Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие для проведения практических занятий по курсу общей физики
.pdf
Взаимодействие тел может осуществляться посредством силовых
M
k
L
r
p
полей (например, поля гравитационных сил). В этом случае работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение
произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие
поля называются потенциальными, а
силы, действующие в них – консерва-
тивными.
Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела, сила называется диссипативной, примером такой силы является сила трения.
Тела, находясь в потенциальном поле сил, обладают потенциальной
энергией. Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел,
определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Конкретное выражение для потенциальной энергии зависит от характера силового поля. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
RMmGE
п
,
где m и
– массы взаимодействующих тел, G – гравитационная посто-
янная.
Потенциальная энергия тела массой m , поднятого на высоту h над
поверхностью Земли, определяется формулой
Потенциальная энергия упругодеформированного тела
mghE
п
.
2
E
п
xk
, где
2
– коэффициент упругости тела, x – деформация.
Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется. В консервативных системах могут происходить лишь
превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной.
В системе, в которой действуют также неконсервативные
силы,
например сила трения, полная механическая энергия не сохраняется; она
превращается в тепловую, т.е. энергию другого вида.
Для тел, совершающих вращательное движение, водится в рассмот-
рение момент импульса. Моментом импульса
материальной точки отно-
сительно точки О называется величина, определяемая соотношением
где
– радиус-вектор, проведенный из точки O в материальную точку,
– импульс точки.
Закон изменения момента импульса
,
Ld
M
td
prL
внешн
,
21
где
M
M
A
E
v
v
M
– момент внешних сил относительно неподвижной точки O .
внешн
Работа, совершаемая моментом сил
при повороте тела на угол ,
определяется произведением этих величин:
.
2
кин
I
,
2
где
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси:
– угловая скорость.
E
Примеры решения задач
Пример 1
Два шара массами 2 и 3 кг движутся горизонтально навстречу друг
другу со скоростями 8 и 4 м/с и неупруго сталкиваются. Найти изменение
механической энергии шаров
.
Решение
До столкновения суммарная кинетическая энергия шаров была равна
2
11
2
vmvm
22
.
22
После столкновения, поскольку удар неупругий, шары стали двигаться в одном направлении и с одинаковой скоростью
как одно тело,
поэтому общая кинетическая энергия стала равна
2
vmm
21
.
2
Изменение механической энергии системы шаров будет равно изменению их общей кинетической энергии:
E
221
2
2
11
2
vmvmvmm
22
. (1)
222
В этом уравнении неизвестна скорость шаров
Применим закон сохранения импульса.
Суммарный импульс первого и второго шаров
новения равен импульсу после столкновения
после столкновения.
vm
+
11
vmm
. Поскольку им-
21
vm
до столк-
22
пульс – векторная величина, и шары двигались до столкновения навстречу
друг другу, при записи закона в скалярном виде получим
vmmvmvm
.
212211
Отсюда скорость шаров после столкновения
vmvm
. (2)
v
2211
mm
21
Подставим это выражение в формулу (1) и выполним необходимые
упрощения
22
2
vvmm
2121
E
2 mm
.
21
Знак минус показывает, что кинетическая энергия шаров уменьши-
лась.
Подставим числа и произведем вычисления:
2
4832
E
322
86
Дж.
Знак минус означает, что кинетическая энергия шариков уменьшилась.
Пример 2
Два абсолютно упругих шара массами
ся поступательно со скоростями
= 8 м/с и
1
m = 5 кг и 2m = 6 кг движут-
1
= 5 м/с, направленными
2
в одну и ту же сторону вдоль линии их центров. Найдите скорости шаров
u и 2u после удара.
1
Решение
Воспользуемся законами сохранения энергии и импульса.
По закону сохранения полной механической энергии:
2
m
11
E
m
2
22
E
2
um
11
E
2
um
21
2222
. (1)
E
пппп
2121
Будем считать, что шары движутся в горизонтальной плоскости, поэтому их потенциальная энергия в поле тяготения Земли при ударе не изменяется, т.е.
EEEE . (2)
пппп
2121
Тогда из уравнения (1) получаем
2
11
2
21
2
11
2
umummm
. (3)
21
По закону сохранения импульса получаем
При центральном ударе векторы
1
umummm
21122111
. (4)
,
,
u
и
u
2
1
направлены вдоль
2
одной прямой, поэтому формулу (4) можно записать в скалярном виде следующим образом:
Решая систему уравнений (3), (5), получим:
umummm
22112111
. (5)
u = 4,7 м/с, 2u = 6,8 м/с.
