Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие для проведения практических занятий по курсу общей физики
.pdf
4.4. Колебания материальной точки массой m = 0,1 г происходят со-
t
x
R
T
T
R
t
гласно уравнению
20cos05,0 . Определите максимальные значения
силы, действующей на тело, и кинетической энергии колебаний. Ответ:
2 мН, 50 мкДж.
4.5. Колебания материальной точки происходят согласно уравнению
. В момент, когда сила, действующая на точку, впервые до-
cos08,0
tx
6
стигла значения -5 мН, потенциальная энергия точки была равна 100 мкДж.
Найдите этот момент времени и соответствующую ему фазу колебания. Ответ: 2 с;
3.
4.6. Тонкий однородный стержень массой
m и длиной = 1 м под-
вешен за один из концов. В середине стержня на нем закреплен маленький
шарик массой
m , а на втором конце – шарик массой m2.Определите пери-
од колебаний этой системы тел. Ответ: 1,86 с.
4.7. Диск радиусом
= 24 см колеблется около горизонтальной оси,
проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определите период колебаний такого маятника. Ответ: 1,2 с.
4.8. Однородный стержень длиной
= 0,5 м, подвешенный за один
из концов, совершает малые колебания в вертикальной плоскости. Найдите
период колебаний стержня
. Ответ: 1,16 c
4.9. Обруч диаметром d = 60 см висит на гвозде, вбитом в стену,
и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найдите
период колебаний обруча
4.10. Шар, радиус которого
= 10 см. Определите относительную погрешность, которая получится,
0
. Ответ: 1,55 c.
= 5 см, подвешен на нити длиной
если вычислять период колебаний такого маятника как для математического маятника с длиной
= 15 см. Ответ: 2,2%
Задания для индивидуальной работы
4.11. Уравнение колебания материальной точки массой m имеет вид
sin
txx
колебаниях. Найдите силу, действующую на точку через время
. Запишите зависимость силы от времени при таких
0max
после
начала колебания. Определите полную энергию колебаний.
Вариант 1.
= 0,5 м; =
x
max
; 4
8
0
; m = 20 г; t = 2 с.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
4.12. Уравнение колебания материальной точки массой
cos
x = 0,4 м;
max
x = 0,2 м;
max
x = 0,3 м;
max
= 0,1 м; =
x
max
= 6; 3
= 4; 8
= 3; 6
2
0
0
0
; 4
0
; m = 30 г; t = 1 с.
; m = 10 г; t = 1 с.
; m = 60 г; t = 0,5 с.
; m = 40 г; t = 0,5 с.
m имеет вид
txx . Запишите зависимость силы от времени при таких
0max
31
колебаниях. Найдите силу, действующую на точку через время t после
t
t
zyx
K
x
x
начала колебания. Определите полную энергию колебаний.
Вариант 6.
x = 0,3 м;
max
= 6; 3
0
; m = 80 г; t = 2 с.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
4.13. Небольшое тело массой
по закону
x = 0,4 м;
max
x = 0,5 м;
max
x = 0,2 м;
max
x = 0,3 м;
max
cos
= 12; 6
= 6; 3
= 3; 6
= 4; 6
0
0
0
0
m совершает гармонические колебания
txx
. Запишите зависимость кинетической энер-
0max
; m = 20 г; t = 1 с.
; m = 70 г; t = 3 с.
; m = 30 г; t = 0,5 с.
; m = 40 г; t = 2 с.
гии от времени при таких колебаниях. Определите значение потенциальной энергии колебаний спустя время
Вариант 11.
Вариант 12.
Вариант 13.
Вариант 14.
Вариант 15.
= 0,04 м; = ; 3
x
max
x = 0,02 м;
max
x = 0,01 м;
max
x = 0,03 м;
max
= 0,05 м; = 5,1; 4
x
max
= 5,1; 4
= 5,2; 4
= 5,2; 3
4.14. Небольшое тело массой
по закону
sin
txx . Запишите зависимость потенциальной
0max
после начала колебаний.
0
; m = 5 г; t = 1 с.
0
0
0
0
; m = 2 г; t = 2 с.
; m =3 г, t = 1 с.
; m = 1 г, t = 1 с.
; m = 4 г, t = 2 с.
m совершает гармонические колебания
энергии от времени при таких колебаниях. Определите значение кинетической энергии колебаний спустя время
Вариант 16.
x = 0,08 м;
max
= ; 3
после начала колебаний.
0
; m = 6 г; t = 3 с.
Вариант 17.
Вариант 18.
Вариант 19.
Вариант 20.
= 0,06 м; =
x
max
x = 0,01 м;
max
x = 0,07 м;
max
x = 0,05 м;
max
5,1 ; 4
= 5,2; 4
= 5,2; 3
= 5,1; 4
0
0
0
0
; m = 7 г; t = 2 с.
