Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки изображений точечных и протяженных объектов в оптических и радиометрических системах. Учебное пособие
.pdf
61
A
yAx
)},({ jixX
Ni ,1
Nj ,1
x
ˆ
k
x
ˆ
)
ˆ
(2|)/()(
ˆ
k
TT
xx
T
k
xAAyAxJJgrad
k
)(
ˆˆ
1 kkkk
Jgradxx
Kk ,0
k
)],(
ˆ
),(),(),([),(
ˆ
),(
ˆ
1
jiyjijiyjijixjix
kkkkkk
mMmi ,1
nNnj ,1
1,0 Kk
),(),( jiyjik
)(),(),(
11111
1 1
iiIjjiiyji
mmin
nj
k
1)( iI
0)( iI
),(
ˆ
),(),(
ˆ
jixjijiy
kkk
),(ˆ),(
1111
1 1
jjiixji
k
mmin
nj
k
4. Вектор y умножается справа на матрицу весовых коэффици-
ентов (псевдообратную матрицу)
, вычисленную заранее в соот-
ветствии с (2.3). В результате умножения получается вектор
.
5. Элементы вектора x переписываются построчно в матрицу
,
,
, которая представляет восстановленное
изображение объекта в зоне обзора с повышенным разрешением по
угловым координатам.
2.2. Градиентный и итерационный методы
Трудность реализации алгоритма (2.3) заключается в большой
размерности матрицы A значений АФ. Поэтому матричный метод с
псевдообратной матрицей A+ удается реализовать для небольших
фрагментов матрицы наблюдений Y. Чтобы избежать обращения мат-
рицы, воспользуемся градиентным методом поиска оценок
градиент функционала (2.2) в k-й точке приближения
. Анти-
дает направление поиска решения
где скалярный множитель
определяет скорость сходимости; k –
,
, (2.7)
номер итерации; K – заданное число шагов.
Выражение (2.7) удобно записать в скалярной форме с помощью
сверток (), не прибегая к искусственному построению векторов и
матриц:
,
,
, (2.8)
.
В (2.8) используются следующие обозначения:
=
− (2.9)
взвешенная сумма наблюдений, взятых с пропусками строк, где I(i) −
индикатор i-й строки:
для i-й непрореженной строки и
для прореженной (пропущенной) строки, что в программном
исполнении означает пропуск строки при суммировании;
=
− (2.10)
взвешенная сумма оценок изображения, дающая оценку наблюдений;
62
),(
ˆ
),( jiyjikk
),(ˆ),(
1111
1 1
jjiiyji
k
mmin
nj
k
),(
ˆ
0
jix
mMmi ,1
nNnj ,1
),(
ˆ
1
jix
k
),(
ˆ
),(/),(),(),(
ˆ
),(
ˆ
1
jiyjijiyjijixjix
kkkkk
mMmi ,1
nNnj ,1
1,0 Kk
),(
ˆ
),(/),(
ˆ
jiyjijix
kkk
),(
ˆ
0
jix
Qq ,1
),( ji
)()( ji
)exp()exp(
22
)/(sin)/(sin
,
),()(),()(),(
1 1
1111
jipjjjiixijiy
m
mi
n
nj
PBXAY
=
− (2.11)
взвешенная сумма оценок наблюдений.
В качестве начальных оценок изображения
маем наблюдения y(i,j),
,
в (2.10) прини-
, полученные
из прореженной матрицы Y путем заполнения ее недостающих строк
методом линейной интерполяции соответствующих элементов соседних строк.
При вычитании в (2.8) могут накапливаться отрицательные значения оценок
, что не отвечает физике изображений. Можно
воспользоваться модулем в правой части (2.8), однако более удачной
видится операция отношения сверток (2.9) − (2.11) в итерационном
методе:
что эквивалентно (2.8) при
,
,
, (2.12)
,
.
Выигрыш в размерности сопровождается проигрышем в быстро-
действии из-за большого числа итераций K, зависящего от точности
оценок
.
Выражения (2.8) – (2.12) можно обобщить на случай Q-канальной
обработки добавлением в выражениях (2.10) и (2.11) суммы по
.
