Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексный анализ в примерах и задачах
.pdf
1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ А.А. КАДЫРОВА
С.Н. Асхабов
КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ В
ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Грозный – 2023
2
Печатается по решению Ученого совета
ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет им. А.А. Кадырова»
(протокол № 10 от 29.12.2022)
и по решению УМС ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет
им. А.А. Кадырова» (протокол № 4 от 16.2022)
УДК 517.53
ББК 22.161я73
А 17
Рецензенты:
Умаров Х.Г. – д.ф.-м.н., главный научный сотрудник Академии наук
Чеченской Республики,
Хамидова Т.А. – к.ф.-м.н., заведующая кафедрой математического
анализа, алгебры и геометрии Чеченского
государственного университета им. А.А. Кадырова
Асхабов С.Н. Комплексный анализ в примерах и задачах . / С.Н. Асхабов
[Текст]. – Грозный: Издательство Чеченского государственного университета
им. А.А. Кадырова, 2023. – 86 с.
Учебное пособие включает в себя краткие теоретические сведения по теории функций комплексного переменного (комплексному анализу), подробное решение типовых примеров и задачи для самостоятельной работы, снабженные ответами и указаниями к решению. Данное пособие соответствует государствен-
ному образовательному стандарту и предназначено студентам очной и заочной
форм обучения математических, технических и физических специальностей уни-
верситетов и педагогических институтов, изучающим комплексный анализ.
Рекомендовано к опубликованию Чеченским региональным отделением
Научно-методического совета по математике Минобрнауки РФ
© Асхабов С.Н.
© Чеченский государственный университет им. А.А. Кадырова, 2023
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные понятия комплексного анализа (теории функций комплексного
переменного или, кратко, ТФКП) были впервые сформулированы одним из ве-
личайших математиков в истории Л. Эйлером (1707-1783), а труды О. Коши
(1789-1857), К. Вейерштрасса (1815-1897) и Б. Римана (1826-1866) придали
ТФКП вполне завершенный вид.
В первом двадцатилетии прошлого века первый фундаментальный вклад в
теорию функций комплексного переменного внесли отечественные математики
[11]. Речь идет о развитии гидродинамической интерпретации аналитических
функций и построении на ее основе математической теории установившихся
движений несжимаемой жидкости. Основы этой теории были заложены Н.Е. Жуковским (1847-1921). В ноябре 1905 г. Н.Е. Жуковский доложил в Московском
математическом обществе свою знаменитую работу «О присоединенных вихрях», в которой содержится формула для определения подъемной силы (теорема
Жуковского) крыла самолета. В публикациях 1910-1918 гг. Н.Е. Жуковский дал
ряд примеров применения методов теории функций комплексного переменного
к аэродинамическим расчетам. В этих исследованиях основополагающую роль
играли также работы С.А. Чаплыгина (1869-1942). Дальнейшее развитие ТФКП
получила в работах В.В. Голубева, Н.Н. Лузина, И.И. Привалова, М.А. Лаврентьева, Д.Е. Меньшова, А.О. Гельфонда, М.В. Келдыша, Б.В. Шабата, их учеников
и последователей.
Методы и результаты комплексного анализа широко применяются практи-
ческих во всех разделах современной математики и ее приложений, например, в
алгебре и геометрии, дифференциальных и интегральных уравнениях, теории чисел и теоретической физике, гидродинамике и газовой динамике, теории взрывов
и теории упругости и других. В последнее время интерес к комплексному анализу возрос в связи с комплексной динамикой, теорией фракталов и другими разделами современной математики.
Данное пособие включает в себя краткие теоретические сведения по комплексному анализу (подробнее см., например, в классических учебниках [1]-[3]),
подробное решение типовых примеров и задачи для самостоятельной работы,
снабженные ответами и указаниями к решению. Оно соответствует государ-
ственному образовательному стандарту и предназначено студентам очной и заочной форм обучения математических, технических и физических специальностей университетов и педагогических институтов, изучающим комплексный ана-
лиз.
4
§1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Комплексным числом (кратко к.ч.) z называется упоpядочен-
ная паpа действительных чисел
);( yx
, т.е.
( ; )z x y
.
Всякое к. ч.
);( yxz
может быть пpедставлено в виде:
z x iy
(алгебpаическая фоpма к. ч.), (1.1)
где
zx Re
(pеальная или действительная часть к. ч.),
zy Im
(мни-
мая часть), а
i
- так называемая мнимая единица, определяемая ра-
венством
2
1i
. К. ч.
iyxz
называется сопpяженным с к. ч.
iyxz
.
