Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки изображений точечных и протяженных объектов в оптических и радиометрических системах. Учебное пособие
.pdf
11
)(1ia
)()(
22 ii
jHaja
mi ,1
i
j
mi ,1
)(1ia
)()(
22 ii
jHaja
0
b
0
b
mi ,1
)(1ir
)(2ir
0
b
)(1ir
)(2jr
mji ,1,
)(1ia
)(2ja
)()()(
111
iairiM
)()()(
122
jajrjM
mji ,1,
)(1iM
)(
2 i
jM
mi ,1
},...,2,1{ mji
EhXY
)(1iM
mi ,1
)(
2 i
jM
mi ,1
2. Методы ориентации систем координат
2.1. Ориентация систем координат при известных дальностях
Проблема при оценивании координат объектов возникает в том
случае, когда матрица H поворота осей и базовый вектор b неизвестны
или требуют уточнения из-за сбоев навигационной системы. В [2]
предлагается решение этой задачи для двух приемников методом, суть
которого в условиях рассматриваемой модели заключается в следующем. Для нескольких i-х пар сопряженных векторов
и
,
, где
поставлен в соответствие i,
,
рассмотренных в системе координат 1-го приемника, записывается
условие компланарности трех векторов
через их смешанное произведение, где
пар (
знания дальностей
) в составе матричной квадратичной формы, что не требует
и
.
и
и
− орт вектора b, для всех i-х
Квадратичная форма зависит от параметров матрицы H (трех уг-
лов поворота). Численным методом подбора параметров находятся
минимальное собственное число матрицы квадратичной формы и соответствующий ему собственный вектор
, обеспечивающие мини-
мум квадратичной формы и соответственно смешанных произведений.
Такой подход в реальном времени требует определенных вычис-
лительных затрат. При этом в [2] не указывается метод нахождения
пар сопряженных векторов.
1. Рассмотрим метод [7, 8] ориентации систем координат прием-
ников, который отличается тем, что измеряют расстояния от центра
каждого приемника до m контрольных i-х объектов − наклонные даль-
ности
и
,
, определяют орты
и
направ-
лений на объекты в системах координат двух приемников, пересчитывают координаты ортов в координаты векторов
,
, затем рассматривают m! вариантов со-
и
единения векторов первого и второго приемников в m неповторяю-
щихся сопряженных пар
и
,
,
, и в
системе координат первого приемника составляют матричное уравнение
, где Y – блочный вектор, состоящий из
,
, и b, X – матрица, составленная определенным образом из ко-
ординат векторов
,
, E – вектор ошибок сопряжения, h –
12
YXXXh
TT 1
)(
ˆ
)
ˆ
()
ˆ
(||ˆ||
2
hXYhXYE
T
h
ˆ
H
ˆ
T
zyxb ),,(
1
O
2
O
)(1ir
)(2jr
mji ,1,
3m
)(1ia
)(2ja
)(1ir
)(2jr
)()()(
111
iairiM
)()()(
122
jajrjM
mji ,1,
)(1iM
)(2jM
i
e
i
ebjHMiM )()(
21
,
,,1, mji
,
)(
)(
)(
)()(
2
2
2
987
654
321
21 ii
e
jz
jy
jx
hhh
hhh
hhh
ejHMbiM
вектор неизвестных параметров взаимной ориентации, при этом вычисляют оценку вектора h методом наименьших квадратов по формуле
, далее среди m! вариантов соединения выбирают
один вариант с наименьшей суммой квадратов невязок
и из состава вектора
, соответствующего
выбранному варианту, извлекают оценки параметров для матрицы H,
которые помещают в состав искомой матрицы
.
Алгоритм реализации данного метода оценивания параметров
матрицы H, основанного на решении матричных уравнений методом
наименьших квадратов (МНК), отличается тем, что позволяет находить параметры матрицы H одновременно с поиском сопряженных пар
по критерию сопряжения, рассмотренному в разделе 1.2. Алгоритм
реализуется для двух приемников при наличии m контрольных объектов (m ≥ 3) и сводится к следующему.
2. Заранее устанавливают базовый вектор
, если
он известен, соединяющий центр системы координат первого приемника (точку
) с центром второго приемника (точкой
). Преду-
сматривается случай неизвестного вектора b (см. п. 10 алгоритма).
3. Измеряют расстояния от центра каждого приемника до m кон-
трольных i-х объектов − наклонные дальности
и
,
(например, с помощью лазерного дальномера или радиомаяков).
4. Определяют орты
и
направлений на объекты в си-
стемах координат приемников по формуле (1.1).
