Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс общей физики. Учебное пособие
.pdf
21
Рис. 1.14. Момент импульса
Вектор равен векторному произведению радиус-вектора ма-
териальной точки на ее импульс :
Вектор
направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плос-
кости, проведенной через векторы и , и образует с ними правую
тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вра-
щение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часо-
вой стрелки).
Модуль вектора момента импульса:
1.4 . 2 . В т о р о й з а к о н Н ь ю т о н а д л я в р а щ а т е л ь н о г о
д в и ж е н и я
Рассмотрим движение точки массой m по окружности (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Движение точки по окружности
22
В уравнении движения материальной точки
умножим
обе части на r:
.
Известно, что
.
Тогда
Полученное уравнение представляет собой основной закон дина-
мики вращательного движения тела: угловое ускорение ε, приобретен-
ное под действием момента силы, прямо пропорционально величине
этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела.
В о п р о с ы д л я с а м о к о н т р о л я
1. Что такое масса, сила, импульс?
2. В каких системах отсчета справедливы законы Ньютона?
3. Что такое инерциальная система отсчета?
4. Сформулируйте три закона Ньютона.
5. Что такое момент инерции?
6. Чему равен момент инерции материальной точки и тела?
7. Приведите формулы момента инерции цилиндра и шара.
8. Сформулируйте теорему Штейнера.
9. Что такое момент силы относительно неподвижной точки?
Чему равен его модуль?
10. Что такое момент импульса относительно неподвижной
точки? Чему равен его модуль?
11. Сформулируйте основной закон динамики вращательного
движения.
23
1 . 5 . Р а б о т а . М о щ н о с т ь . Э н е р г и я
1 . 5 . 1 . Р а б о т а и м о щ н о с т ь п р и п о с т у п а т е л ь н о м
д в и ж е н и и
Работой А, которая совершается под действием постоянной
силы
, называется скалярная физическая величина, равная произведе-
нию модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между векторами силы и перемещения (рис. 1.16):
.
Единица измерения – джоуль (Дж).
Рис. 1.16. Работа
Возможны следующие случаи:
1. Направление силы и направление движения совпадают, т. е.,
если , то .
2. Сила направлена перпендикулярно к направлению движения,
т. е., если
, то .
3. Угол между направлением силы и движения тупой, т. е. если
, то .
Мощность N – величина, равная отношению работы ко времени,
в течение которого она совершается:
Единица мощности – ватт (Вт).
24
Так как , то
1 . 5 . 2 . К и н е т и ч е с к а я и п о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я
Количественной мерой различных видов движения материи яв-
ляется энергия. Современное знание насчитывает 15 форм движения
материи, каждая из которых характеризуется определенной энергией.
Для механической формы движения материи существует две формы
энергии: кинетическая и потенциальная.
Кинетическая энергия (энергия движения) – мера механического
движения. Она определяется работой, которую надо совершить, чтобы
вызвать данное движение тела. Получаем, что
Следовательно,
Тогда, чтобы найти работу при изменении скорости от до
,
нужно проинтегрировать
Так как работа – мера передачи энергии от одного тела другому, то
запишем, что величина есть величина кинетической энергии тела:
Откуда получаем
=
25
Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодей-
ствием тел друг с другом. Она определяется не скоростями тел, а их
взаимным расположением (т. е. энергия не одного тела, а системы тел).
Потенциальная энергия тела массой m, поднятого над поверхностью
Земли на высоту h:
Потенциальная энергия тела, подвергающегося деформации
(упругая пружина, растянутая на длину x):
где k – жесткость пружины.
Силы, работа которых определяется только начальным и конеч-
ным положением тела и не зависят от пути перехода (сила тяжести, сила
упругости), называют консервативными, а силовое поле, в котором
действуют консервативные силы, – потенциальным.
1.5 . 3 . Р а б о т а и к и н е т и ч е с к а я э н е р г и я
в р а щ а т е л ь н о г о д в и ж е н и я
Определим работу при вращении вокруг неподвижной оси
(рис. 1.17).
Рис. 1.17. Работа при вращательном движении
При повороте тела на угол Δφ совершается работа . Так
как , . Поскольку , то
26
.
То есть работа силы, действующей на твердое тело при его вра-
щении, равна произведению момента этой силы на угол поворота тела.
Кинетическая энергия при вращательном движении:
Так как ,
В о п р о с ы д л я с а м о к о н т р о л я
1. Что такое работа в механике? Чему равна работа при поступа-
тельном движении?
2. Что такое мощность?
3. Что такое энергия? Дайте определение кинетической и потен-
циальной энергии. Чему они равны?
5. Какие силы называются консервативными?
6. Что такое потенциальное поле?
7. Чему равна работа и кинетическая энергия при вращательном
движении?
1.6 . З а к о н ы с о х р а н е н и я
Механическая система – это совокупность материальных точек
(тел), рассматриваемых как единое целое.
Замкнутой системой тел называется совокупность тел, которые
взаимодействуют между собой и не взаимодействуют с другими телами, не принадлежащими этой системе.
27
Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как между
собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела замкнутой системы, можно
разделить на внутренние и внешние.
Внутренние силы – силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела замкнутой системы.
Внешние силы – это силы, обусловленные воздействием тел, не
принадлежащих системе.
В замкнутых системах выполняются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса.
1.6 . 1 . З а к о н с о х р а н е н и я и м п у л ь с а
Воздействие тел друг на друга приводит к изменению импульса
каждого из них. Но в определенных условиях общий импульс системы
тел может сохраняться.
Рассмотрим общий случай – систему из n взаимодействующих
материальных точек (рис. 1.18). – внутренние силы,
– внеш-
ние силы.
Рис. 1.18. Система n материальных точек
По второму закону Ньютона
Здесь
– сумма всех внешних сил.
Для замкнутой системы
, огда
Складываем эти уравнения и получаем
Так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то
28
29
Это есть закон сохранения импульса: если на замкнутую систему
не действуют внешние силы или их векторная сумма равна нулю (уравновешены), то суммарный импульс системы есть величина постоянная
и не изменяется во времени.
Закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы.
1.6 . 2 . З а к о н с о х р а н е н и я м о м е н т а и м п у л ь с а
Так как угловое ускорение , то можно записать
где
– момент импульса.
Если на механическую систему внешние вращающие моменты не
действуют, то векторная сумма моментов импульса составляющих частей замкнутой системы с течением времени не изменяется:
Это есть закон сохранения момента импульса.
1 . 6 . 3 . З а к о н с о х р а н е н и я э н е р г и и в м е х а н и к е
Если в замкнутой системе действуют только консервативные
силы, то элементарная работа dA этих сил сопровождается изменением
кинетической энергии d
и одновременно равным ему по модулю, но
противоположным по знаку изменением потенциальной энергии –
d
системы.
30
Так как
, то
или
Полная механическая энергия системы – энергия механического
движения и взаимодействия, т. е. сумма кинетической и потенциальной
энергии.
Согласно закону сохранения энергии полная механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы есть величина постоянная и не изменяется во времени.
В реальных условиях наряду с консервативными действуют и не-
консервативные силы (силы трения). Полная механическая энергия
уменьшается, переходя в другие виды энергии. Пример – движение качелей (рис. 1.19).
Рис. 1.19. Закон сохранения энергии на примере качелей
Качели подняли на высоту h. Запас энергии, например, 10 Дж.
Тогда
т. 1
=
0+10,
т. 2
=
+9,
т. 3
=
+5,
т. 4.
=
9+1,
т. 5.
=
10+0,
т.6.
=
9+1.
То есть полная механическая энергия остается равной 10 Дж.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]