Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика грунтов. Решение практических задач. Учебное пособие
.pdf
где
n
1
S
n
tg
tg
2
1
i
c
2
. (1.17)
inni
3. Коэффициенты вариации φ и с вычисляются по формуле (1.6),
а доверительный интервал:
δ
tg φ
= tα · V
; δс = tα · V
tg φ
. (1.18)
c
4. Расчетные значения φ и с находят по формулам (1.10) и (1.11).
Доверительная вероятность α принимается равной 0,85 при расчетах оснований по деформациям и равной 0,95 при расчетах несущей
способности оснований и расчетах подпорных стен.
Пример 1.2. Для инженерно-геологического элемента, сложен-
ного суглинками, было выполнено 27 лабораторных определений
сопротивления срезу τ в девяти
сериях при трех значениях нормального давления σ = 100, 200 и 300 кПа. Результаты определений и необходимые для дальнейших расчетов вычисления приведены в табл. 1.5.
Таблица 1.5
Результаты лабораторного определения величины сопротивления
грунтов сдвигающим усилиям
Номер
серии
опытов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Σ
S
v = 2,35; v · S
σ = 100 кПа σ = 200 кПа σ = 300 кПа
2
100
64
25
24
4
4
49
100
100
τi, кПа
90
90
90
95
99
105
107
110
130
(τ – τi)2τi, кПа τ – τi(τ – τi)
τ – τ
i
12
144
117
12
144
125
12
144
132
7
49
132
3
9
135
–3
–5
–8
–28
9
25
64
784
135
135
145
172
19
11
4
4
1
1
1
–9
–36
, кПа τ – τi(τ – τi)
τ
i
55
10
57
60
60
67
67
72
75
75
8
5
5
–2
–2
–7
–10
–10
588 – 471 916 – 1372 1228 – 1894
τ
= 588 / 9 = 65
1
=
dis
10 < 16
9/471
dis
= 7
= 16;
τ
= 916 / 9 = 102
2
=
S
dis
v = 2,35; v · S
28 = 28
9/1372
dis
= 12
= 28;
τ3 = 1228 / 9 = 136
=
S
dis
v = 2,35; v · S
36 > 35
9/1894
dis
361
121
16
16
1
1
1
81
1296
= 15
= 35;
2
Прежде чем приступить к вычислению нормативных и расчетных
значений φ и с, следует выполнить проверку на исключение грубых
ошибок в определениях τ
при каждом значении нормального давле-
i
ния. Необходимые для этого подсчеты сведены в табл. 1.5. Значения
статистического критерия ν приняты по табл. 1.1 для n = 9.
В результате проверки установлено, что при σ = 100 кПа |τi – τ| <
< v · S
, следовательно, опытные данные не содержат грубых оши-
dis
бок. При σ = 200 кПа для одного из значений τi = 130 кПа получено
равенство |τi – τ| = v · S
. Следовательно, τi = 130 кПа может быть как
dis
исключено, так и оставлено. Примем решение: оставить это значение в статистической совокупности. При σ = 300 кПа для значения
τi = 172 кПа получили |τi – τ| > v · S
, следовательно, это значение τ
dis
должно быть исключено как грубая ошибка.
Вычисления нормативных и расчетных значений с и φ следует ве-
сти в табличной форме (табл. 1.6). В графы 2 и 3 вписываем экспериментальные значения σi и τi. После вычислений, внесенных в графы
4 и 5, определяем tg φn и сn. Значения в графе 6 получаем путем подстановки найденных значений tg φn и сn в уравнение τi = σi · tg φn + cn.
Обозначим знаменатель в формулах (1.12), (1.13), (1.15) и (1.16)
буквой М и вычислим его значение:
М = 26 · 1
170 000 + 51002 = 4 410 000;
tg φn = (26 · 558 800 – 2560 · 5100) / 4 410 000 = 0,33; φn = 18º16′ ≈ 18º;
cn = (2560 · 1 170 000 – 5100 · 558 800) / 4 410 000 = 33 кПа.
Уравнение прямой графика τ = f(p) будет иметь вид
τ = 0,33р + 33.
Проверим уравнение подстановкой средних значений τ и р:
τ = 2560 / 26 = 98;
p = 5100 / 26 = 196;
98 = 0,33
196 + 33 = 98.