5. Для измеренных дальностей
ресчитывают в координаты векторов
,
.
и
координаты ортов пе-
и
,
6. Каждому i-му вектору
ветствие j-й вектор
второго. Записывают уравнение сопряже-
первого приемника ставят в соот-
ния двух векторов, связывающее координаты i-го вектора с координатами j-го вектора с точностью до вектора ошибок сопряжения
:
или в развернутом виде
13
,)()(
21 iji
ehXejHMbiM
mji ,1,
,
)()()(000000
000)()()(000
000000)()()(
222
222
222
jzjyjx
jzjyjx
jzjyjx
X
j
;
T
hhhhhhhhhh
987654321
.
)(1iM
)(
2 i
jM
mi ,1
},...,2,1{ mji
i
j
!,1 m
EhXY
Eh
X
X
bmY
bY
jm
j
...
)(
...
)1(
1
1
1
, (2.3)
)(1iM
mi ,1
j
X
mj ,1
i
e
h
ˆ
2
||||E
YXXXh
TT 1
)(
ˆ
. (2. 4)
)
ˆ
()
ˆ
(||
ˆ
||
2
hXYhXYEJ
T
. (2.5)
h
ˆ
H
ˆ
H
ˆ
что равносильно матричному уравнению
где
7. Рассматривают m! вариантов соединения m векторов первого и
m векторов второго приемников в m неповторяющихся сопряженных
пар
соответствие номеру i. Для каждого ρ-го варианта (
и
,
, где номер
поставлен в
) на основе
(2.2) составляют блочно-матричное уравнение
где Y – (3mx1)-блочная матрица, составленная из
X – блочная матрица, составленная из матриц
вектор-столбец в (2.2) неизвестных девяти параметров; E = (e1,...,em)T −
(3mx1)-блочный вектор, составленный из m векторов ошибок
Для невырожденности матрицы Y её строки должны быть линейно
независимыми, что зависит от выбора сопряженных пар.
8. Из (2.3) находят МНК-оценку вектора
квадрата евклидовой нормы блочного вектора ошибок
9. Среди m! вариантов соединения векторов в m сопряженных пар
выбирают один “наилучший” вариант с наименьшим значением показателя J, имеющего смысл суммарного квадрата невязок:
10. Оценки
ствующие показателю (2.5), помещают в матрицу
Найденная матрица
пространственных координат произвольных объектов.
,
,
, и b;
; h − (9x1)-
.
из условия минимума
:
параметров матрицы H в составе (2.3), соответ-
− оценку H.
в дальнейшем используется для оценивания
14
zyx ,,
j
X
4m
T
kkk
yxU )1(
2,1k
k
A
2,1k
k
f
kkkK
MAUZ
T
kkkkkkk
ZYXUAZM ),,(1
1
r
2
r
kkk
arM
2,1k
1
M
2
M
bHMM
21
bHarar
2211
1
M
2
M
ebHMM
21
ebHarar
2211
1
r
2
r
1
ˆ
r
2
ˆ
r
11. При неизвестном векторе b в состав вектора Y в (2.3) дополни-
тельно включают неизвестные координаты
состав матрицы
− три столбца (1,0,0)T, (0,1,0)T, (0,0,1)
оценивают двенадцать параметров по
сопряженным парам.
вектора b, а в
T
. При этом
Замечание. В качестве контрольных объектов используются оп-
тические маяки-излучатели, установленные на местности при развертывании системы оптических приемников.
2.2. Оценивание дальностей до объектов наблюдения
Известно в оптических системах [2], что для измерения дальности
до объекта в системе с оптической линзой рассматривается пара сопряженных точек
,
, отображающих точечный
объект в прямоугольных координатах двух матриц оптического изображения (единица замещает неизвестную третью координату). Для
известных матриц внутренних параметров камер
щих от фокусных расстояний
где
, устанавливается связь
− центр объекта в прямоугольной си-
,
, завися-
стеме k-го приемника, совмещенной с системой координат оптической
линзы. Далее решается система уравнений связи координат в матричной форме с учетом ошибок пересчета координат.
При известных наклонных дальностях
и
до объекта про-
странственные координаты объекта в системах координат оптических
приемников находятся как
,
. При известной взаимной
ориентации приемников – матрицы поворота осей H и базового вектора b, соединяющего центры двух систем координат, для перехода из
системы координат второго приемника в систему первого устанавливается связь
вектора e ошибок сопряжения
и
:
и
,
или с учетом
:
.