1
Задания для практических занятий
3.1. Найдите работу подъема груза по наклонной плоскости длиной
2 м, если масса груза равна 100 кг, угол наклона 30°, коэффициент трения
2
0,1; груз движется с ускорением 1 м/с
. Ответ: 1,35 кДж.
23
3.2. Камень брошен под углом 60° к плоскости горизонта. Кинети-
r
R
ческая энергия камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определите потенциальную и кинетическую энергии камня в высшей точке
его траектории. Ответ: 5 Дж, 15 Дж.
3.3. Два тела движутся навстречу друг другу и ударяются неупру-
го. Скорости тел до удара были 2 м/с и
4 м/с. Общая скорость тел после
удара равна 1 м/с и по направлению совпадает с направлением скорости
первого тела. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была
больше кинетической энергии второго тела? Ответ: в 1,25 раза.
3.4. Движущееся тело массой
массой
m . При центральном упругом ударе скорость первого тела
2
m ударяется о неподвижное тело
1
уменьшилась в 1,5 раза. Первоначальная кинетическая энергия первого
тела равна 1 кДж. Найдите кинетическую энергию второго тела после
удара. Ответ:
95 кДж.
3.5. Нейтрон массой
лерода массой
12m . Считая удар упругим и центральным, найдите, ка-
0
кую часть скорости потерял нейтрон при ударе. Ответ:
m ударяется о неподвижное ядро атома уг-
0
132 .
3.6. Стальной шарик массой 20 г, падая с высоты 1 м на стальную
плиту, отскакивает от нее на высоту 81 см. Определите количество теплоты, выделившееся при ударе. Ответ: 37,2 мДж.
3.7. Маховик в виде диска массой 80 кг и радиусом 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу нужно совершить, чтобы маховик
стал вращаться с
3.8. Маховик, момент инерции которого равен 40 кг м
частотой 10 об/с? Ответ: 7,11 кДж.
2
, начал вра-
щаться из состояния покоя под действием момента силы 20 Н м. Определите кинетическую энергию маховика через 10 с после начала движения. Ответ: 500 Дж.
3.9. Горизонтальная платформа массой
m = 100 кг вращается во-
круг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой
= 10 об/мин. Человек массой m = 60 кг стоит при этом на краю
1
платформы. С какой частотой
начнет вращаться платформа, если
2
человек перейдет от края платформы к ее центру? Считайте платформу
однородным диском, а человека – материальной точкой. Ответ:
22 об/мин.
3.10. Человек массой
форме массой
m = 100 кг. С какой частотой будет вращаться платфор-
2
ма, если человек будет двигаться по окружности радиусом
m = 60 кг находится на неподвижной плат-
1
= 5 м во-
круг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы
v = 4 км/ч. Радиус платформы
0
= 10 м. Считайте платформу
однородным диском, а человека – материальной точкой. Ответ:
0,49 об/мин.
24
Задания для индивидуальной работы
Упругий удар
3.11. Тело массой
массой
, движущееся со скоростью
m
2
гим, найдите скорости тел
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
Тело массой
m , движущемуся со скоростью
2
m = 2 кг, 2m = 1 кг,
1
m = 2 кг, 2m = 1 кг,
1
m = 1 кг, 2m = 2 кг,
1
m = 1кг, 2m = 2 кг,
1
m = 2 кг, 2m =2 кг,
1
= 4 кг,
m
1
m = 4 кг, 2m = 2 кг,
1
m = 2 кг, 2m = 4 кг,
1
m = 3 кг, 2m = 5 кг,
1
m = 3 кг, 2m = 5 кг,
1
m движется со скоростью
найдите скорости тел
Вариант 11.
Вариант 12.
Вариант 13.
Вариант 14.
Вариант 15.
Вариант 16.
Вариант 17.
Вариант 18.
Вариант 19.