·
Сходимость результатов свидетельствует о правильности вычислений с
n и tg φn
.
После заполнения граф 7 и 8 табл. 1.6 вычисляем:
SIJ =
S
= 0004104/000170110 = 5 ɤɉɚ;
ɫ
227/2385 = 10 ɤɉɚ;
12 13
Таблица 1.6
Результаты вычисления нормативных и расчетных значений
прочностных характеристик грунтов
№ п/п
σ
i
τ
i
2
σ
i
σi · τ
τ
i
i
τ – τi(τ – τi)
123 4 5678
121
81
36
36
1
1
36
81
81
81
81
81
16
0
36
64
121
961
225
49
0
0
9
9
9
169
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Σ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
200
300
300
300
300
300
300
300
300
55
57
60
60
67
67
72
75
75
90
90
90
95
99
105
107
110
130
117
125
132
132
135
135
135
145
10
000
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
90 000
90 000
90 000
90 000
90 000
90 000
90 000
90 000
5500
5700
6000
6000
6700
6700
7200
7500
7500
18 000
18 000
18 000
19 000
19 800
21 000
21 400
22 000
26 000
35 100
37 500
39 600
39 600
40 500
40 500
40 500
43 500
66
66
66
66
66
66
66
66
66
99
99
99
99
99
99
99
99
99
132
132
132
132
132
132
132
132
5100 2560 1 170 000 558 800 – – 2385
11
9
6
6
–1
–1
–6
–9
–9
9
9
9
4
0
–6
–8
–11
–31
15
7
0
0
–3
–3
–3
–13
2
S
= 10 0004104/27 = 0,02;
tg ij
Vc = 5 / 33 = 0,15;
V
= 0,02 / 0,33 = 0,06.
tg φ
Находим расчетные значения с и φ для расчетов по второму пре-
дельному состоянию. Для α = 0,85 и числа степеней свободы n
= 24 по табл. 1.2 находим, что tα = 1,06. Тогда:
–
2 =
с = 1,06 · 0,15 = 0,16;
= 1 / (1 – 0,16) = 1,19;
g(c)
= 1,06 · 0,06 = 0,06;
tg φ
= 1 / (1 – 0,06) = 1,06;
g(tg φ)
c
= 33 / 1,19 = 28 кПа;
II
tg φII = 0,33 / 1,06 = 0,31; φII = 17º13′ ≈ 17º.
Определим расчетные значения с и φ для расчетов по первому
предельному состоянию: для α = 0,95 и n –
2 = 24 по табл. 1.2 – tα =
= 1,71. Тогда:
ρс = 1,71 · 0,15 = 0,26;
k
= 1 / (1 – 0,26) = 1,35;
g(c)
ρ
= 1,71 · 0,06 = 0,10;
tg φ
k
= 1 / (1 – 0,10) = 1,11;
g(tg φ)
cI = 33 / 1,35 = 24 кПа;
tg φI = 0,33 / 1,11 = 0,30; φI = 16º42′ ≈ 17º.
В табл. 1.7 приведены варианты заданий для самостоятельной ра-
боты.