В реальности в пассивном режиме наблюдения без применения
лазерных дальномеров дальности
буется нахождение их оценок
и
до объекта неизвестны и тре-
и
. Для определения оценок дально-
стей используется метод [2], а также метод геометрических построений с помощью теоремы синусов [5].
В соответствии с [2] выполняются следующие операции.
,
15
T
kkk
yxU )1(
2,1k
k
A
2,1k
k
f
T
kkkkkkk
ZYXUAZM ),,(1
k
Z
1
21221111
2
21
2
21
||||||||||||),(
bUHAZUAZbHMMeZZJ
1
ˆ
Z
2
ˆ
Z
1
Z
2
Z
222
kkkk
ZYXr
2,1k
1
r
2
r
1
r
2
r
)(1ia
)(2ja
mji ,1,
)(1ia
)(
2 i
ja
mi ,1
)(1ir
)(
2 i
jr
mi ,1
i
e
m
i
m
i
iii
bjHajriaireJ
1 1
2
2211
2
||)()()()(||||||
)(
2 i
ja
1. Размещают в пространстве двух взаимно удаленных наблюдателей на базовом расстоянии, контролирующих объект при известной
матрице H поворота осей и базовом векторе b.
2. В двух матрицах оптического изображения находят точки
,
, центра объекта в координатах x, y плоских
кадров изображения.
3. Определяют матрицы
мер, зависящие от фокусных расстояний
навливают связь сопряженных точек
,
, внутренних параметров ка-
оптических линз, и уста-
, где
− координаты центра объекта в системах наблюдателей, подлежа-
щие оцениванию.
4. Из условия минимума квадрата евклидовой нормы вектора оши-
бок связи координат (ошибок сопряжения)
находят МНК-оценки
5. Вычисляют дальности как
и
неизвестных координат
и
.
,
.
Данный метод обладает следующим недостатком.
Метод не показывает операций нахождения сопряженных пар то-
чек в матрицах наблюдателей и оценивания наклонных дальностей
и
при наблюдении за несколькими объектами.
Рассмотрим метод [7, 8], направленный на устранение этого не-
достатка, а именно на определение дальностей
и
и простран-
ственных координат при наличии нескольких объектов наблюдения.
Метод отличается тем, что определяют орты
векторов i-х
направлений на центры объектов первого приемника и орты
векторов j-х направлений на центры объектов второго приемника, где
, затем для всех m! вариантов соединения ортов
,
оценки дальностей
, в m неповторяющихся сопряженных пар вычисляют
и
,
суммы квадрата евклидовых норм векторов
ортов
поворота осей при пересчете координат орта
, по критерию минимума
ошибок сопряжения
, где H − матрица
в систему коорди-
и
нат первого приемника, b − базовый вектор, соединяющий центры систем координат, после чего выбирают вариант m пар соединения ортов
16
)(1ia
)(
2 i
ja
mi ,1
)(1ir
)(
2 i
jr
mi ,1
T
zyx
iaiaiaia ))(),(),(()(
1111
mi ,1
T
zyx
jajajaja ))(),(),(()(
2222
mj ,1
)(1ia
)(
2 i
ja
},...,2,1{ mji
i
j
)(2ir
)(
1 i
jr
,)()()()(
2211 iii
ebjaHjriair
,,1 mi
,))(),(),(()()(
22222
T
iziyixii
jajajajHaja
,mi 1
,
i
ebAR
iz
iy
ix
z
y
x
i
izy
iyy
ixx
e
e
e
b
b
b
jr
ir
jaia
jaia
jaia
)(
)(
)()(
)()(
)()(
2
1
21
21
21
.
)()(||||
2
bARbARe
T
i
(2.7)
,)()(
ˆ
1
bAAAiR
TT
.))(ˆ),(ˆ()(
ˆ
21
T
jririR
)(1ia
)(
2 i
ja
,mi 1
},...,2,1{ mji
m
i
i
eJ
1
2
||||
и
чают оценки дальностей
,
, с наименьшим значением показателя J и полу-
и
,
, до m объектов, соот-
ветствующие данному показателю.
Алгоритм реализации метода сводится к следующему.
1. Размещают два приемника, взаимно удаленных на базовое рас-
стояние и контролирующих несколько m объектов наблюдения при
известной матрице H поворота осей и базовом векторе b.
2. В процессе наблюдения зоны обзора находят орты
,
, векторов i-х направлений на цен-
тры объектов в первом приемнике и орты
,
, векторов j-х направлений во
втором приемнике, где соответствие между i и j заранее неизвестно.
