Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие для проведения практических занятий по курсу общей физики
.pdf
3
л
V
R
d = 3,11
В сосуде объёмом
3
1018
233
1002,610
10
10
м = 311 пм.
Пример 2
10 находится гелий под давлением
МПаp 1
1
при температуре
. После того как из сосуда взяли 10m г ге-
1
лия, температура в сосуде понизилась до
и плотность
гелия, оставшегося в сосуде.
2
KT 300
KT 290
2
. Определить давление
Решение
Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева–
Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:
m
где
m – масса гелия в сосуде в конечном состоянии;
2
гелия;
– универсальная газовая постоянная.
Vp
2
2
, (1)
RT
2
– молярная масса
Из уравнения (1) выразим искомое давление:
RTm
p
Массу гелия
m выразим через массу 1m , соответствующую началь-
2
ному состоянию, и массу гелия
. (2)
2
m , взятого из сосуда:
.
Массу гелия
найдём также из уравнения Менделеева–Клапей-
m
1
22
V
mmm
12
(3)
рона, применив его к начальному состоянию:
Подставим в выражение (3) массу
Полученное выражение для
или после преобразования и сокращения
Плотность гелия, оставшегося в сосуде, равна
выражения (5) получим:
p
2
p
Vp
1
. (4)
m
1
RT
1
m из формулы (4), получим:
1
Vp
1
m
2
RT
m подставим в формулу (2) и найдём
2
Vp
1
RT
1
T
2
p
2
1
T
1
m
. (5)
1
RT
2
m
. (6)
,
V
RTm
2
V
Vm /
22
. С учётом
41
m
R
л
V
p
V
V
p
R
p
RT
1
V
1
2
Подставим в формулы (6) и (7) физические величины, выраженные
в единицах СИ и произведем вычисления:
3
104
кг/моль, 31,8
2
1010
P Па,
2
м-3.
290
300
2
Дж/(моль К),
2
10
6
10
104
10104
30031,8
10
10
10
31,8
23
263
2
Пример 3
Баллон содержит 80
смеси 1
МПа, температура T = 300 K. Принимая данные газы за иде-
m г кислорода и 320
1
. (7)
6
10p Па 10m г = 10
1
К,
300
Т
1
5
1064,3290
T
2
290
2
кг,
К,
604,0
кг /м .3
m г аргона. Давление
2
альные, определить объём
баллона и плотность смеси газов.
Решение
По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, которое производил бы этот газ, если бы только он один
находился в сосуде, занятом смесью.
Из уравнения Менделеева−Клапейрона парциальные давления кислорода
и аргона
p
1
выражаются формулами:
p
2
RTm
1
V
,
p
2
p
1
1
RTm
2
.
V
2
По закону Дальтона давление смеси газов
1
ppp
21
1
RTmm
2
2
,
V
откуда объём баллона
1
V
1
RTmm
2
2
, (1)
p
Плотность смеси газов в баллоне
mm
21
.
(2)
Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих
в формулы (1) и (2):
3
0,32 кг,
2
кг /моль, 1
1040
г = 0,08 кг,
80
m
1
1
МПа = 610 Па, 31,8
3
кг/моль, 320
1032
Дж/(моль К).
m г =
2
Подставим числовые значения в формулы (1) и (2) и произведём вычисления:
42
10
V
R
z
м
V
/
U
л
V
V
30031,8
633
32
,1062,2
мV
08,0
1032
32,0
1040
32,008,0
1062,2
2
кг /м .3
3,15
Пример 4
Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при
нормальных условиях равна
рость молекул? Сколько столкновений в секунду
Какова средняя арифметическая ско-
.40нм
z испытывает молекула?
Решение
Средняя арифметическая скорость
молекул определяется по
формуле:
RT
V
8
,
где
44 кг/моль и получим
− масса моля газа.
Подставим числовые значения:
V = 362 м/с.
8,31 Дж/моль, T = 273 К, =
27331,88
3
104414,3
Среднее число столкновений молекулы в секунду
формуле:
V
z
Подставляя в эту формулу числовые значения величин
и
8
мнм
10440
, получим
сz
362
104
198
.1005,9
Пример 5
Определить внутреннюю энергию
и суммарную кинетическую
энергию поступательного движения молекул азота
давлением
5
Паp
10 в сосуде объёмом .16
Решение
Применим основное уравнение кинетической теории газов:
1
3
2
. (1)
Vnmp
0
кв
определим по
362
Е , находящегося под
к
с
Умножим левую и правую части этого уравнения на объём
1
3
2
. (2)
VnVmpV
кв
0
:
43
Учтём, что число молекул в данном объёме ,n
V
N
V
N
м
V
p
ческая энергия поступательного движения одной молекулы
тогда поступательная энергия всех молекул в данном объёме
средняя кинети-
2
Vm
кв
0
Е
постк
1
)(
2
ENЕ
посткпостк
1
Следовательно, уравнение (2) можно преобразовать к виду:
)(
3
постк
2
. (3)
pVЕ
Внутренняя энергия азота равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений всех молекул:
ЕЕU )()(
.