; m = 9 г; t = 1 с.
; m = 8 г; t = 2 с.
; m = 9 г; t = 1 с.
5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Основные понятия, законы и формулы
Во всех задачах этого раздела рассматриваются две инерциальные
системы отсчета: система К (с координатами
считают неподвижной, и систему
(с координатами zyx
,,), которую условно
,,), движу-
щуюся относительно К равномерно и прямолинейно. Считается, что оси
, zz, сонаправлены, а относительная скорость систем направлена
yy
,
вдоль общей оси
.
В специальной теории относительности используются преобразования Лоренца, описывающие переход из одной инерциальной системы отсчета в другую. При решении задач пользуются следствиями из этих преобразований:
32
1)
K
K
v
K
t
K
K
K
v
K
K
K
K
K
1 cv
0
относительно которой стержень покоится,
2
, где
– длина стержня в системе координат
0
– длина стержня в системе
относительно которой он движется со скоростью
t
2)
0
t
1 cv
, где
2
– промежуток времени между двумя со-
t
0
,
,
, c – скорость света.
бытиями, происходящими в одной точке системы
сам этой системы,
меренный по часам системы
– промежуток времени между двумя событиями, из-
, v – скорость движения системы
, измеренный по ча-
отно-
сительно системы К.
vv
0
2
0
стемы
3)
v
, где
1 cvv
– скорость этого же тела относительно системы K,
,
рость движения системы
– скорость движения тела относительно си-
v
v
0
относительно системы
.
– ско-
Масса тел также изменяется при переходе из одной системы отсчета
в другую:
m
,
0
1 cv
m – масса тела в системе отсчета
0
2
, относи-
m
тельно которой оно неподвижно, m – масса этого тела в системе отсчета
, v – скорость движения системы
Аналогичное выражение описывает импульс тела:
Полная энергия релятивистской частицы
относительно системы К.
mvp
2
2
0
1 cv
EcmcmE
кин
vm
0
.
2
.
Примеры решения задач
Частица массы
Пример 1
, летящая со скоростью cv8,0, испытывает «не-
m
0
упругое» соударение с такой же покоящейся частицей. Найдите массу,
скорость и кинетическую энергию частицы, образовавшейся в результате
удара.
Решение
«Неупругость» удара означает, что после него частицы движутся
вместе. Для описания удара в замкнутой системе тел используем законы
сохранения импульса и полной энергии.
Импульс и энергия частицы в начальном
состоянии имеют вид:
vm
p
, (1)
1
E
1
1
0
2
1 cv
2
cm
0
2
cv
2
. (2)
cm
0
33
После взаимодействия система состоит из одной частицы, масса по-
v
коя которой
Выразим отсюда скорость u :
Найдем импульс до взаимодействия:
По закону сохранения импульса он равен импульсу после взаимо-
действия:
Энергия до взаимодействия
Подставим (7) и (6) в (5) и получим сu 5,0
m и скорость u .
0
vm
p
. (6)
1
pp .
12
. (7)
0
1
cmE
8,0
01
um
p
2
E
. (4)
2
2
cv
2
0
1 cu
0
1 cu
2
2
1
, (3)
2
2
cm
2
Ecpu . (5)
2
cm
8,0
0
2
cc
8,01
2
cc
8,01
cm
4
0
3
2
cm
8
0
3
.
Связь полной энергии с импульсом частицы:
2
2
2
22
2
2
cmcpE . (8)
0
Подставим в эту формулу значение импульса из (6) и значение энер-
EE
гии из (7) (с учетом того, что энергия сохраняется
). Таким обра-
21
зом, для массы получаем:
31,2 mm
. (9)
00
Кинетическая энергия частиц после соударения:
кин
. (10)
2
02
36,0 cmcmEE
2
0
Задания для практических занятий
5.1. Во сколько раз увеличивается время жизни частицы, если она начи-
нает двигаться со скоростью, равной 99% от скорости света? Ответ: в 7,1 раза.
5.2. С какой скоростью должна лететь частица относительно некоторой системы отсчета для того, чтобы промежуток собственного времени
был в 10 раз меньше промежутка времени, отсчитанного по часам этой системы? Ответ: c
995,0
.
34
K
x
K
K
v
v
v
v
v
t
v
v
t
5.3. В системе
оси
. Определите угол между его диагоналями в системе K, если система
движется относительно системы
находится квадрат, сторона которого параллельна
со скоростью c
95,0
. Ответ: 72°.
5.4. При какой скорости масса движущегося электрона вдвое больше
его массы покоя? Ответ: 2,6 10
8
м/с.