Вариант 20.
m = 2 кг, 2m = 1 кг,
1
m = 2 кг, 2m = 1 кг,
1
m = 1 кг, 2m = 2 кг,
1
m = 1кг, 2m = 2 кг,
1
m = 2 кг, 2m =2 кг,
1
m = 4 кг, 2m = 2 кг,
1
= 4 кг,
m
1
m = 2 кг, 2m = 4 кг,
1
= 3 кг,
m
1
m = 3 кг, 2m = 5 кг,
1
m движется со скоростью
1
. Считая удар центральным упру-
2
m
2
1
m
m
1
= 2 кг,
и
1
= 2 кг,
2
= 5 кг,
2
и
2
после удара.
2
= 10 м/с,
1
= 9 м/с,
1
= 8 м/с,
1
= 7 м/с,
1
= 6 м/с,
1
= 6 м/с,
1
= 5 м/с,
1
= 5 м/с,
1
= 4 м/с,
1
= 3 м/с,
1
. Считая удар центральным упругим,
2
после удара.
= 10 м/с,
1
= 9 м/с,
1
= 8 м/с,
1
= 7 м/с,
1
= 6 м/с,
1
= 6 м/с,
1
= 5 м/с,
1
= 5 м/с,
1
= 4 м/с,
1
= 3 м/с,
1
= 6 м/с.
2
= 8 м/с.
2
= 3 м/с.
2
= 6 м/с.
2
= 3 м/с.
2
= 5 м/с.
2
= 2 м/с.
2
= 3 м/с.
2
= 2 м/с.
2
= 1 м/с.
2
навстречу телу массой
1
= 6 м/с.
2
= 8 м/с.
2
= 3 м/с.
2
= 6 м/с.
2
= 3 м/с.
2
= 5 м/с.
2
= 2 м/с.
2
= 3 м/с.
2
= 2 м/с.
2
= 1 м/с.
2
и догоняет тело
1
Неупругий удар
3.12. Движущееся тело массой
массой
m . Считая удар неупругим и центральным, найдите, какая часть
2
m ударяется о неподвижное тело
1
кинетической энергии первого тела при ударе переходит в теплоту.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
m = 1 кг, 2m = 2 кг.
1
= 3 кг,
m
1
m = 2 кг, 2m = 2 кг.
1
= 2 кг,
m
1
= 4 кг.
m
2
= 5 кг.
m
2
25
Вариант 5.
t
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
Движущееся тело массой
. Считая удар неупругим и центральным, найдите, во сколько раз
m
2
m = 4 кг, 2m = 6 кг.
1
m = 5 кг, 2m = 1 кг.
1
= 4 кг,
m
1
m = 3 кг, 2m = 1 кг.
1
= 2 кг,
m
1
m = 4 кг, 2m = 3 кг.
1
= 2 кг.
m
2
= 1 кг.
m
2
m ударяется о неподвижное тело массой
1
уменьшилась кинетическая энергия тел при ударе.
Вариант 11.
Вариант 12.
Вариант 13.
Вариант 14.
Вариант 15.
Вариант 16.
Вариант 17.
Вариант 18.
Вариант 19.
Вариант 20.
m = 1 кг, 2m = 2 кг.
1
m = 3 кг, 2m = 4 кг.
1
m = 2 кг, 2m = 2 кг.
1
m = 2 кг, 2m = 5 кг.
1
m = 4 кг, 2m = 6 кг.
1
m = 5 кг, 2m = 1 кг.
1
m = 4 кг, 2m = 2 кг.
1
m = 3 кг, 2m = 1 кг.
1
m = 2 кг, 2m = 1 кг.
1
m = 4 кг, 2m = 3 кг.
1
4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Основные понятия, законы и формулы
Колебательным называется движение, повторяющееся во времени.
Самым простым колебательным движением считается гармоническое колебание материальной точки. Гармоническим называют колебание, в процессе которого величины, характеризующие движение, (смещение, скорость, ускорение, сила и т.д.) изменяются с течением времени по закону
синуса или косинуса (по гармоническому закону).
Смещение колеблющейся точки от начала
отсчета (положения рав-
новесия) в каждый момент времени определяется уравнением
где
– время, отсчитываемое от момента начала наблюдения, – цикли-
ческая частота колебаний,
точки,
– начальная фаза.
0
cos
m
– максимальное смещение колеблющейся
x
m
txx
,
0
Зависимость скорости колеблющейся точки от времени можно получить, произведя дифференцирование этого выражения по времени:
tx
sin
m
0
, где
x
– амплитуда скорости.
mm
Зависимость ускорения колеблющейся точки от времени можно получить, определив производную по времени от скорости:
26
2
cos
m
txa
0
, где
2
xa – амплитуда ускорения.
mm
Основными характеристиками гармонических колебаний являются
T
v
v
t
x
x
k
k
k
амплитуда, период, частота, круговая частота и фаза. Амплитудой называют наибольшее значение колеблющейся величины (смещения, скорости,
ускорения и т.д.).