вркпостк
Общее число степеней свободы двухатомных молекул азота равно 5,
из них три соответствуют поступательному движению и две − вращательному движению. В среднем на каждую степень свободы приходится одна
и та же энергия, поэтому внутренняя энергия определяется по формуле:
Подставим численные значения величин в СИ:
5
(4)
.
pVU
2
5
,10
Паp
33мV
и произведём вычисления по формулам (3) и (4):
)(
3
постк
2
5
2
35
35
кДжДжЕ
кДжДжU
,4,22400101610
.44000101610
Задания для практических занятий
6.1. Вычислить массу атома: а) водорода, б) гелия. Ответ: а) 1,67·10
кг; б) 6,65 10
6.2. В сосуде объёмом
27
кг.
= 4 л находится масса m = 1 г водорода.
Определить концентрацию молекул n. Ответ:
n = 7.5·10
23м3
.
27
6.3. Как, зная плотность и молярную массу, найти число молекул
в единице объёма? Ответ:
6.4. Вычислить массу моля электронов. Ответ: 49,5
n =
N
./
A
·107 кг.
,
.
,1016
6.5. В баллоне находилась масса
10 МПа. Какую массу
равным
2
МПаp Температуру газа считать постоянной. Ответ:
/ ppmm = 7,5 кг.
11
6.6. Какое число молекул воздуха
2
80
при температуре t = 17°C и давлении p = 100 кПа? Ответ: N = 2·10 .27
6.7. В сосуде объёмом
газа
)(
CO и масса 4
2
m газа взяли из баллона, если его давление стало
?5,2
= 2 л находится масса 6
m г закиси азота )(
2
m
1
находится в комнате объёмом V =
Найти давление смеси газов сосуде. Ответ:
44
кг газа при давлении p =
10
m г углекислого
1
ON при температуре 290 К.
2
= 415 кПа.
6.8. В баллоне находится масса
p
p
V
N
м
r
T
N
N
p
t
t
t
T
m 14 г азота масса
рода при температуре 283 К и давлении
су
смеси и объём баллона. Ответ:
1
m 9 г водо-
2
= 1 МПа. Найти молярную мас-
3
106,4
кг/моль.
6.9. В сосуде находится масса
m 15 г азота. Найти плотность
2
и давлении
6.10. В сосуде объёмом
Какое число молекул
7,5
25
10 м .
6.11. Сколько молекул
2
1
. В сосуде находится азот при давлении
Ответ:
= 150 кПа. Ответ: 98,1
n содержит единица объёма сосуда. Ответ: n =
3
27
1095,2 N с
1
м .2
= 4 л находится масса m =1 г водорода.
ударяется за 1 с о стенку сосуда площадью
6.12. В сферическом сосуде с внутренним радиусом
жится водород при температуре
Сколько молекул
26
= 3,4
10
1
.
c
ударяется о стенки сосуда за 1с? Ответ:
6.13. Средняя энергия молекул одноатомного газа
Давление газа
Ответ:
n = 5
6.14. На какой высоте
= 2
25
10 м .
5
10 Па. Найти число молекул газа в единице объёма.
3
h давление воздуха составляет 75% от давле-
m 10 г углекислого газа и масса
1
смеси при температуре t = 27°С
кг/м .3
5
Па
10
и температуре 20°С?
= 5 см содер-
= 300 K и давлении p = 100 кПа.
ния на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной
Ответ:
h = 2,3 км.
6.15. Найти плотность
воздуха: а) у поверхности Земли; б) на вы-
21
106
= 0°С.
Дж.
соте
янной и равной
на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной
h = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать посто-
= 0°С. Давление воздуха у поверхности Земли
кПа. Ответ: а) 28,1
100
p
0
6.16. На какой высоте
кг/м .3; б) 78,0
кг/м .3
h плотность газа вдвое меньше его плотности
= 0°С.
Задачу решить для: а) воздуха, б) водорода. Ответ: а) 5,5 км; б) 80 км.
6.17. Вблизи поверхности Земли отношение объёмных концентраций
кислорода и азота в воздухе равно
висящей от высоты и равной
высоте
h = 10 км. Ответ:
= 273 К, определить это отношение на
.226,0
268,0
0
. Полагая температуру не за-
6.18. Пространство между двумя параллельными пластинами площа-
2
дью 150 см
каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, запол-
нено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 170°С,
другая − при температуре 270°С. Определить количество теплоты
Q , про-
шедшее от одной пластины к другой за 5 мин в результате теплопроводности
кислорода. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный
диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм. Ответ:
Q = 76,4 Дж.
