dl
0
22
vddv
d
duu
dadaal
2
2
2
0
2
2
0
2
2
1
1
1
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
1
11
412
1
1 da
d
a
2
0
2
0
2
22
2
0
2
2
0
22
1
1412
1
1412
d
adaa
d
da
2
0
2
0
2
22
2
0
2
1
14121
d
adaada
Тогда получим
Ответ:
(кв. ед.).
Задача 2. Найти длину дуги спирали Архимеда
(см. рисунок 48).
Решение: по формуле
получаем
от полюса O до точки
Рисунок 48
.
Решим уравнение относительно искомого интеграла
.
96
2
0
22
2
0
2
1ln41212 aada
,
22
2
0
2
412ln
2
411
a
ada
22
2
0
2
412ln
2
411
a
ada
22
2
0
2
412ln
2
411
a
adal
22
412ln
2
41 aal
cos1a
a
.
,cos1aa
m
n
1
A
2
A
1
S
2
S
O
a
cos1a
2
;1aA
2;2aA
OOmA
1
nOOA
1
,
.
Тогда
Ответ:
4 Кардиоида
Задача 1. Найти площадь ограниченную кардиоидой
окружностью
(см. рисунок 49).
Решение: найдем точки пересечения кардиоиды с окружностью, для этого
решим систему уравнений
ед.
(ед.).
и
Рисунок 49
Таких точек две:
и
.
Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов
и
97
nOOAOOmA
SSS
11
.
0
2
2
2
0
2
2
2
21
2
1
cos1
2
1
222 dadaSSSS
2
0
2
2
2
2
0
22
2cos1
2
1
cos21coscos21 dadada
2
0
22
2
2
2
2cos
2
1
cos2
2
3
adaa
0sin
2
sin20
22
3
2
2sin
4
1
sin2
2
3
22
2
0
2
aaa
22
2
02sin
2
2sin
4
1
0sin
2
sin20
22
3
aa
2
4
5
2
2
4
3
2
0
4
1
12
4
3
2222
aaaa
1
8
5
22aS
1
8
5
22aS
cos1a
,sin
,cos
y
x
),cos1(sinsin
),cos1(coscos
ay
ax
В первом секторе полярный угол меняется от
.
Тогда
до
, а во втором – от
до
Следовательно,
Ответ:
(кв.ед.).
(кв.ед.).
Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
.
Решение: используя формулы перехода
кардиоиды (см. рисунок 50) в параметрической форме
кв.ед.
запишем уравнение
принимая полярный
угол за параметр.
98
Фигура ограниченная кардиоидой симметрична относительно оси Оx, поэтому
dttxtyS
1coscos12,2 aaa
.00cos1cos10,0 a
sin2sincoscos1 aax
dadaaS sin2sincossinsin2sin2sinsincos12
0
2
0
0
2222
cossinsin2sin
2
1
sin2sin2 da
0 0 0 0
222
sinsin2cos1
2
1
4cos1
2
1
2
1
cossin22 dddda
0 0 0 0
2
00
22
sinsin2cos
2
1
2
1
4cos
4
1
4
1
sinsin22 dddddda
0 0 0 0
2
00
22
sinsin2cos
2
1
2
1
4cos
4
1
4
1
sinsin22 dddddda
2
3
2sin
4
1
4sin
16
1
4
3
sin2
2
000
0
32
aa
2
2
3
aS
.0,cos1 aa
.
2
2
dl
можно найти удвоенную площадь ее половины.
Для нахождения площади применим формулу
границы интегрирования:
для
а для
Так как
. Найдем
,
, то искомая площадь равна
(кв.ед.)
Ответ:
Задача 3. Найти длину кардиоиды
(кв.ед.).
Решение: вычислим длину кардиоиды (см. рисунок 51) по формуле
Сначала найдем половину длины кривой:
99
Рисунок 50
.
2
sin2cos22sincos1
00 0
2
22
1
dadadaal
sin
j
2
> 0
0,
p
[ ]
.4
2
cos4
2
sin2
0
0
1
aadal
aall 8422
1
al 8
cos1a
x
y
0
a2
4
a
L
K
a
M
N
MNKLO
.OKLO
),cos1(sinsin
),cos1(coscos
ay
ax
Так как функци
на
, то
ед.
ед.
Ответ:
(ед.).
Задача 4. Найти объём тела, которое получается от вращения кардиоиды
вокруг полярной оси (см. рисунок 51).
Рисунок 51
Решение: искомый объём равен разности объёмов, полученных от вращения
вокруг оси Ox(она является и полярной осью) фигур
Запишем уравнение кардиоиды в параметрическом виде
принимая за параметр полярный угол
и
.
100
Найдем абсциссы точек
M
cos1cosax
0cos21sin a
d
dx
01
3
2
2
01
ax
M
2
3
2
2
4
a
x
K
dxydxyV
a
a
a
a
2
4
2
4
2
1
2
2
0
3
2
2
2
2
cos21sinsincos1 daaV
3
2
2
2
2
cos21sinsincos1 daa
1
10
sin,cos
cos21sincos1
22
11
0
3
2
3
u
u
dduu
da
3
1
1
23453
1
1
2
2
3
3
8
1442522111 aduuuuuuaduuuua
3
3
8
aV
cos2
.
2
1
2
dS
2
0
2
0
2
2cos
2
1
cos2
2
9
2
1
cos2
2
1
ddS
и K: абсцисса точки K есть значение минимума
функции
получаем
Тогда искомый объём может быть найден по формуле:
Таким образом получаем, что,
. Найдем этот минимум:
,
. При
получаем
, а при
‒
,
.
.
куб. ед.
Ответ:
(куб. ед.).
5 Улитка Паскаля
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля
.
Решение: для вычисления площади применим формулу
Тогда
получим,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]