Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие для проведения практических занятий по курсу общей физики
.pdf
1.10. Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным
t
v
t
tjtiAtr
A
t
R
v
R
t
R
t
R
t
тангенциальным ускорением
a . Найдите величину этого ускорения, если
известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная
2
скорость точки составила 79,2 см/с. Ответ: 0,1 м/с
.
Задания для индивидуальной работы
1.11. Материальная точка движется по плоскости согласно уравне-
нию
)( jBtiAttr . Напишите зависимости )(
23
и )(
а .
1.12. Движение материальной точки задано уравнением
, где
)sincos()(
= 0,5 м; = 5 рад/с. Определите модуль
скорости и модуль нормального ускорения.
1.13. Движение материальной точки задано уравнением
2
jCtBtAitr )()(
, где A = 10 м, B = -5 м/с2, C = 10 м/с. Для момента
времени
= 1 с вычислите модуль скорости, модуль ускорения, модуль
тангенциального ускорения, модуль нормального ускорения.
1.14.Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным уско-
рением
a = 0,5 м/с
вой с радиусом кривизны
скоростью
= 2 м/с.
1.15. Движение точки по окружности радиусом
нением
2
. Определите полное ускорение точки на участке кри-
= 3 м, если точка движется на этом участке со
= 4 м задано урав-
2
tCtBA
, где A = 10 м, B = -2 м/с, C = 1 м/с2, – криво-
линейная координата, отсчитанная вдоль окружности. Найдите тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки в момент времени
= 2 с.
1.16. По дуге окружности радиусом 10 см движется точка. В некото-
рый момент времени нормальное ускорение точки 9,4
a м/с
n
2
. В этот
момент времени векторы полного и нормального ускорений образуют угол
60°. Найдите скорость и тангенциальное ускорение точки.
1.17. Точка движется по окружности радиусом
уравнению
3
tA
, где A = 2 м/с3, – криволинейная координата, отсчи-
= 2 м согласно
танная вдоль окружности. В какой момент времени нормальное ускорение
точки будет равно тангенциальному? Определите полное ускорение в этот
момент.
3
1.18. Движение точки по кривой задано уравнениями
и
, где
tAy
2
A = 1 м/с
1
3,
A = 2 м/с. Найдите скорость и полное ускоре-
2
1
tAx
ние точки в момент времени
1.19. Точка движется по окружности радиусом
движения точки
= 0,8 с.
= 1,2 м. Уравнение
3
tBtA
, где A = 0,5 рад/с, B = 0,2 рад/с3. Определите
тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки в момент времени
= 10 с.
11
1.20. Определите скорость и полное ускорение точки в момент вре-
t
R
t
A
t
R
t
s
A
s
t
R
t
v
R
A
мени
уравнению
= 2 с, если она движется по окружности радиусом R = 2 м согласно
3
, где A = 8 м/с, B = -1 м/с3, – криволинейная
tBtA
координата, отсчитанная вдоль окружности.
1.21. Точка находится на ободе колеса радиусом
3
щегося согласно уравнению
tСtA
, где A = 2 рад/с, С = 0,2 рад/с3.
= 0,5 м, вращаю-
Определите полное ускорение точки для момента времени
= 3 с.
1.22. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение дви-
3
жения точки имеет вид
tBtAx , где
скорость и ускорение точки для момента времени
= 0,2 м вращается согласно уравнению
1.23. Диск радиусом
3
, где A = 3 рад, B = -1 рад/с, C = 0,1 рад/с3. Определите
tCtBA
=3 м/с, B = 0,06 м/с3. Найдите
= 3 с.
тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки в момент времени
= 3 с.
1.24. Зависимость пройденного телом пути
уравнением
32
tCtBtAs , где
= 2 м/с, B = 3 м/с2, C = 4 м/с3.
от времени t задается
Найдите зависимость скорости и ускорения от времени.
1.25. Зависимость пройденного телом пути
уравнением
D = 0,01 м/с
3
. Через какое время t после начала движения тело будет
иметь ускорение
a = 1 м/с
32
, где A = 2 м/с, B = 3 м/с2, C = 0,14 м/с2,
tDtCBtAs
2
?