45
6.19. Определить коэффициент теплопроводности азота, если ко-
p
t
p
t
N
T
t
v
N
T
E
l
эффициент динамической вязкости
для него при тех же условиях равен
10 мкПа/с. Ответ: 42,7
мВт/(м К).
6.20. Ниже какого давления можно говорить о высоком вакууме в сосуде Дьюара, если расстояние между стенками сосуда 8 мм, а температура
17°С. Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным 0,27 нм.
Ответ: Р
55,1
Па.
Задания для индивидуальной работы
6.21. Найдите отношение средних квадратичных скоростей молекул
гелия и азота при одинаковых температурах.
6.22. Найдите концентрацию молекул водорода при давлении
= 266,6 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул 2,4 км/с.
6.23. Плотность некоторого газа
2
/06,0 мкг
, средняя квадра-
тичная скорость его молекул 500 м/с. Найдите давление p, которое газ оказывает на стенки сосуда.
6.24. Найдите импульс молекулы водорода при температуре 20
°С.
Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.
6.25. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа
450 м/с. Давление газа
= 50 кПа. Найдите плотность газа при этих
условиях.
6.26. Плотность некоторого газа 082,0
и температуре 17
°С. Найти среднюю квадратичную скорость
лекул газа и молярную массу
этого газа
кг/м3 при давлении 100 кПа
V мо-
кв
6.27. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при
нормальных условиях 461 м/с. Какое число молекул
содержит единица
массы газа?
6.28. При какой температуре
средняя квадратичная скорость моле-
кул азота больше их наиболее вероятной на 50 м/с?
6.29. Какая часть молекул кислорода при
ми
от 100 до 110 м/с?
6.30. В сосуде находится
m = 2,5 г кислорода. Найти число
= 0°С обладает скоростя-
моле-
кул кислорода, скорости которых превышают среднюю квадратичную скорость <
кв
6.31. В сосуде находится
m = 8 г кислорода при температуре
= 1600 К. Какое число N молекул кислорода имеет кинетическую энергию
поступательного движения, превышающую энергию
6.32. Определить среднюю длину свободного пробега
= 6,652010
Дж?
молекул
кислорода, находящихся при температуре 0°С, если среднее число столкновений молекулы за 1 с равно
z = 3,7
9
10.
46
6.33. При каком давлении средняя длина свободного пробега моле-
/
T
кул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 840 К? Эффективный диаметр молекулы водорода принять 0,28 нм.
6.34. Определить среднюю продолжительность
свободного про-
бега молекул водорода при температуре 27°С и давлении 5 кПа. Диаметр
молекулы водорода принять равным 0,28 нм.
6.35. Средняя длина свободного пробега
молекул водорода при
температуре при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определить
среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остаётся постоянной.
6.36. Определить: а) плотность
воздуха в сосуде; б) концентрацию
n его молекул; в) среднюю длину свободного пробега молекул, если сосуд
откачан до давления 0,13 Па. Температура воздуха 300 К. Диаметр молекул
принять равным 0,27 нм.
6.37. Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормаль-
ных условиях
=180 нм. Определить коэффициент диффузии
D
гелия.
6.38. Коэффициент диффузии кислорода при температуре t = 0°С равен
2
D = 0,19 см
с
. Определить длину = свободного пробега молекул газа.
6.39. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях
D = 0,91 см
2
/с. Определить коэффициент теплопроводности
водорода.
6.40. Определить коэффициент теплопроводности
азота, находя-
щегося в некотором объёме при температуре 280 К. Эффективный диаметр
молекул азота принять равным 0,38 нм.
6.41. Определить массу
2
через площадку 50 см
за 20 с, если градиент плотности в направлении,
перпендикулярном площадке 1 кг/м
длина свободного пробега его молекул равна
m азота, прошедшего вследствие диффузии
2
. Температура азота 290 К, а средняя
= 1 мкм.
7. ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ. ЭНТРОПИЯ
Основные понятия, законы и формулы
Каждому состоянию термодинамической системы соответствует не-
которое значение ее внутренней энергии
mi
,
TR
m – масса системы (газа),
где
газовая постоянная,
U
2
– его молярная масса, R – универсальная
– абсолютная температура. Величина i представля-
ет собой число степеней свободы молекул газа, т.е. число независимых переменных, описывающих движение молекулы. Для одноатомных молекул
i = 3; для двухатомных i = 5; для многоатомных i = 6.
47
Обмен энергией между термодинамической системой и внешними
AdU
V
A
S
T
телами происходит двумя способами: либо при совершении работы, либо
с помощью теплообмена.
Работа газа при расширении в общем случае:
V
2
12
Работа газа при изобарическом процессе
Работа газа при изотермическом процессе
PdVA .
V
1
VVPA
m
RT
ln
.
A
.