5.5. Найдите скорость мезона, если его полная энергия в 10 раз
больше энергии покоя. Ответ: 2,985 10
8
м/с.
Задания для индивидуальной работы
5.6. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью
6,0 . Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения
c
земного наблюдателя?
5.7. В лабораторной системе отсчета пи-мезон с момента рождения
до момента распада пролетел расстояние 75 м. Скорость частицы
995,0 . Определите собственное время жизни пи-мезона.
c
5.8. Собственное время жизни мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел
расстояние 6 км. Определите скорость частицы (в долях скорости света).
5.9. В некоторой системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью c
990,0 , пролетел от места своего рождения до точки распада рас-
стояние
= 3 км. Определите собственное время жизни этого мезона.
5.10. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по
75,0
одной прямой с одинаковой скоростью c
мишень с интервалом времени
= 50 нс. Найдите расстояние между ча-
, попали в неподвижную
стицами до попадания в мишень.
5.11. Какую продольную скорость
нужно сообщить стержню для
того, чтобы его длина стала равна половине той длины, которую он имеет
в состоянии покоя?
5.12. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе
отсчета со скоростями cv 6,0
и cv 9,0
1
2
вдоль одной прямой. Определи-
те их относительную скорость в двух случаях: а) частицы движутся в одном
направлении; б) частицы движутся в противоположных направлениях.
5.13. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость cv 4,0
.
1
В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего
движения
-частицу со скоростью cv 75,0
2
относительно ускорителя.
Найдите скорость частицы относительно ядра.
5.14. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по
75,0
одной прямой с одинаковой скоростью c
, попали в неподвижную
мишень с интервалом времени
стицами до попадания в мишень.
= 50 нс. Найдите расстояние между ча-
35
5.15. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями
v
v
v
p
v
/
N
и cv 75,02 в лабораторной системе отсчета. Найдите их отно-
1
cv 50,0
сительную скорость в системе отсчета, связанной с одной из частиц.
5.16. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, опреде-
11
ленное из опыта, равно
1088,0 Кл/кг. Определите релятивистскую массу
электрона и его скорость.
5.17. На сколько процентов релятивистская масса частицы больше
массы покоя при скорости 30 Мм/с?
5.18. Электрон движется со скоростью c
6,0. Определите реляти-
вистский импульс электрона.
5.19. При какой скорости
по формуле m
не превышает 1%?
погрешность при вычислении импульса
5.20. Кинетическая энергия электрона равна 10 Мэв. Во сколько раз
его релятивистская масса больше массы покоя? Сделайте такой же расчет
для протона.
5.21. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию 1 Гэв?
5.22. Электрон летит со скоростью c
8,0. Определите кинетиче-
скую энергию электрона (в мегаэлектрон-вольтах).
5.23. Кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя. Во
сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в четыре раза?
5.24. Полная энергия частицы равна
10mc . Чему равна ее скорость?
2
5.25. Синхрофазотрон дает пучок протонов с кинетической энергией 10
ГЭв. Какую долю скорости света составляет скорость протонов в этом случае?
6. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ
Основные понятия, законы и формулы
По закону Авогадро в моле любого вещества содержится одинаковое
число однородных частиц, поэтому молярная масса:
Nm
,
0 A
где
масса одной частицы,
m
0
постоянная Авогадро.
N
A
Количество вещества однородного газа (в молях):
,
m
где
NN /
или
A
число молекул газа, m масса газа.
Если система представляет смесь нескольких газов, то количество
вещества системы:
36
где
V
N
P
V
T
R
T
P
k
k
n
i
11
mN
,,, соответственно количество вещества, число молекул, мас-
iiii
n
i
NN
/
или
Aii
са, молярная масса i-й компоненты смеси.
Концентрация молекул:
NVNn
где
ме,
объём системы,
плотность вещества.
число молекул, содержащихся в данной систе-
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Кла-
пейрона):
PV
m
где
давление газа,
m масса газа,
молярная масса газа,
объём газа,
Зависимость давления газа от концентрации n молекул и температуры:
где
постоянная Больцмана.
Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:
n
PP
i
i
1
где
парциальное давление i-й компоненты смеси, n число компонен-
P
i
тов смеси.
Молярная масса смеси газов:
...
21
...
21
m масса
где
i
i
компонента смеси,
го компонента смеси,
n число компонентов смеси.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:
1
3
V средняя квадратичная ско-
где
E средняя кинетическая энергия поступательного движения мо-
лекулы,
2
3
0
m масса одной молекулы,
0
рость молекул.
Скорость молекул:
n
A
,RTRT
m
i
1
,//
),/(
ii
абсолютная температура,
молярная газовая постоянная.