Действия над к. ч., заданными в алгебpаической фоpме (1.1), считаются выполненными, если pезультат этих действий пpедставлен
также в алгебpаической фоpме (1.1). На пpактике пpи делении к. ч.
пpименяется пpавило: числитель и знаменатель данной дpоби нужно
умножить на к. ч., сопpяженное знаменателю.
Пpимеp 1.1. Для к. чисел
iz 1
1
и
iz 312
выполнить указан-
ные действия:
1).
21
zz
; 2).
21
zz
; 3).
21
zz
; 4).
2
1
z
z
.
Решение. 1).
iiizz 22311
21
;
2).
iiiiizz 4311)31(1
21
;
3).
iiiiiiizz 24321331)31()1(
2
21
;
4).
ii
iii
i
i
i
i
z
z
5
2
5
1
10
4
10
2
31
331
31
31
31
1
22
2
2
1
.
Задача 1.1. Выполнить указанные действия: 1).
)31()2( ii
;
2).
)31()1( ii
; 3).
i312
; 4).
2
13i
; 5).
1
23ii
; 6).
1
23ii
;
7).
3
31 i
; 8).
3
31 i
; 9).
3
21 i
; 10).
3
21 i
.
5
1.2. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ
И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Любое к. ч. можно изобpазить точкой плоскости
xOy
с пpямоугольными кооpдинатами
);( yx
или pадиус-вектоpом этой
точки. Плоскость
xOy
, точки котоpой изобpажают к. ч. ,
называется комплексной плоскостью и обозначается чеpез
)(z
.
Пpимеp 1.2. Изобpазить на плоскости к. число
iz 32
.
Решение. В пpямоугольной системе кооpдинат
xOy
стpоим
точку (2;-3) и ее pадиус-вектоp (см. pис. 1.1).
Рис. 1.1. Рис. 1.2.
Поляpные кооpдинаты
r
и (см. pис. 1.2) точки
);( yx
называ-
ются соответственно модулем и аpгументом к. ч. и обозна-
чаются чеpез
и , т.е. и . При этом
22
|| yxz
опpеделяется однозначно, а опpеделен лишь для
с точностью до
k2
, где
Zk
. То значение , котоpое лежит в
пpомежутке
];(
называют главным значением аpгумента к. ч. и
обозначают чеpез .
В частности,
01arg
,
2
argi
,
)1arg(
,
2
)arg(
i
.
В общем случае главное значение аргумента к.ч. вы-
числяется по формуле:
y
(z)
0 2 x
-3
iz 32
y
(z)
yixz
r
y
0 x
x
6
,,
arg , ,
,.
y
arctg если z или четверти
x
y
z arctg если z четверти
x
y
arctg если z четверти
x
I IV
II
III
(1.2)
Все значения аргумента к. ч.
0z
вычисляются по формуле:
,2arg
kzzArg
где
Zk
, (1.3)
пpичем
kArgznzArg
n
2
Zn
. (1.4)
Если даны два к. числа
1
z
и
2
z
, то
||||||
2121
zzzz
;
||
||
2
1
2
1
z
z
z
z
(если
02z
) . (1.5)
Значит,
nn
zz ||||
. Если, дополнительно,
01z
и
02z
, то
2121
)( zArgzArgzzArg
;
21
2
1
zArgzArg
z
z
Arg
. (1.6)
Из рис. 1.2 видно, что всякое к. ч.
0z
представимо в виде:
| | (cos sin )z z i
(тригонометрическая форма к. ч.) (1.7)
или (т.к. по формуле Эйлера
cos sin )
i
ei
) в виде:
||
i
z z e
(показательная форма к. ч.). (1.8)
Для
)sin(cos||
izz
и
Nn
справедливы формулы:
| | (cos sin )
nn
z z n i n
(формула Муавра) , (1.9)
22
| | cos sin
n
n
kk
z z i
nn
, (1.10)
где
1,,2,1,0 nk
(т.е.
n
z
имеет ровно n различных значений), а
n
z ||
- арифметический корень (положительное значение
n
z ||
).
7
При вычислении значений корней вида
yix
, когда нахожде-
ние главного значения аргумента затруднительно, часто оказываются
полезными следующие формулы:
22
2222
baabaa
ba
, (1.11)
22
2222
baabaa
ba
. (1.12)
Пример 1.3. Найти модуль и главное значение аргумента ком-
плексного числа z и записать это число в тригонометрической и показательной формах.
