Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс общей физики. Учебное пособие
.pdf
2 . М Е Х А Н И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы
Рис. 2.1. Графики
смещения скорости
и ускорения
2 . 1 . К о л е б а н и я
Колебательным движением (колебанием) называется процесс,
при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.
Если колебания повторяются через равные промежутки времени,
то колебания считаются периодическими.
2.1.1. Г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я
Колебания, при которых колеблю-
щаяся величина изменяется со временем
по закону конуса или синуса, являются
гармоническими (например, качели):
,
где A – амплитуда колебаний, максимальное отклонение точки от положения равно-
весия (рис. 2.1а); (
) – фаза колеба-
ния, показывающая отклонение точки
в данный момент времени t;
– цикличе-
ская частота – число колебаний за 2π еди-
ниц времени, рад/с;
– начальная фаза –
положение в начальный момент времени
(t = 0); Т – период колебания – время од-
ного полного колебания, с; – частота ко-
лебания – количество полных колебаний
в единицу времени, Гц.
Скорость гармонического колеба-
ния (рис. 2.1б):
41
Ускорение гармонического колебания (рис. 2.1в):
,
Таким образом, учитывая, что
Это и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Его решение:
.
Выясним, какими силами вызываются гармонические колебания:
,
где – сила, вызывающая колебания.
Величина силы прямо пропорциональна смещению точки от положения равновесие. Направление силы (знак «-») противоположно
направлению смещения (x > 0, F < 0, x < 0, F > 0). Такие силы называются возвращающими.
Возвращающая сила (упругая сила), действующая на тело со стороны деформированной пружины, равна
.
Это выражение есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний, вызванных упругими силами.
Кинетическая энергия при гармоническом колебании:
42
43
Потенциальная энергия пружины:
Полная энергия:
,
2.1.2 . М а я т н и к и
1. Пружинный маятник – это тело массой m, способное совер-
шать гармонические колебания под действием силы упругости абсолютно упругой невесомой пружины (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Пружинный маятник
При смещении тела на расстояние х от положения равновесия 0 на
него действует сила упругости пружины, направленная к положению
равновесия:
,
где k – коэффициент упругости (жесткости) пружины.
44
По второму закону Ньютона
Отсюда
Обозначим
, тогда получим
Это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний
пружинного маятника. Его решения имеют следующий вид:
.
Таким образом, колебания пружинного маятника – гармонические
с циклической частотой и периодом:
2. Математический маятник – физическая абстракция. Это ма-
териальная точка, подвешенная на упругой бесконечно длинной и невесомой нити, которая совершает колебания в вертикальной плоскости
(рис. 2.3).
Возвращающая сила
направлена к положению равновесия
(знак «–»):
При колебаниях с малой амплитудой
45
Рис. 2.3. Математический маятник
Учитывая, что сила
, получим
,
Отсюда частота и период колебания следующие:
3. Физический маятник – абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием собственного веса вокруг горизонтальной оси, не
проходящей через центр тяжести (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Физический маятник
46
Возвращающая сила – момент силы тяжести:
.
При малых углах . Тогда
.
По второму закону Ньютона
где J – момент инерции; ε – угловое ускорение.
Так как ,
Тогда циклическая частота и период составляют
2.1.3 . З а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я
Ранее были рассмотрены колебания при отсутствии внешних сил
и сил трения. Все реальные колебания являются затухающими, так как
наличие силы сопротивления приводит к уменьшению энергии системы. Соответственно, со временем происходит уменьшение амплитуды колебания (рис. 2.5).
Таким образом, в реальных системах
,
где r – коэффициент сопротивления среды.
47
Рис. 2.5. Затухающие колебания
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
Заменим
, где
представляет собой ту ча-
стоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т. е. при r = 0. Эту частоту называют
собственной частотой колебания системы.
Тогда уравнение примет вид
Решение этого уравнения:
где
.
Параметр β называется коэффициентом затухания, представляющим собой величину, обратную промежутку времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз (2,72):
48
где τ – время релаксации.
Декремент затухания – отношение двух амплитуд, разделенных
одним периодом:
Логарифмический декремент затухания:
.
Добротность:
2.1.4 . В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я
Чтобы получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии.
Рассмотрим случай, когда внешняя (вынуждающая) сила, изменяется по гармоническому закону:
tFF = cos
0
.
Дифференциальное уравнение с учетом этой силы примет следу-
ющий вид:
,
Решение уравнения для установившихся вынужденных гармонических колебаний:
49
где А – амплитуда вынужденных колебаний:
:
При некотором значении частоты внешней силы знаменатель для
амплитуды будет иметь минимальное значение. Определим этот минимум:
Получаем
.
При приближении частоты вынужденных колебании к соб-
ственной частоте ω0 системы амплитуда вынужденных колебаний
резко возрастает. Это явление называется резонансом (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Резонансные кривые
50
В о п р о с ы д л я с а м о к о н т р о л я
1. Что такое колебание?
2. Какие колебания называются периодическими?
3. Какие колебания называются гармоническими?
4. Что такое амплитуда, фаза, начальная фаза, период, частота
циклическая частота колебаний?
5. Формулы скорости, ускорения и энергии гармонических коле-
баний.
6. Какие маятники называются пружинными, математическим
и физическими?
7. Формулы для циклической частоты периода пружинного, ма-
тематического и физического маятников.
8. Какие колебания называются затухающими?
9. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его
решение.
10. Что такое коэффициент затухания, время релаксации, декре-
мент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность?
11. Какие колебания называются вынужденными?
12. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его
решение.
13. Чему равна амплитуда и начальная фаза вынужденных коле-
баний?
14. Что называется резонансом?
2.2 . В о л н ы
Волны – процесс распространения колебаний в сплошной среде.
Вследствие силового взаимодействия между частицами колебания распространяются в упругой среде от частицы к частице с некоторой скоростью
. В волновом процессе перенос энергии осуществля-
ется механическим путем. Сами частицы не перемещаются вместе
с волной, они передают энергию движения своим соседям. То есть происходит перенос энергии без перемещения вещества.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]