Периодом
называют время, в течение которого совершается одно
полное колебание. Число колебаний, совершаемых в единицу времени,
называют частотой
. Циклическая частота
2 – число полных коле-
баний, совершаемых в течение
Величина
t
характеризует значение колеблющейся величины
0
в данный момент времени и называется фазой колебаний. Величина
определяет значение колеблющейся величины при 0
2 с.
0
, т.е. в начальный
момент времени и называется начальной фазой колебаний.
Уравнение второго закона Ньютона для материальной точки массой
m , совершающей гармонические колебания вдоль оси
0
,
где
F – проекция на ось
x
cos
mxx
равнодействующей всех сил, приложенных к
, имеет вид:
2
xmtmxmaF
точке.
2
Произведение
m , стоящее в правой части этого уравнения – величи-
на постоянная, поэтому материальная точка может совершать гармонические
колебания лишь при условии, что в процессе движения сама возвращающая
сила изменяется пропорционально смещению и направлена к положению
равновесия, т.е. когда
x
xkF
. Здесь
– постоянный для данной системы
коэффициент. Сила, изменяющаяся по такому закону, называется квазиупругой силой. Коэффициент
систему; он связан с массой и циклической частотой:
выражается через величины, характеризующие
2
m
.
Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки:
2222
Е
кин
sin
m
2
tmxm
2
0
.
В процессе колебания сила изменяется пропорционально смещению
и потенциальная энергия в каждый момент времени равна:
2222
Е
пот
cos
m
2
tmxxk
2
0
.
Полная механическая энергия гармонически колеблющейся точки
22
xm
mm
постоянна и равна
Е
.
2
Примеры решения задач
Пример 1
Небольшой груз совершает колебания по закону
5,0sin02,0
tx
(все величины в единицах СИ). Определите амплитуду, период, начальную
27
фазу колебаний, а также максимальную скорость и ускорение груза. Через
x
t
t
x
I
какое время после начала движения груз будет проходить через положение
равновесия? За какое время после начала движения груз проходит расстояние, равное половине амплитуды?
Решение
Сравнивая заданное уравнение с уравнением гармонических колеба-
ний, записанным в общем виде, получаем, что амплитуда колебаний
x м. Фаза колебаний
m
ская частота
02,0
с
-1
, период
2
T = 2 с, начальная фаза
5,05,0
tt , поэтому цикличе-
0
.
5,0
Максимальную скорость и ускорение колеблющейся точки можно
выразить через амплитуду колебаний и угловую частоту. Получаем:
02,0
m
м/с,
a м/с
m
2
02,0
2
.
Уравнение движения колеблющейся точки позволяет определить ее
смещение в любой момент времени и найти время, за которое точка сместится от положения равновесия на заданное расстояние. В момент прохождения
положения равновесия 0
точки, получим
t
. Подставляя это значение в закон движения
5,0sin02,00
, откуда
nt
5,0, где n = 1,2,3,…,
и, следовательно, промежутки времени, спустя которые груз будет проходить
положение равновесия, определяются формулой 5,0
n
, где t измеряется
в секундах. Первый раз груз пройдет положение равновесия через время
5,0)5,01(
с после начала движения. Чтобы найти время прохождения
расстояния, равного половине амплитуды, подставим 01,0
жения точки и найдем
t
, откуда время
3
с.
31
t
в закон дви-
Пример 2
Физический маятник представляет собой стержень длиной
и массой
ром
3m с прикрепленным к одному из его концов обручем диамет-
1
2d и массой
m . Маятник совершает колебания относительно оси,
1
перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определите
период колебаний маятника.
Решение
Период колебаний физического маятника определяется по формуле
mglIT
c
где
масса,
2 ,
– момент инерции маятника относительно оси колебаний, m – его
– расстояние от оси до центра масс маятника.
l
c
Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня
и обруча:
III
.