12
V
2
V
1
Количество энергии, переданное системе путем теплообмена, называется количеством теплоты, сообщенным системе. Теплоемкостью тела
называется отношение количества теплоты, сообщенного телу в какомлибо процессе, к изменению температуры тела. Молярной теплоемкостью
вещества называется теплоемкость одного моля данного вещества. Она зависит от химического состава тела и вида процесса теплообмена.
Молярная теплоемкость
и выражается в виде
C
. Молярная теплоемкость при постоянном
P
при постоянном давлении обозначается
2
i
R
2
С
P
i
объеме
C
V
R
.
2
Закон сохранения и превращения энергии в термодинамических процессах носит название первого начала термодинамики и записывается в виде:
Q
,
где
Q
– теплота, переданная термодинамической системе (газу),
mi
– изменение внутренней энергии газа, Pd
U
2
dTCRT
V
–
элементарная работа, совершаемая газом при расширении.
Направление протекания тепловых процессов определяется вторым
началом термодинамики, которое имеет ряд формулировок. Приведем две
из них:
– невозможен процесс, единственным результатом которого является
совершение работы, эквивалентной количеству теплоты, полученному от
нагревателя;
– невозможен процесс, единственным результатом которого является
передача энергии в форме теплоты от холодного
Энтропией называется функция
состояния системы, дифференци-
тела к горячему.
ал которой в элементарном обратимом процессе равен отношению бесконечно малого количества теплоты, сообщенного системе, к абсолютной
температуре системы:
Q
Sd
.
48
В необратимом элементарном процессе
T
S
B
V
р
U
T
.
Sd
Q
Для теплоизолированной системы 0
Q
и получаем 0
d . Этот
результат представляет собой математическую запись второго начала термодинамики применительно к теплоизолированным системам – в таких
системах при любых процессах энтропия не может убывать.
Разность энтропий двух состояний
SS
AB
и A определяется формулой:
B
Q
A
.
T
Примеры решения задач
Пример 1
Кислород массой 2m кг занимал объём 1
давлением 2
расширился до объёма 3
и его давление стало равно
атм. Газ сначала нагрели при постоянном давлении и он
V м
2
3
, а затем нагрели при постоянном объёме
атм. Найдите изменение
5
p
2
энергии газа, совершенную им работу А и теплоту ,
м3 и находился под
внутренней
Q переданную газу.
Решение
Изменение внутренней энергии газа находится по формуле:
i
где
кислорода
− число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул
i = 5),
− масса моля газа.
Начальную и конечную температуру газа найдём, используя уравне-
ние Менделеева−Клапейрона:
Решая уравнение (2) относительно ,
Выпишем заданные величины в единицах СИ: 2
кг/моль;
R=8,31Дж/моль K; 1V = 1 м
5
1002,2 Па;
= 5 атм =
p
3
Подставляя эти значения в выражение (3) и выполняя арифметиче-
ские действия, получим:
T = 389 К, 2T = 1167 К, 3T =2917 К.
1
Из выражения (1) находим:
Ri
,
Tm
(1)
TmcU
V
2
m
, (2)
pV
RT
получим
pV
mR
3
;
.
3
10
VV
= 3 м3;
32
m кг;
pp = 2 атм =
21
32
(3)
T
5
1005,5 Па.
5
2
31,8
3
1032
6
ДжДжU
1028,3)3892917(2
.
49
Работа расширения газа при постоянном давлении находится по
A
U
U
A
T
R
формуле:
A
. (4)
TR
Подставляя числовые значения величин, входящих в формулу (4),
получаем:
m
2
A =
1
3
1032
)3891167(31,8
Работа газа, нагреваемого при постоянном объёме, равна нулю, т.е. 0
Следовательно, полная работа, совершенная газом равна
6
21
10404,0 ААА Дж.
Согласно первому началу термодинамики теплота
зу, равна сумме работы
.
и изменения внутренней энергии :
Q
(5)
Подставляя в выражение (5) раннее найденные значения, получим:
Q= 0,404
6
10 +3,28 .68,31068,310
66
Пример 2
Сколько теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до
100°С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа?
Какую работу совершает газ?
Решение
Теплота Q , поглощаемая газом при изобарическом нагревании,
6
10404,0 Дж.
Q , переданная га-
МДжДж
А .
2
определяется по формуле:
,
где
m – масса нагреваемого газа, pc – удельная теплоёмкость газа,
TmcQ
(1)
p
–
изменение температуры газа.
Как известно:
2
где
i число степеней свободы молекулы газа,
универсальная газовая постоянная.
c
p
Ri
(2)
,
2
молярная масса газа,
Подставив выражение (2) в формулу (1), получим:
2
mQ
Ri
,
T
(3)
2
Подставим числовые значения в выражение (3) и произведём вычисления:
3
1031,8
5
1091,2100
2
50
2,0
Q Дж.
25
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]