,nk
,
mmm
n
,
n
m
i
количество вещества i -го
i
i
2
,
VnmEnP
00
кв
кв
наиболее вероятная
средняя квадратичная
в
кв
средняя арифметическая
где R − универсальная газовая постоянная,
− постоянная Больцмана,
;/2/2
mkTRTV
0
;/3/3
mkTRTV
0
,/8/8
mkTRTV
0
T − абсолютная температура.
37
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по
N
N
/
F
NdN
/
N
R
скоростям
где F
)(
F
)(
dN
)(
Nd
4
m
2
kT
2/3
0
2
2
2/
kTm
0
e
,
функция распределения молекул по скоростям позволяет опре-
делить относительное число молекул
d
кул, скорости которых лежат в интервале
)(
из общего числа Nмоле-
до .
d
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по
энергиям теплового движения
dN
)(
F
Nd
)(
где
функция распределения молекул по энергиям теплового движе-
ния позволяет определить относительное число молекул
щего числа
заключённую в интервале
молекул, которые имеют кинетическую энергию ,2/
до .
2)(
2/3
/2/1
kT
ekT
,
)(
от об-
m
0
d
Барометрическая формула
/)(
RThhg
0
,
.
h
0
где
epp
h
0
и
p
h
давление газа на высоте h и
p
0
Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле
/
RTgh
)/(
0
n и
где
E потенциальная энергия молекулы во внешнем потенциальном поле.
п
n концентрация молекул соответственно на высотах h и 0h ;
0
0
kTghm
0
enenn
или ,
,
/
kTE
п
enn
0
Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с
2
,2
Vndz
2
где
d эффективный диаметр молекулы;
средняя арифметическая скорость молекул.
Средняя длина свободного пробега молекул газа:
V
z
Средняя кинетическая энергия молекулы:
i
E
i
где
i число степеней свободы молекулы.
Внутренняя энергия газа (энергия теплового движения молекул):
mi
U
RT
где
m масса газа,
постоянная.
38
молярная масса газа,
n концентрация молекул; V −
1
.
2
2
nd
,2kT
i
,
RT
22
универсальная газовая
Молярные теплоёмкости газа при постоянном объёме )(
S
t
T
/
M
S
/
S
/
янном давлении )(
C :
P
i
;
C
V
R
R
2
Формула Майера:
Закон теплопроводности Фурье:
Q
где
Q – теплота, прошедшая через площадь
C
.
P
VP
dT
St
dx
i
2
2
.RCC
,
за время
C и посто-
V
; dxd
гради-
ент температуры;
теплопроводность:
1
,
vc
V
3
где
ность газа;
молекул;
c удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме;
V
v – средняя арифметическая скорость теплового движения его
– средняя длина свободного пробега молекул.
Закон диффузии Фика:
d
DM
St
,
dx
где
щадь
масса вещества, переносимая посредством диффузии через пло-
за время t,
dxd
градиент плотности;
D
диффузия:
1
.
vD
3
Закон Ньютона для внутреннего трения:
d
F
S
,
dx
где
F сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью
; dxd
градиент скорости;
динамическая вязкость.
плот-
Примеры решения задач
Пример 1
Определить число N молекул, содержащихся в объёме V = 1 мм3
воды и массу
m молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды
1
имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр молекул
d .
Решение
Число N молекул, содержащихся в некоторой массе m вещества,
равно произведению числа Авогадро
N на количество вещества .
A
,
NN
A
:
39
где
V
Так как количество вещества
молярная масса, то
m
,
m
.
N
N
.A
Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объём
, получим
V
N
. (1)
Подставим в формулу (1) следующие значения величин
333
101;/10
ммVмкг
и произведём вычисления:
1010
1018
Массу
N молекул.
одной молекулы находим делением молярной массы на
m
1
число Авогадро:
Подставив в эту формулу числовые значения, найдём массу молеку-
лы воды:
1
Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно счи-
тать, что на каждую молекулу приходится объём (кубическая ячейка)
3
dV , где d диаметр молекулы. Отсюда
1
39
;
м
93
3
m
1
N
3
1018
23
1002.6
3
1034,31002.6
;/1018
молькг
1923
A
1002,6
мольN
123
.
A
26
.1099,2
кгm
Объём
V найдём, разделив молярный объём
1
в моле, т.е. на число Авогадро
Подставим полученное выражение
Входящий в эту формулу молярный объём определяется выражени-
ем;
/V . Тогда искомый диаметр молекулы
Подставим числовые значения физических величин в формулу (3)
и произведём вычисления:
40
3
.
Vd (2)
1
V на число молекул
N :
A
NVV
1 A
3
3
(3)
./
в формулу (2):
V
1
./
NVd
A
./
Nd
A
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]