2.3. Двухэтапные матричные методы восстановления
Двухэтапное восстановление матричным методом
в одноканальной системе
Пусть АФ
разделяется по переменным и представляется как
, (2.13)
что характерно для ДНА вида
, где μ − коэффициент;
− угловые коорди-
наты, а также для других подобных функций и их комбинаций. Тогда с
учетом (2.13) выражение (1.8) принимает вид
,
что позволяет представить (2.14) в матричной форме [5]
, (2.15)
, (2.14)
63
)},({ jiyY
)},({ kiaA
),( kia
)(i
)},({ skxX
)},({ jsbB
),( jsb
)( j
)},({ jipP
1h
))()(( AXBYAXBYTr
T
X
min
)((...) AXBAXBAXBYYAXBYYTr
dX
d
Trgrad
TTTTTTTT
TTTTTT
BAXBYAAXBBAYBA )(222
OTrgrad (...)
TTTT
YBAAXBBA
1
2
1
1
*
)()(
IBBBYAIAAX
TTTT
0
1
I
2
I
*
Z
B
TT
HYIBBBYZ
1
2
*
)(
*
X
**1
1
*
)( ZHZAIAAX
A
TT
BA
HH ,
TT
A
AIAAH
1
1
)(
1
2
)(
IBBBH
TT
B
где
матрица элементов
вой матрицы A значениями функции
элементов
рицы B значениями функции
− MxN-матрица наблюдений;
, полученных заполнением изначально нуле-
в соответствии с (2.14);
− искомая MxN-матрица;
− NxN-матрица
, полученных заполнением изначально нулевой мат-
в соответствии с (2.14);
− MxN-матрица шумов. Пропущенные при
− MxM-
строки
матрицы Y учитываются введением соответствующих нулевых строк
в матрицах Y , A и B.
Оценка матрицы X для модели (2.15) находится минимизацией
следа Tr следующего матричного выражения
. (2.16)
Условие (2.16) соответствует критерию МНК.
Градиент следа матрицы в (2.16) находится с использованием
процедуры дифференцирования скалярной функции по матрице:
=
.
Из необходимого условия существования экстремума
, где О – нулевая матрица, следует
,
что приводит к МНК-оценке вида
где
− малый параметр регуляризации, необходимый для устой-
чивого обращения матриц;
и
− MxM и NxN - единичные мат-
, (2.17)
рицы.
Вычисление (2.17) удобно осуществлять в два этапа.
1. Вначале вычисляется MxN-матрица
2. Затем вычисляется MxN-искомая матрица
Матрицы весовых коэффициентов
промежуточных оценок:
. (2.18)
:
. (2.19)
вычисляются заранее с
использованием процедур обращения матриц:
,
. (2.20)
64
B
H
BA
HYHX
*
)(
*
BA
HYHX
BA
HYH )(
T
AB
T
AB
HH
A
H
B
H
T
i
y
T
i
y
B
H
T
i
z
*
Z
Формула (2.18) такова, что каждая строка матрицы Y умножается
на столбцы матрицы
. Это дает возможность осуществлять опера-
ции (2.18) в процессе формирования строк матрицы Y.
Замечание. Так как
, то порядок умножения мат-
риц можно менять по свойству ассоциативности:
.
При M = N и m = n вычисления упрощаются:
,
.
Для сравнения рассмотрим векторно-матричную модель наблю-
дений (2.1). Из сопоставления следует, что форма (2.1) не позволяет
осуществлять операции в процессе формирования строк матрицы Y.
Размер обращаемой матрицы в (2.1) квадратично зависит от размеров
MxN матрицы X, в то время как размеры обращаемых матриц в (2.20)
имеют примерно одинаковые размеры с матрицей X. Реализация оценок (2.3) модели (2.1) на практике может оказаться неосуществимой
из-за больших размеров обращаемой матрицы А.
Алгоритм двухэтапного восстановления, основанный на (2.18),
(2.19), сводится к следующим операциям.
1. Заранее составляются матрицы А и B. Ниже показан пример (в 3
столбца):
% Матрица A % Прореживание А % Матрица B
нулями
for i=1:M-2*m if h>1 for i=1:N
for j=1:M for i=2:h:M-2*m for j=1:N-2*n
A(i,j)=0; for i1=i:i+h-2 B(i,j)=0;
end %j if i1<=M-2*m end %j
end %i for j=1:M end %i
for i=1:M-2*m A(i1,j)=0; for j=1:N-2*n
k=0; end %j k=0;
for j=i:i+2*m end %if for i=j:j+2*n
k=k+1; end %i1 k=k+1;
A(i,j)=alf(k); end %i B(i,j)=bet(k);
end %j end %if end %j
end %i end %i
2. Заранее по формулам (2.19) вычисляются матрицы весовых
коэффициентов
и
.
3. В процессе сканирования антенны радиометра по азимуту фор-
мируется i-я N-строка
4. Строка
умножается последовательно на N столбцов матрицы
, и полученная последовательность заполняет i-ю строку
матрицы наблюдений Y .