3. Формируют m! вариантов соединения ортов
ставленных в соответствие друг другу, где
ряющихся пар. Составляют для каждой i-й,
пряжения (2.1), которое с учетом дальностей
-й пары уравнение со-
и
, в m неповто-
и
, по-
принимает
вид
и в матричной форме
По критерию минимума квадрата нормы ошибок сопряжения
для каждой i-й, ji-й пары находят вектор МНК-оценок дальностей
где
тов последовательно выбирают m неповторяющихся соединений
и
ных показателей правильности сопряжения
числении по формуле (2.7) вместо дальностей подставляют их оценки.
4. Из всех m! вариантов соединения неповторяющихся m пар ор-
,
,
, с наименьшими значениями суммар-
, где при вы-
17
)(
ˆ
1
ir
)(
ˆ
2 i
jr
)()(
ˆ
)(
ˆ
111
iairiM
,
)()(
ˆ
)(
ˆ
222 iii
jajrjM
,
mi ,1
.
(2.9)
2
m
)(1ia
)(
2 i
ja
)(1ia
)(2jHa
0
b
0
b
mi ,1
||b
)(1ia
)(
2 i
ja
mi ,1
zyx
HHHH
,,
100
0
0
0
010
0
0
0
001
zz
zzyyyy
xx
xx
cs
sc
cs
sc
cs
scH
cosxc
sinxs
cosyc
sinys
coszc
sinzs
)(1ia
)()(
22 ii
jHaja
mi ,1
5. На основе найденных оценок
и
вычисляют оценки
пространственных координат m объектов в системах координат двух
приемников:
Замечание. Перебор m! вариантов соединения неповторяющихся
пар удобно заменить (с малой потерей точности оценок дальностей) на
соединений повторяющихся пар с последовательным выбором не-
повторяющихся пар с наименьшими значениями показателей (2.7).
2.3. Совместное определение дальностей и ориентация
Альтернативный алгоритм
Применительно к двухпозиционной пассивной системе алгоритм
метода, изложенного в [2], можно представить следующим образом.
Если факт сопряжения m пар векторов
и
заранее известен,
то необходимым условием сопряжения этих векторов является близость к нулю (с точностью до ошибок сопряжения) смешанных произведений троек векторов
,
,
, где
− орт вектора b,
, представленных в одной системе координат.
Альтернативный алгоритм сводится к следующему.
1. Устанавливают два приемника на известное базовое расстояние
, которое измеряют, например, с помощью лазерного дальномера.
2. В системах координат приемников формируют m пар ортов
и
векторов направлений на i-е объекты,
, где m –
количество контрольных объектов, и назначают матрицу
поворота осей координат с углами поворота
в ее составе:
где
;
;
;
3. Для m пар поставленных в соответствие друг другу ортов
и
,
, представленных в системе координат перво-
;
,
;
.
го приемника с помощью матрицы H, составляют матричное равенство
18
m
T
m
T
b
с
с
......
1
0
1
eСb
0
,
)()(
21 i
T
i
jHaiaс
0
b
i
)(1ia
)(
2 i
ja
mi ,1
00
)( bССbeeI
TTT
. (2.10)
СС
T
,,
СС
T
,,
СС
T
0
b
,,
,,
0
b
0
|| bbb
)(1ia
)(
2 i
ja
mi ,1
где
− вектор-строка координат векторного произве-
дения двух векторов, которая умножается скалярно на вектор-столбец
;
− ошибка смешанного произведения (неравенства его нулю −
скалярная величина); e – m-вектор указанных ошибок; C – mx3матрица.
При этом показателем необходимого условия сопряжения векто-
ров
,
,
, является минимум суммы квадратов ошибок
смешанных произведений
4. Вычисляют симметричную 3x3-матрицу
формы (2.10), зависящую от углов поворота
H, которая, в свою очередь, находится в составе матрицы
5. Для фиксированной тройки углов
численным методом
находят минимальное собственное число λ матрицы
ствующий этому числу собственный вектор
, обеспечивающие ми-
квадратичной
в составе матрицы
.
и соответ-
нимум показателя (2.10).
6. Численным методом подбора углов
бальный минимум показателя (2.10). По найденным
окончательно устанавливают матрицу H и вектор
устанавливают гло-
и
, которые
далее используют для вычисления оценок дальностей до объектов по
формуле (2.8).
Модифицированный алгоритм
Недостатком альтернативного алгоритма является то, что условию
компланарности могут отвечать векторы, не являющиеся сопряженными. То есть в альтернативном алгоритме отсутствует проверка
найденного решения на выполнение достаточного условия сопряжения
векторов
,
,
, в соответствии с показателем (2.7).