Вари-
ант
1 100
2 100
3 100
4 100
5 100
6 100
Давление
σ
, кПа
i
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
τ
54
93
125
55
95
127
53
96
126
56
95
124
51
98
125
50
102
122
Варианты заданий
τ
1
2
53
95
129
54
96
127
55
98
128
55
97
129
53
100
129
54
103
126
τ
57
97
135
52
98
137
57
100
139
59
102
141
54
105
138
62
106
130
τ
τ
61
95
144
62
96
146
64
98
148
68
103
152
58
105
154
66
108
145
τ
5
6
56
106
148
59
108
150
52
110
152
57
112
154
56
115
156
60
118
155
3
4
52
99
138
54
101
140
58
103
142
56
105
144
57
108
146
69
111
135
τ
58
110
159
53
112
161
60
114
163
61
116
165
53
118
167
64
123
165
7
Таблица 1.7
τ
8
56
115
168
51
117
170
62
119
172
60
123
175
61
125
177
57
128
175
τ
74
124
170
77
126
172
74
128
175
73
128
177
74
132
179
71
136
168
9
14 15
Вари-
Давление
ант
7 100
8 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 100
15 100
16 100
17 100
18 100
19 100
20 100
σ
, кПа
i
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
200
300
τ
56
98
124
54
96
120
55
95
125
52
98
123
56
94
127
54
96
124
51
93
122
53
98
125
55
95
127
52
100
123
54
94
126
50
99
124
56
95
128
53
97
122
Окончание табл. 1.7
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
69
133
158
61
137
155
65
139
161
62
135
158
65
139
162
56
143
156
59
153
170
64
148
173
58
152
176
60
155
165
62
153
169
67
158
173
55
148
162
57
156
164
τ
8
9
72
142
175
73
148
165
76
146
166
75
149
165
77
152
167
72
153
162
74
156
177
78
154
180
70
151
165
77
159
171
75
163
175
78
167
180
76
163
167
77
162
170
1
2
3
4
5
6
7
58
60
61
59
60
101
128
59
98
125
57
96
131
54
103
128
56
98
132
52
99
130
55
97
129
54
103
132
58
105
134
59
104
129
55
97
133
51
102
131
54
99
133
55
103
128
108
135
56
103
130
59
98
136
53
107
133
58
102
137
57
103
136
53
108
136
57
105
139
57
110
141
52
110
135
56
103
139
54
113
138
58
102
138
59
113
134
115
140
55
116
135
60
105
141
55
112
138
60
105
142
59
110
142
54
114
142
56
112
146
61
115
148
58
119
141
62
113
145
57
119
145
61
109
142
64
122
140
99
149
63
101
140
62
108
146
65
111
143
62
108
147
59
121
148
59
123
149
61
128
153
59
133
155
61
141
147
64
132
151
59
123
152
65
123
147
68
132
146
95
156
59
98
145
63
100
151
59
105
148
59
103
152
57
126
144
52
128
156
65
133
159
64
138
162
59
146
153
59
139
157
63
133
159
68
132
152
61
138
152
61
103
159
57
106
150
57
110
156
61
113
153
63
115
157
54
129
150
58
132
163
62
134
166
67
142
169
62
146
159
64
148
163
65
153
166
59
139
157
63
146
158
2. Определение напряжений в грунтах
Вопрос об определении напряжений в грунтовой толще имеет
большое значение для установления условий прочности и устойчивости грунтов и определения их деформаций (главным образом осадок) под действием внешних сил и собственного веса грунта. Как известно, грунты являются дисперсными телами и, тем не менее, при
определении
напряжений принимают, что они являются сплошным,
изотропным, линейно деформируемым телом, испытывающим одноразовое загружение. В указанных условиях при определении осредненных напряжений в точке массива грунта можно использовать решения теории упругости.
В практике проектирования и строительства наиболее широко
применяются отдельностоящие (пространственная задача) и ленточные (плоская задача) конструкции фундаментов.
Кроме того, при
проектировании свеженасыпанных земляных сооружений и оценки
природной уплотненности грунтов необходимо вычислять величину
напряжений от природного их веса. Ниже рассматриваются методики определения напряжений для вышеуказанных условий.
2.1. Определение напряжений при действии местного
равномерно распределенного давления
В этом случае значения вертикальных напряжений σ
для точек,
z
расположенных под центром прямоугольной площади (рис. 2.1),
определяются по формуле
σ
= α · p, (2.1)
z
где α – коэффициент, принимаемый по табл. 2.1 в зависимости от
величины соотношения сторон η = l / b и относительной глуби-
ны расположения рассматриваемой точки ξ = 2z / b (l – длинная
сторона прямоугольной площади загружения, м; b – ее ширина, м;
z – глубина расположения рассматриваемой точки или горизонта, м);
р – равномерно распределенное давление по подошве фундамента, кПа.
16 17
σzр
σzр
Рис. 2.1. Схема к расчету напряжений σz для прямоугольной площади
Значения вертикальных напряжений σz для точек, расположен-
ных под углом прямоугольной площади, определяются по формуле
σ
= 0,25α · p, (2.2)
z
где α – коэффициент, также принимаемый по табл. 2.1 в зависимости
от величины соотношения сторон η = l / b и относительной глубины
расположения рассматриваемой точки ξ = z / b.