в
.
65
*
Z
*
Z
A
H
*
X
2Q
PBXAY
221
121
21
2
1
221
121
PP
PP
BBX
A
A
YY
YY
221
121
2212
2111
PP
PP
XBAXBA
XBAXBA
12
Y
21
Y
)()(),(
2112
jiji
)()().(
1221
jiji
)]()[((...) AXBYAXBYTrTr
T
X
min
11
)()(
TTTT
BBBYAAAX
YHZ
A
T
A
TT
HYZ
T
B
HZX
),()(
21
1
12211
TTTT
A
AAIAAAAH
),()(
21
1
22211
BBIBBBBH
TT
B
1Q
5. Операции пп. 3,4 повторяются при изменении угла места антенны для i = 1, 2, …, M. В результате полностью заполняется матри-
ца
.
6. По завершении операций сканирования антенны матрица
умножается справа на матрицу весовых коэффициентов
зультате образуется матрица восстановленного изображения
. В ре-
с
повышенным пространственным разрешением.
Двухэтапное восстановление матричным методом
в четырехканальной системе
Рассмотрим решение задачи двухэтапного восстановления для
случая
при работе двух каналов в одном частотном диапазоне.
Для сохранения матричной структуры введем в рассмотрение матрично-блочную модель наблюдений вида
=
=
, (2.21)
где Y – QxQ-блочная матрица; A – блочный Q-вектор-столбец; B −
блочный Q-вектор-строка.
В (2.21) дополнительно появляются матрицы наблюдений
и
смешанных каналов, АФ которых имеют вид:
,
.
Преобразования в матрично-блочном виде по форме не отличаются
от преобразований (2.14) и приводят к следующему решению:
.
Двухэтапная процедура в этом случае имеет вид:
1)
2)
или
, (2.22)
, (2.23)
где Mx2M- и Nx2N-матрицы весовых коэффициентов вычисляются
заранее:
, (2.24)
. (2.25)
Структура (2.22) отличается от (2.18) тем, что не позволяет при
проводить вычисления в процессе формирования матриц РИ.
Однако размерность обращаемых в (2.24), (2.25) матриц в MN/2 раз
66
12
Y
21
Y
11
1
111221
)( YAEAAAY
TT
22
1
222112
)( YAEAAAY
TT
),(),(),(),(
1111
1 1
jipjjiixjijiy
mmin
nj
mMhmi ,,1
nNnj ,1
1h
)},({ jiyY
)},({ jixX
)},({ jiyY
),(/),( jisjis
XP
меньше, чем в (2.3), что повышает скорость и устойчивость алгоритмов обращения. При наличии реальных наблюдений
и
опера-
ции (2.22), (2.23) соответствуют четырехканальной системе, работающей с четырьмя антеннами.
Возможно синтезирование смешанных каналов за счет формальных
преобразований при физическом наличии двух антенн. Например:
,
,
однако точность восстановления в этом случае не превышает точности
двухканальной системы.
2.4. Частотные методы восстановления изображений
Модель двумерной свертки
Для симметричных АФ модель наблюдения (1.8) можно предста-
вить в виде двумерной дискретной свертки
При
матрица РИ
,
оказывается прореженной
, (2.26)
.
вдоль строк, при этом пропущенные строки или обнуляются, или не
рассматриваются.
Задача заключается в восстановлении поля
дениям (2.26) в условиях прореженной матрицы
по наблю-
.
Восстанавливающий двумерный фильтр Винера
в одноканальной системе
В инженерной практике при решении задач восстановления изображений распространение получил фильтр Винера, работающий в области пространственных частот [1]. При h = 1 фильтр Винера работает
оптимально, обеспечивая минимум дисперсии ошибки восстановления
при известном отношении
спектральных плотностей
шумового поля P и искомого поля X в каждой i-й, j-й точке. В противном случае оптимальность нарушается.
Особенность частотного подхода заключается в том, что матрица
наблюдений Y и матрица изображения X должны иметь одинаковые
размеры. При h > 1 данное условие нарушается. Элементы недостающих строк можно вычислить с помощью интерполяции (в простейшем случае линейной) соответствующих элементов соседних строк.
Рассмотрим следующую процедуру заполнения матрицы Y.
67
0),( jiy
mi ,1
MmMi ,1
nj ,1
NnNi ,1
1h
1h
hjiyjhiyy /)),(),((
11
),(),( iyjiyjiiy
hi ,11
hMhi ,,1
Nj ,1
)},({ jiyY
Mi ,1
Nj ,1
)},({ jiaA
Mi ,1
Nj ,1
),( jialfa
)1,1( njmi
12,1 mi
12,1 nj
)},({ jiaA
1. Элементы матрицы Y, расположенные по периметру поля X, за-
полняем нулями:
,
,
,
.