Также алгоритм требует дополнительных вычислительных затрат на
поиск собственных векторов. Для устранения данных недостатков рассмотрим модифицированный метод [7, 8] и следующий алгоритм его
реализации.
1. Устанавливают два взаимно удаленных приемника при извест-
ном базовом векторе b.
19
)(1ia
)(
2 i
ja
,,
)(1ia
)()(
22 ii
jHaja
mi ,1
)),(),((
21
biHaia
)(1ia
)(
2 i
ja
|)),(),((|
21
1
bjHaiaI
i
m
i
. (2.11)
,,
)(1ir
)(
2 i
jr
ni ,1
m
i
i
eJ
1
2
||||
,
2
||||ie
)(1iM
)(
2 i
jM
,,1 mi
2. В системах координат приемников формируют m пар ортов
и
векторов направлений на i-е контрольные объекты и
назначают матрицу H поворота осей координат заданием в ее составе
углов
.
3. Для m пар ортов
и
,
, представлен-
ных в системе координат первого приемника, вычисляют показатель
необходимого условия сопряжения I в виде суммы модулей смешан-
ных произведений
4. Численным методом подбора находят углы
троек векторов
,
и b:
в составе
матрицы H по критерию минимума показателя (2.11) .
5. С помощью матрицы H и вектора b вычисляют оценки дально-
стей
и
,
, до i-х объектов по формуле (2.10), а также
векторы пространственных координат объектов по формуле (2.9).
6. На основе найденных оценок (2.9) вычисляют показатель J до-
статочного условия сопряжения
где
вычисляют по формуле (2.7). Показатель J сравнивают с ма-
лым положительным числом γ. Если J > γ, то данный вариант соединения векторов в m сопряженных пар отвергают. Число γ назначают эмпирически.
7. Находят вариант, для которого выполняется условие J ≤ γ. Для
данного варианта матрицу H окончательно принимают в качестве матрицы поворота, а пространственные координаты объектов
,
передают на алгоритм сопровождения объектов.
и
Преимуществом модификации по сравнению с альтернативным
алгоритмом является то, что окончательное формирование матрицы H
подчинено достаточному условию сопряжения. Также при поиске матрицы H вместо операций нахождения собственных чисел и векторов
вычисляется смешанное произведение с помощью определителя, строками которого являются координаты трех векторов. Недостатком модификации является необходимость знания базового вектора b. Несмотря на указанный недостаток, модифицированный алгоритм имеет
определенное преимущество по сравнению с решениями, в которых
дальности до контрольных объектов должны быть заранее известны.
20
1
r
2
r
T
rrR )ˆ,ˆ(
ˆ
21
RK
RRR
ˆ
12
)(
AAK
T
eR
2
e
RK
1cos
cos1
sin
2
2
e
R
K
,
1
a
2
a
1
r
2
r
|sin|/
er
.
er
min,
0
90
1
a
2
a
0
90
er
MzMyMx
,,
T
zyx
MMMRaM ),,(
zyx
MMM ,,
zyx
MMM ,,
x
a
y
a
z
a
Mxaxxeaxxxxxx
RaRaRdaRadRdMM ||||||||||||||
Myayyeyy
RadMM |||||||
Mzazzezz
RadMM |||||||
2.4. Анализ и учет погрешностей оценок дальностей
Учтем методические погрешности определения дальностей
и
до объекта в системе двух приемников. Точность несмещенных оценок
в (2.8) для некоррелированных координат вектора e оши-
бок сопряжения характеризуется ковариационной матрицей
бок
(или в случае несмещенности − самих оценок) вида
, где
− дисперсия составляющей вектора e.
оши-
С учетом того, что скалярное произведение ортов равняется коси-
нусу угла между ними, выражение
раскрывается как
где β – угол между векторами
и
, зафиксированными в двух при-
емниках.
Так как главная диагональ матрицы (2.13) содержит дисперсии
и
несмещенных оценок дальностей, то среднеквадратическое от-
клонение (СКО) оценки дальности в первом приемнике определится
как
Из (2.14) следует, что наименьшее СКО оценки дальности
достигается при
ном положении векторов
, то есть при ортогональном взаим-
и
. Значит, приемники при позициони-
ровании надо располагать на линии окружности с поворотом вокруг
вертикальной оси на 900.
Возьмем СКО (2.14) в качестве погрешности измерения дальности
при
лютных ошибок
:
и учтем эту погрешность при вычислении абсо-
определения координат вектора
.
Заменим приращения
функций
их
дифференциалами и используем правило вычисления дифференциала
от произведения двух функций r,
,
,
своих аргументов x,y,z:
(2.15)
,
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]