Пример 2.1. Требуется определить величину сжимающих напря-
жений σ
по глубине основания, построить эпюру его распределения
z
под центром (точка М) и углом (точка С) загруженного прямоугольного фундамента размером l×b = 4×2 м на глубине z = 0,5; 1,0; 1,5;
2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,5 и 6,0 м от поверхности при внешней
нагрузке интенсивностью р = 200 кПа.
Решение
Для точки М при η = l / b = 4 / 2 = 2 (формула (2.1)):
z = 0,0 м; ξ = 2z
/
b = 2 · 0,0 / 2 = 0,0; α = 1,00; σz = 1,00 · 200 = 200 кПа;
z = 0,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 0,5 / 2 = 0,5; α = 0,95; σz = 0,95 · 200 = 190 кПа;
z = 1,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 1,0 / 2 = 1,0; α = 0,80; σz = 0,80 · 00 = 160 кПа;
z = 1,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 1,5 / 2 = 1,5; α = 0,63; σz = 0,63 · 200 = 126 кПа;
z = 2,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 2,0 / 2 = 2,0; α = 0,48; σz = 0,48 · 200 = 96 кПа;
z = 2,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 2,5 / 2 = 2,5; α = 0,37; σz = 0,37 · 200 = 74 кПа;
z = 3,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 3,0 / 2 = 3,0; α = 0,29; σz = 0,29 · 200 = 58 кПа.
z = 3,5 м; ξ = 2z / b = 2·3,5 / 2 = 3,5; α = 0,23; σz = 0,23 · 200 = 46 кПа;
z = 4,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 4,0 / 2 = 4,0; α = 0,19; σz = 0,19 · 200 = 38кПа;
z = 4,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 4,5 / 2 = 4,5; α = 0,14; σz = 0,14 · 200 = 28 кПа;
z = 5,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 5,0 / 2 = 5,0; α = 0,13; σz = 0,13 · 200 = 26 кПа;
z = 5,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 5,5 / 2 = 5,5; α = 0,11; σz = 0,11 · 200 = 22 кПа;
/
z = 6,0 м; ξ = 2z
b = 2 · 6,0 / 2 = 6,0; α = 0,09; σz = 0,09 · 200 = 18 кПа.
z = 7,0 м; ξ = 2z / b = 2·7,0 / 2 = 7,0; α = 0,07; σz = 0,07 · 200 = 14 кПа;
z = 8,0 м; ξ = 2z / b = 2·8,0 / 2 = 8,0; α = 0,06; σz = 0,06 · 200 = 12 кПа.
/
Для точки С при η = l
z = 0,0 м; ξ = z
/
b = 0,0 / 2 = 0,00; α = 1,00; σz = 0,25 · 1,00 · 200 = 50 кПа;
b = 4 / 2 = 2 (формула (2.2)):
z = 0,5 м; ξ = z / b = 0,5 / 2 = 0,25; α = 0,96; σz = 0,25 · 0,96 · 200 = 48 кПа;
z = 1,0 м; ξ = z / b = 1,0 / 2 = 0,50; α = 0,95; σz = 0,25 · 0,95 · 200 = 47 кПа;
z = 1,5 м; ξ = z / b = 1,5 / 2 = 0,75; α = 0,88; σz = 0,25 · 0,88 · 200 = 44 кПа;
z = 2,0 м; ξ = z / b = 2,0 / 2 = 1,00; α = 0,80; σz = 0,25 · 0,80 · 200 = 40 кПа;
z = 2,5 м; ξ = z / b = 2,5 / 2 = 1,25; α = 0,71; σz = 0,25 · 0,71 · 200 = 36 кПа;
z = 3,0 м; ξ = z / b = 3,0 / 2 = 1,50; α = 0,63; σz = 0,25 · 0,63 · 200 = 32 кПа;
z = 3,5 м; ξ = z / b = 3,5 / 2 = 1,75; α = 0,55; σz = 0,25 · 0,55 · 200 = 27 кПа;
z = 4,0 м; ξ = z / b = 4,0 / 2 = 2,00; α = 0,48; σz = 0,25 · 0,48 · 200 = 24 кПа;
z = 4,5 м; ξ = z / b = 4,5 / 2 = 2,25; α = 0,43; σz = 0,25 · 0,43 · 200 = 22 кПа;
z = 5,0 м; ξ = z / b = 5,0 / 2 = 2,50; α = 0,37; σz = 0,25 · 0,37 · 200 = 19 кПа;
z = 5,5 м; ξ = z / b = 5,5 / 2 = 2,75; α = 0,33; σz = 0,25 · 0,33 · 200 = 17 кПа;
z = 6,0 м; ξ = z / b = 6,0 / 2 = 3,00; α = 0,29; σz = 0,25 · 0,29 · 200 = 15 кПа;
z = 7,0 м; ξ = z / b = 7,0 / 2 = 3,50; α = 0,23; σz = 0,25 · 0,23 · 200 = 12 кПа;
z = 8,0 м; ξ = z / b = 8,0 / 2 = 4,00; α = 0,19; σz = 0,25 · 0,19 · 200 = 10 кПа.