21
= 1 м
28
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр
I
M
k
2
12
масс, определяется по формуле
2
4
получим
теоремой Штейнера
произвольной оси,
через центр масс,
lmI . Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись
11
2
maII , где
0
I момент инерции тела относительно оси, проходящей
0
a – расстояние между этими осями. Для обруча получаем
12
Момент инерции всего маятника
Расстояние
l определяется формулой:
c
xm
l
c
m
ii
i
mlI . Поскольку масса стержня
1
– момент инерции тела относительно
2
1
3
2
2
1
lmm
11
mm
11
4303
1
2
85434
lmlmlmI
1
2
854
lmlmI .
163
l
.
.
3m
1
Для периода колебаний маятника получаем
T
После вычислений получаем
2
lm
87
2
1
43
1
T = 2,17 с.
2
lgm
l
7
.
g
6
Пример 3.
На гладком горизонтальном столе лежит шар массой
ленный к пружине жесткостью
щая в момент удара скорость
. В шар попадает пуля массой m , имею-
, направленную вдоль оси пружины. Счи-
0
, прикреп-
тая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определите период и амплитуду колебаний шара.
Решение
При соударении с шаром пуля сообщает ему кинетическую энергию,
вследствие чего шар приходит в движение и сжимает пружину. Пружина
сжимается до тех пор, пока кинетическая энергия полностью не перейдет
в потенциальную энергию деформации. В этот момент кинетическая энергия шара станет равной нулю, потенциальная энергия достигнет максимума, смещение шара от
положения равновесия станет равно амплитудному
значению. Дальше процесс пойдет в обратном порядке: форма пружины
будет восстанавливаться, ее потенциальная энергия станет уменьшаться,
кинетическая энергия шара будет возрастать и в положении равновесия
первая обратится в нуль, вторая достигнет максимума. Скорость шара будет направлена вправо, и при своем движении он начнет растягивать
пружину. Т.к. поверхность стола идеально гладкая и сопротивление воздуха
мало, кинетическая энергия шара полностью перейдет в потенциальную
энергию деформации пружины, и процесс повторится заново. Возвращающая сила упругости, приложенная к шару, всюду пропорциональна смещению, и колебания шара будут гармоническими. Чтобы определить амплитуду этих колебаний, нужно использовать закон
сохранения импульса
для системы пуля-шар и закон сохранения энергии для системы шар-пуля-
,
29
пружина. Закон сохранения импульса позволяет определить скорость ,
k
xkF
t
t
t
x
с которой начнет двигаться система после удара пули. Пренебрегая смещением шара за время удара и учитывая, что пуля застревает в нем, полу-
Mmm
чим
0
.
Чтобы составить уравнение закона сохранения энергии, рассмотрим
два состояния системы. Первое – состояние системы в момент окончания
удара, когда деформации прекратились и шар начал двигаться. Энергия
пружины здесь была равна нулю, и шар вместе с пулей обладал энергией
1
2
MmE
2
. Второе состояние – в момент наибольшей деформации пру-
жины, когда смещение шара достигло максимального (амплитудного) значения
сжатой пружины
x . Энергия системы здесь равна только потенциальной энергии
m
22
xkxk
m
E
2
.
22
Работа внешних сил (силы реакции опоры и силы тяжести) в процессе перехода системы из первого состояния во второе равна нулю; силу
трения в соответствии с условием задачи можно не учитывать. Таким образом, механическая энергия системы в первом и во втором состоянии
одинакова – выполняется закон сохранения энергии.
22
xkMm
m
.
22
Для нахождения периода колебаний системы нужно составить уравнение 2-го закона Ньютона для шара с пулей. Для точки, совершающей
гармонические колебания, модуль силы упругости выражается следующим
образом
. В рассматриваемом случае сила может быть
2
xmMF
выражена через жесткость пружины
и сжатие x:
.
Решая систему записанных уравнений, получим формулы
m
0
x
m
,
Mmk
2
MmT
.
k
Задания для практических занятий
4.1. Через какое время после начала движения точка, совершающая
колебания согласно уравнению
sin9,0
, проходит путь от положения
tx
2
равновесия до максимального смещения? Ответ: 1 с.
4.2. Точка совершает колебания, описываемые законом
Найдите моменты времени
, в которые достигаются максимальные ско-
рость и максимальное ускорение. Ответ:
4.3. Уравнение движения точки имеет вид
= 0, 6, 12…с;t = 3, 9, 15…с.
cos05,0
(м). Найди-
tx6sin3
те скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения
равновесия составляет 25 мм. Ответ: 0,136 м/с.
30
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]