2. Между остальными соседними строками прореженной матрицы
Y помещаем
строк по числу
недостающих элементов дис-
кретизации угла места, а элементы этих строк находим линейной интерполяцией соответствующих элементов i-й и (i+1)-й строк матрицы
Y по формуле
,
,
,
,
,
.
3. В результате получаем заполненную матрицу наблюдений
,
,
, такого же размера, как матрица X.
Если число пропущенных строк меньше ширины ДНА, то интер-
полированные строки матрицы Y несут в себе информацию о пропущенных строках. С увеличением шага сканирования h информация о
пропущенных строках теряется и точность восстановления падает.
Алгоритм восстановления в частотной области следующий.
1. Чтобы обеспечить пространственную периодичность матрицы A
значений АФ и соответственно передаточной функции восстанавливающего фильтра, заранее по углам предварительно обнуленной матри-
цы
,
,
, размещаются элементы АФ по
определенному правилу. Ниже показан пример заполнения матрицы A
коэффициентами
=
,
,
на языке Matlab:
% Первый угол A: % Второй угол A:
for i=1:m+1 for i=1:m+1
for j=1:n+1 for j1=1:n
i1=i+m; j1=j+n; i1=i+m; j=N-n+j1;
A(i,j)=alfa(i1,j1); A(i,j)=alfa(i1,j1);
end %j end %j1
end %i end %i
% Третий угол A: % Четвертый угол A:
for i1=1:m for i1=1:m
for j=1:n+1 for j1=1:n
i=M-m+i1; j1=j+n; i=M-m+i1; j=N-n+j1;
A(i,j)=alfa(i1,j1); A(i,j)=alfa(i1,j1);
еnd %j end %j1
end %i1 end %i1 .
2. Также заранее матрица
подвергается двумерному
дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), и в области простран-
,
68
i
f
j
f
)},({ jiaAff
Mi ,1
Nj ,1
)],([),(
2
jiaFjia
f
2
F
)},({ jiyY
)},({ jiyYff
Mi ,1
Nj ,1
)],([),(
2
jiyFjiy
f
),(),(),(),( jipjixjiajiy
ffff
Mi ,1
Nj ,1
)],([),(
2
jixFjix
f
)],([),(
2
jipFjip
f
),( jix
f
),(ˆjix
f
),( jix
f
),(/),(),(),(
ˆ
jiajiRjiyjix
fff
Mi ,1
Nj ,1
),( jiR
),( jip
f
)],(/),(|),([|/|),(|),(
2
jisjisjiajiajiR
Xpff
),( jis
X
),( jiy
f
),( jih
f
),(),(),(
ˆ
jihjiyjix
fff
Mi ,1
Nj ,1
)],(/),(|),([|/),(),(
2*
jisjisjiajiajih
Xpfff
),(),(|),(|
*
jiajiajia
fff
, ),(*jia
f
),( jis
X
]|),(|/|),([|/),(),(
22
2
2*
jiycjiajiajih
fpfff
2
c
)},(ˆ{
ˆ
jixXff
Mi ,1
Nj ,1
ственных частот
, где
и
образуется матрица
,
,
– символ двумерного ДПФ.
3. По результатам сканирования антенны формируется матрица
наблюдения
, которая подвергается ДПФ, в результате че-
го получается спектральная матрица наблюдений:
,
, где
.
В частотной области свертка (2.26) для h = 1 принимает вид
где
,
,
,
, (2.27)
− двумерные спектры X и
P.
Решением уравнения (2.27) относительно
комплексной величины
где
− множитель, повышающий устойчивость решения за счет
, вычисляемая по формуле
,
подавления действия широкополосного шума
является оценка
,
, (2.28)
на высоких ча-
стотах и вычисляемый по формуле
и
− значения спектральных плотностей соответственно шумо-
, (2.29)
вого поля P и искомого поля X.
4. Практически операция (2.28) с учетом (2.29) сводится к умно-
жению спектра измерений
точную функцию
восстанавливающего фильтра Винера:
на заранее вычисленную переда-
,
,
где учтено свойство:
,
,
,
− сопряженная
, (2.30)
комплексная величина.
При отсутствии информации относительно
передаточную
функцию (2.30) целесообразно заменить функцией вида
где коэффициент
подбирается эмпирически.