от времени t задается
1.26. Колесо радиусом 10 см вращается с угловым ускорением
= 3,14 рад/с2. Для точек, лежащих на ободе колеса, найдите, через время
= 2 с после начала движения угловую скорость , линейную скорость v,
угловое ускорение
, тангенциальное и нормальное ускорения.
1.27. Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость
криволинейной координаты (отсчитанной вдоль окружности) от времени
3
задается уравнением
tB
, где B = 0,1 см/с2. Найдите нормальное
и тангенциальное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки составляет 0,3 м/с.
1.28. Колесо радиусом
поворота от времени задается уравнением
2
рад/с
время
рость
, C = 1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найдите, через
= 2 с после начала движения угловую скорость , линейную ско-
, угловое ускорение , тангенциальное и нормального ускорения
1.29. Колесо радиусом
= 0,1 м вращается так, что зависимость угла
3
где B = 2
tCtBA
= 10 см вращается так, что зависимость ли-
нейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени задается
уравнением
tBtAv , где
= 3 см/с, B = 1 см/с2. Найдите угол, со-
2
ставляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса через 2 с после
начала движения.
12
1.30. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от време-
B
C
t
32
ни задается уравнением
ВttCtBA
, где
= 1 рад/с,
= 1 рад/с2, D = 1 рад/с3. Найдите радиус колеса, если известно, что
к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса,
нормальное ускорение равно 342 м/с
2
.
2. ДИНАМИКА
Основные понятия, законы и формулы
В динамике изучают законы движения тел с учетом причин, опреде-
ляющих характер данного движения.
Характеристики механического движения тел изменяются в процессе
их взаимодействия друг с другом. Меру взаимодействия тел, в результате
которого тела деформируются или приобретают ускорение, называют силой. Сила является векторной величиной.
Если к материальной точке (частице) приложено несколько
FFF ,...,
, их действие можно заменить действием одной силы F , которая
n
21
является равнодействующей данных сил:
n
inn1
.
... FFFFF
21
сил
Если реально действующие силы заменить равнодействующей, то
в дальнейшем можно считать, что к частице приложено не несколько сил,
а только одна – их равнодействующая.
При отсутствии внешних воздействий тела сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это свойство, присущее
всем телам, называют инерцией, а тела, им обладающие – инертными. Ме-
инертности тел при поступательном движении называют массой.
ру
Основой классической механики служат три закона Ньютона, сформулированные для материальной точки и тел, движущихся поступательно
в инерциальных системах отсчета.
1-й закон Ньютона: если равнодействующая всех сил, приложенных
к материальной точке, равна нулю, точка находится в состоянии покоя или
равномерного прямолинейного движения: при
F
0
i
cons
.
Состояния покоя и равномерного прямолинейного движения с точки
зрения динамики неразличимы.
2-й закон Ньютона:
тело приобретает ускорение
F
– при действии на тело некоторой силы F
a
m
a , совпадающее по направлению с силой,
пропорциональное величине приложенной силы и обратно пропорциональное массе тела.
3-й закон Ньютона: два тела действуют друг на друга с силами, рав-
ными по модулю и противоположными по направлению; эти силы приложены к разным телам.
13
В механике рассматриваются следующие виды сил:
xkF
x
r
g
N
F
N
F
r
F
r
I
M
M
S
x
1) сила упругости
, где k – коэффициент упругости (в слу-
чае пружины – жесткость),
2) сила гравитационного взаимодействия
витационная постоянная;
– абсолютная деформация;
m
1
и
– массы взаимодействующих тел; r –
m
2
mm
21
GF
, где G – гра-
2
расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки).
В случае гравитационного взаимодействия силу можно также выразить через напряженность
3) сила тяжести
4) сила трения скольжения
G гравитационного поля: GF m
P m ;
, где – коэффициент трения,
;
– сила нормального давления.
Если тело совершает вращательное движение, характеристикой воз-
действия на него со стороны других тел является момент силы.
Момент силы
относительно неподвижной точки O равен вектор-
ному произведению
FrM
,
где
– радиус-вектор, проведенный из точки O в точку приложения силы
.
Инертные свойства тела или системы точек при вращательном движении характеризуются моментом инерции. Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси
2
rmI ,
где
– расстояние от точки массой m до оси вращения.
Если известен момент инерции тела
I относительно оси, проходя-
0
щей через центр масс, момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по теореме Штейнера:
2
maII ,
0
m – масса тела, a – расстояние от центра масс тела до оси вращения.