Эпюры распределения напряжений по глубине основания приве-
дены на рис. 2.2.
2 м
z, м
4 м
Рис. 2.2. Схема загруженной площади и эпюры распределения напряжений σz для точек М и С по
вертикальным сечениям к примеру 2.1
18 19
В табл. 2.2 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
Таблица 2.2
Варианты заданий
№ вари-
анта
b×l, м
р, кПа
№ вари-
анта
b×l, м
р, кПа
Примечание. Величину напряжений σ
z = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,5 и 6,0 м от поверхности действия нагрузки.
12345678910
1×2 1,2×
150 160 170 180 190 200 220 240 260 280
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2×4 1,8×
300 200 210 230 250 270 290 200 220 240
×2,2
×3,8
1,4×
×2,4
1,8×
×3,6
1,6×
×2,6
1,8×
×3,4
1,8×
2×3 2×3,2 2×3,4 2×3,6 2×3,8
×2,8
1,8×
1,8×3 1,8×
×3,2
необходимо вычислить для глубины
z
×2,8
1,6×
×2,6
1,8×
×2,4
1,8×
×2,2
2.2. Определение напряжений в грунтовой толще
в условиях плоской задачи
Условия плоской задачи будут иметь место тогда, когда напряжения распределяются в одной плоскости, в направлении же перпендикулярном они или будут равны нулю, или постоянны. Это
условие имеет место для очень вытянутых в плане сооружений, например ленточных и стеновых фундаментов,
оснований подпорных стенок, насыпей, дамб и подобных сооружений. При увеличении отношения длины площади загружения l к ее ширине b (при
равномерно распределенной нагрузке) задача по определению напряжений с большим основанием может рассматриваться как плоская (плоская деформация). Обычно плоская задача может приниматься, когда l / b > 10 (рис. 2.3).
В условиях плоской задачи определяются три составляющие
напряжений:
нормальные напряжения σz и σy, которые вычисляются по вы-
2
2
ражениям
= Kz · p, σy = Ky · p; (2.3)
σ
z
касательные напряжения τ
где K
, Ky, Kyz – коэффициенты влияния соответствующих напряже-
z
, вычисляемые по выражению
уz
τ
= K
yz
· p, (2.4)
yz
ний, значения которых приведены в табл. 2.3, в зависимости от величины относительных координат z / b и y / b; р – интенсивность равномерно распределенной полосовой нагрузки, кПа.
Пользуясь данными табл. 2.3, легко построить эпюры распределения напряжений по горизонтальным и вертикальным сечениям
массива грунта в случае плоской задачи.
Как пример на рис. 2.4 показаны эпюры сжимающих напряжений σz для вертикальных и горизонтальных сечений массива грунта. Пользуясь полученными эпюрами напряжений, легко построить
и кривые равных напряжений. На рис. 2.5, а приведены линии одинаковых вертикальных сжимающих напряжений или давлений (изобары), на рис. 2.5, б – линии одинаковых горизонтальных напряжений (распоры) и на рис. 2.5, в – линии одинаковых касательных напряжений (сдвиги), наглядно характеризующие всю напряженную
область грунта под полосообразной нагрузкой.
b
p, кПа
0
β′
σz
α
σzр
β =
+ β′
σy
Рис. 2.3. Схема действия равномерно распределенной
полосовой нагрузки
20 21
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]