, (2.31)
5. Найденная матрица оценок в спектральной области
,
,
, подвергается обратному преобразо-
ванию Фурье:
69
)},(ˆ{]ˆ[
ˆ
1
2
jixXFX
f
Mi ,1
Nj ,1
X
ˆ
),(),()(),(
1
11
jipjiizijiy
m
mi
consti
Nj ,1
n
nj
jjixjjiz
1
),()(),(
11
constj
Mi ,1
),(),()(),( jipjizijiy
ffff
consti
Nj ,1
),()(),( jixjjiz
fff
constj
Mi ,1
)(i
f
Mi ,1
)( j
f
Nj ,1
)(i
mmi ,
)( j
nnj ,
)(i
)( j
Mi ,1
Nj ,1
),( jiz
f
Nj ,1
Mi ,1
),( jiz
f
),( jix
f
Mi ,1
Nj ,1
),( jiy
f
Nj ,1
),( jiz
f
Mi ,1
)(1,jw
f
)(2,iw
f
)](/)(|)([|/)()(
2*
1,
jsjsjjjw
ZPfff
Результатом являются оценки
,
,
.
искомого поля X, в составе кото-
рого присутствует изображение объекта.
Недостатками алгоритма являются зависимость коэффициента c2
передаточной функции (2.31) от условий наблюдения и необходимость
его подбора, а также одноканальность обработки РИ. Достоинством –
удобство работы с большими массивами данных.
Двухэтапное восстановление одномерным фильтром Винера
в одноканальной системе
Представим модель (2.26) для АФ, разделяющейся по переменным, следующим эквивалентным образом:
где
,
,
,
,
, (2.32)
.
Для двух одномерных сверток (2.32) переход в область простран-
ственных частот осуществляется с помощью одномерного ДПФ и дает
два алгебраических уравнения:
Спектры
, и
,
,
, и
, вычисляются заранее, при этом
получают свое периодическое продолжение на
,
,
,
,
,
, (2.33)
.
, функций
и
и
,
.
Двухэтапное восстановление для (2.33) сводится к следующему.
1. Вначале находятся спектральные оценки
висимо в каждой i-й строке (
2. Затем на основе
,
, независимо в каждом j-м столбце (
).
находятся спектральные оценки
,
, неза-
).
Оценивание по критерию минимума дисперсии ошибки восста-
новления осуществляется умножением спектральных отсчетов
,
и
, и
,
, на передаточные функции
одномерного восстанавливающего фильтра Винера:
, (2.34)
70
)](/)(|)([|/)()(
2*
2,
isisiiiw
XPfff
XP
ss /
ZP
ss /
22
|),(|/ jiy
fP
22
|),(|/ jiz
fP
1h
1h
)(i
f
Mi ,1
)( j
f
Nj ,1
T
i
y
T
i
y
),( jiy
f
Nj ,1
),( jiy
f
Nj ,1
)(1,jw
f
)()(),(
1,
*
jwjyjiz
fff
Nj ,1
consti
),(*jiz
Nj ,1
consti
)},({
**
jizZ
Mi ,1
Nj ,1
*
j
z
Nj ,1
*
Z
где
и
− отношения спектральных плотностей шума и
,
изображений X, Z, которые на практике можно заменить
или
с подбором положительного
коэффициента , играющего роль параметра регуляризации. В случае
такой замены в (2.34) восстановление носит квазиоптимальный характер.
Точность восстановления изображения фильтром Винера снижается в случае его применения для матрицы Y, полученной с шагом сканирования по углу места
(с пропусками строк).
Алгоритм двухэтапного восстановления
Алгоритм двухэтапного восстановления с применением одномер-
ного фильтра Винера для случая
сводится к следующим операци-
ям.
1. Заранее вычисляются спектры АФ
,
, и
, которые используются при вычислении передаточных функ-
ций Винера.
2. В процессе сканирования антенны радиометра по азимуту формируется i-я строка
3. Строка
лучается спектр i-й строки
4. Спектр
цию Винера
матрицы наблюдений Y .
подвергается одномерному ДПФ. В результате по-
,
,
, умножается на передаточную функ-
.
. В результате получается спектр промежуточных
,
оценок вдоль i-й строки:
,
,
,
который с помощью обратного одномерного ДПФ переводится в пространственную область и дает промежуточные оценки
,
.
,
5. Операции пп. 2, 3, 4 повторяются при изменении угла места
антенны для i = 1, 2, …, M. В результате по совокупности i-х строк
образуется матрица промежуточных оценок
,
,
.
6. По завершении операций сканирования антенны для всех
столбцов
,
, матрицы
с помощью одномерного ДПФ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]