где
Основной закон динамики вращательного движения выражается
уравнением:
,
где
сил
– угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента
.
Примеры решения задач
Пример 1
Верхний конец стального стержня длиной =5 м с площадью поперечного сечения
груз массой
риала стержня; 2) абсолютное
= 4 см2 закреплен неподвижно, к нижнему подвешен
3
102 m кг. Определите: 1) нормальное напряжение
мате-
и относительное удлинение стержня.
14
Решение
g
x
E
Величина, определяемая модулем силы упругости, действующим на
единицу площади поперечного сечения тела, называется напряжением
и для растянутого стержня выражается формулой
SF
, где F – сила,
действующая вдоль оси стержня. В данном случае сила равна силе тяжести
m
и поэтому можно записать:
Smg
.
В результате вычислений получаем
= 49 МПа.
Количественными мерами, характеризующими деформации тела, являются его абсолютная
и относительная x деформации. По закону Гу-
ка, для малых деформаций относительное удлинение и напряжение про-
x
порциональны друг другу
, где E – модуль Юнга. Таким образом,
E
)(ESFx
абсолютное удлинение выражается формулой
. Для стали
= 200 ГПа и получаем x = 1,23 мм.
4
1064,2
Относительное удлинение стержня
x
.
Пример 2
При падении тела с большой высоты его скорость
вившемся движении достигает значения 80 м/с. Определить время
v при устано-
уст
, в течение которого, начиная с момента начала падения скорость становится
равной
v5,0. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной
уст
скорости тела.
Решение
На падающее тело действуют две силы: сила тяжести mg и сила со-
противления воздуха
F . Сила сопротивления воздуха по условию задачи
c
пропорциональна скорости и противоположна ей по направлению:
vF k
, где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от разме-
c
ров, формы тела и свойств окружающей среды.
Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым зако-
d
v
ном Ньютона:
m Fg
m
.
td
c
Спроектируем это уравнение на вертикальную ось, направленную вниз:
vd
m .
kvmg
td
Разделим переменные в этом выражении и получим
vd
kvmg
td
.
m
15
Выполним интегрирование с учетом того, что при изменении време-
g
Tmg
g
T
I
I
ни от нуля до
В результате интегрирования получим:
Найдем из полученного выражения искомое время:
(искомое время) скорость возрастает от нуля до
v
5,0
уст
0
5,0
v
1
kvmg
k
уст
)ln(
0
vd
m
ln
k
td
kvmg
1
ln
k
.
m
0
kvmg
уст
)5,0(
.
mmg
mg
.
kvmg
5,0
уст
v5,0:
уст
Входящий сюда коэффициент пропорциональности
k определим из
следующих соображений. При установившемся движении, т.е. при постоянной скорости алгебраическая сумма проекций на вертикальную ось сил,
действующих на тело, равна нулю. 0
kvmg , откуда
уст
vmgk .
уст
После подстановки этого выражения в формулу для времени и упрощений
2ln
66,5
с.
получим
v
уст
g
Пример 3
На горизонтальную ось насажен шкив радиуса R. На шкив намотан
шнур, к свободному концу которого подвесили гирю массой m . Считая
массу шкива
m равномерно распределенной по ободу, определите уско-
0
рение a , с которым будет опускаться гиря, и силу натяжения нити.
Решение
На гирю действуют сила тяжести и сила натяжения шнура, в результате чего она движется с ускорением
a , направленным вниз. Второй закон
Ньютона в этом случае имеет вид
aT
mm
.
Спроектировав данное выражение на вертикальную ось, направленную вниз, получим ma
mam
, откуда сила натяжения
. (1)
Движение шкива опишем при помощи основного закона динамики
вращательного движения:
здесь
M – момент силы, приводящей шкив в движение, в данном случае
силы натяжения
T ;
– момент инерции шкива, – его угловое ускорение.
M , (2)
Момент инерции шкива рассчитывается как для пустотелого цилиндра и равен
2
.
RmI
0
16
Поскольку шнур сматывается со шкива без проскальзывания, уско-
R
C
tBA
B
I
рение гири a равно линейному ускорению
довательно,
вид:
. С учетом этого и формулы (1) формула (2) принимает
Ra
Таким образом, для ускорения получаем:
формула (2) для силы натяжения принимает вид:
a точек на ободе шкива. Сле-
a
2
RmRmamg
.
0
mg
a
T
;
mm
0
mgm
0
.
mm
0
Задания для практических занятий
2.1. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, зависимость
пройденного телом пути от времени определяется уравнением
32
tDtCtBAS , где
= 5 м/с2, D = 1 м/с3. Найдите силу, дей-
ствующую на тело в конце первой секунды движения. Ответ: 2 Н.
2.2. К нити подвешен груз массой 1 кг. Найдите силу натяжения ни-
2
ти, если нить с грузом поднимается с ускорением 5 м/с
. Ответ: 14,8 Н.
2.3. Масса лифта с пассажирами 800 кг. С каким ускорением и в ка-
ком направлении движется лифт, если сила натяжения его троса 12 кН?
2
Ответ: 4,9 м/с
; вверх.
2.4. Поезд массой 500 т, двигаясь равнозамедленно, в течение одной
минуты уменьшает свою скорость от 40 км/ч до 28 км/ч. Найдите силу
торможения. Ответ: 27,7 кН.
2.5. Чтобы определить коэффициент трения между деревянными поверхностями, брусок положили на доску и стали поднимать один конец доски до тех пор, пока брусок не
угле наклона доски
= 14°. Чему равен коэффициент трения? Ответ: 0,25.
начал по ней скользить. Это произошло при
2.6. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола,
и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет
41 его длины. Найдите коэффициент трения каната о стол. Ответ: 0,33.
2.7. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, со-
ставляющей угол 25° с горизонтом. Найдите коэффициент трения, если время
подъема тела оказалось в 2 раза меньше, чем время спуска. Ответ: 0,16.
2.8. Однородный диск радиусом 0,2 и массой 5 кг вращается вокруг
оси, проходящей через его
мость угловой скорости вращения диска от времени имеет вид
центр перпендикулярно его плоскости. Зависи-
= 8 рад/с2. Найдите силу, приводящую диск в движение. Ответ: 4 Н.
2.9. Маховик, момент инерции которого
= 63,6 кг м2, вращается
с угловой скоростью 31,4 рад/с. Найдите момент сил торможения, под действием которого маховик останавливается через 20 секунд. Маховик считать однородным диском. Ответ: 100 Нм.
17
,
2.10. К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой 50 кг по касательной
E
k
t
k
k
k
k
приложена сила 98 Н. Найдите угловое ускорение колеса. Через какое время после начала движения колесо будет иметь частоту вращения 100 об/с?
2
Колесо считать однородным диском. Ответ: 7,8 рад/с
, 1 мин 20 с.
Задания для индивидуальной работы
2.11. Какой наибольший груз может выдержать стальная проволока
диаметром 1 мм, не выходя за предел упругости
= 294 МПа? Какую до-
упр
лю первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе?
2.12. Свинцовая проволока подвешена вертикально за один из кон-
цов. Какую наибольшую длину может иметь проволока, чтобы не обрываться под своей тяжестью? Предел прочности свинца
= 12,3 МПа.
пр
2.13. К вертикальной проволоке длиной 5 м и площадью поперечного
2
сечения 2 мм
подвешен груз массой 5,1 кг. В результате проволока удли-
нилась на 0,6 мм. Найдите модуль Юнга материала проволоки.
2.14. К стальному стержню длиной 3 м и диаметром 2 см подвешен
3
груз массой
и абсолютное удлинения стержня. Модуль Юнга для стали
105,2 кг. Определите напряжение в стержне, относительное
= 200 ГПа.
2.15. Снаряд массой 10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально
вверх со скоростью
v = 800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха про-
0
порциональной скорости, определите время подъема снаряда до высшей
точки. Коэффициент сопротивления 25,0
мсн
.
2.16. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над по-
верхностью земли, сброшен груз массой 100 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определите, через какой промежуток времени
ния свободного падения. Коэффициент сопротивления 10
ускорение груза будет равно половине ускоре-
мсн .
2.17. Моторная лодка массой 400 кг начинает двигаться по озеру.
Сила тяги мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определите скорость лодки через 20 секунд после начала ее движения. Коэффициент сопротивления 20
мсн
.
2.18. Катер массой 2 тонны трогается с места и в течение времени 2 с
развивает при движении по спокойной воде скорость 4 м/с. Определите силу
тяги мотора, считая ее постоянной. Считать силу сопротивления движению
пропорциональной скорости. Коэффициент сопротивления 100
.
мсн
2.19. Начальная скорость пули равна 800 м/с. При движении в воздухе за время 0,8 с ее скорость уменьшилась до 200 м/с. Масса пули равна
10 г. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определите коэффициент сопротивления
. Действием силы тяже-
сти пренебречь.
18
2.20. Парашютист, масса которого 80 кг, совершает затяжной пры-
k
A
t
t
t
I
t
жок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости
определите, через какой промежуток времени скорость парашютиста будет
равна 0,9 от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления 10
мсн . Начальная скорость парашютиста равна нулю.
2.21. Тонкостенный цилиндр, масса которого равна 12 кг, а диаметр
основания 30 см, вращается согласно уравнению
3
tCtBA
, где
= 4 рад, B = -2 рад/с, C = 0,2 рад/с3. Определите действующий на ци-
линдр момент сил в момент времени
= 3 с.
2.22. На обод маховика диаметром 60 см намотан шнур, к концу ко-
торого привязан груз массой 2 кг. Определите момент инерции маховика,
если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за
время
m = 60 г перекинута через блок диаметром 4 см. Определите момент
и
= 3 с приобрел угловую скорость = 9 рад/с.
2.23. Нить с привязанными к ее концам грузами массой
2
= 50 г
m
1
инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение
= 1,5 рад/с2.
2.24. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середи-
ну согласно уравнению
3
, где A = 2 рад/с, B = 0,2 рад/с2. Опре-
tBtA
делите вращающий момент, действующий на стержень через
начала вращения, если момент инерции стержня
= 0,048 кг м2.
= 2 с после
2.25. Блок, имеющий форму диска массой 0,4 кг, вращается под дей-
ствием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами
= 0,3 кг и
m
1
= 0,7 кг. Определите силы натяжения нити по обе сторо-
m
2
ны блока.
2.26. По касательной к маховику в виде диска диаметром 75 см
и массой 40 кг приложена сила 1 кН. Определите угловое ускорение и частоту вращения маховика через время
= 10 с после начала вращения. Си-
лой трения можно пренебречь.
2.27. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой 0,4 кг.
Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь 1,8 м за время 3 с. Определите
момент инерции маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.
2.28. Через
шнура привязаны грузики массами
блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам
m = 100 г и 2m = 110 г. С каким уско-
1
рением будут двигаться грузики, если масса блока равна 400 г? Трение при
вращении блока мало.
2.29. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение движения шара имеет вид
32
tCtBA
, где B = 4 рад/с2, C = -1 рад/с2. Определите момент сил,
действующий на шар, в момент времени 2 с.
19
2.30. Маховик радиусом 0,2 м и массой 10 кг соединен с мотором
C
M
M
t
p
F
rdF
F
при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня 14,7 Н. Какую частоту вращения будет иметь маховик через 10 с после начала движения?
Маховик считать однородным диском.
3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Основные понятия, законы и формулы
Важной динамической характеристикой является импульс. Импульс
(количество движения) материальной точки – векторная величина, равная
произведению массы точки на ее скорость:
mp
.
Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех частиц, образующих систему:
n
i
11
n
mpp
.
i
iii
Центром инерции системы материальных точек называется точка
положение которой в пространстве определяется радиус-вектором, имеющим начало в произвольной точке O , и равным
M
rm
ii
.
– ее радиус-вектор,
Здесь
m – масса i -й материальной точки, ir
i
с началом в той же точке O ,
m
rm
ii
i
r
c
– масса всей системы.
Импульс системы материальных точек равен произведению массы
системы на скорость движения
ее центра инерции:
c
Mp
.
c
Систему взаимодействующих тел называют замкнутой, если на нее
извне не действуют другие тела. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы есть величина постоянная
cons
.
,
Работа, совершаемая силой
при элементарном перемещении rd,
равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:
dA
где ds – модуль перемещения,
– угол между векторами
cosFds
,
и rd.
Кинетическая энергия системы – энергия механического движения
системы. Она зависит от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия
есть функция состояния ее механического движения. Кинетическая энергия рассчитывается по формуле
2
m
.
2
20
E
к
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]