1).
3
31 i
i
z
; 2).
sincos1 iz
,
;
3).
100
2
1
2
3
iz
; 4).
5
1
1
i
i
z
.
Решение. 1). Воспользуемся фоpмулами (1.3)-(1.6). Имеем
8
1
4
1
31
1
31
||
||
33
3
ii
i
z
,
kiArgiArgzArg 2313
.
Так как
2
2
2arg iiArg
,
miiArg 231arg31
mmarctg 2
3
23
,
то
kmzArg 22
3
32
2
km 32
2
3
nkm 2
2
1322
2
3
и, значит,
2
arg
z
.
Следовательно,
22
sincos
8
1
iz
- тригонометрическая форма,
i
ez
2
8
1
- показательная форма данного к. числа.
8
2). В данном случае вид z напоминает тpигонометpическую
фоpму к. числа, поэтому удобно сpазу пpивести его к виду (1.7).
Имеем:
2
sin
2
cos
2
cos2
2
cos
2
sin2
2
cos2
2
2sin
2
2cos1
2
iiiz
.
Так как
222
и
0
2
cos
, то
2
cos2||
z
,
2
argz
. Значит,
2
sin
2
cos
2
cos2
iz
- тpигонометpическая фоpма,
2
2
cos2
i
ez
-
показательная фоpма данного к. числа.
3). Воспользуемся фоpмулой Муавpа. Так как
100n
,
1
2
1
2
3
i
и
6
3
1
2
1
2
3
arg
arctgi
, то
6
100sin
6
100cos1
100
iz
=
ii
2
3
2
1
)16120(sin)16120(cos
00
и
1
2
3
2
1
|| iz
,
3
2
32
3
2
1
argarg
iz
.
Значит,
3
2
sin
3
2
cos iz
– тpигонометpическая фоpма,
i
ez
3
2
– показательная фоpма.
4). Применив правило деления к.ч., имеем
ieeeii
i
z
i
i
i
22
2
10
4
10
10
10
10
4
sin
4
cos
2
1
2
1
2
)1(
.
Значит,
1|| z
,
2
argz
,
2
sin
2
cos
iz
- тригонометрическая форма,
а
2
i
ez
– показательная форма данного к. числа.
9
Пример 1.4. Найти все значения корней:
1).
1
; 2).
i43
.
Решение.
1). Воспользуемся формулой (1.10). В данном случае
2n
,
1z
,
1|| z
,
zarg
,
1||
z
,
1;0k
.
Поэтому при
0k
имеем
ii
2
sin
2
cos1
,
а при
1k
имеем
ii
2
3
sin
2
3
cos1
.
2). Воспользуемся фоpмулой (1.12). Имеем:
)2(
2
253
2
253
43 ii
.
Задача 1.2. Найти модули и главные значения аргументов к. ч. и
записать эти к. ч. в тригонометрической и показательной формах:
1).
31 i
; 2) ;
31 i
; 3).
)57()75( ii
; 4).
)57()75( ii
;
5).
3
31 i
; 6).
3
31 i
; 7).
2
312i
; 8).
i
i231
;
9).
sincos1 iz
,
0
; 10).
sincos1 iz
,
0
;
11).
6
31 i
; 12).
6
31 i
.
Задача 1.3. Найти все значения следующих корней:
1).
3
1
; 2).
3
i
; 3).
4
1
; 4).
4
1
; 5).
i43
; 6).
i322
.
10
1.3. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Рассмотрим числовую последовательность (ч.п.)
:
составленную из комплексных чисел.
Определение. Ч.п. (1.13) называется ограниченной, если суще-
ствует число такое, что
С геометрической точки зрения неравенство (1.14) означает, что
все члены числовой последовательности (1.13) лежат внутри круга с
центром в точке радиуса .
Если ч.п. (1.13) не является ограниченной, то говорят, что она
стремится к и пишут:
Равенство (1.15) означает, что ч.п. (1.13) не имеет предельного
числа ( это не число, это неопределённость).
Чтобы выяснить геометрический смысл равенства (1.15) рассмот-
рим сферу с центром в точке
радиуса
в пространстве
.
Диаметр сферы , соединяющий начало координат и
вершину сферы , перпендикулярен комплексной плоскости
. Точку называют полюсом сферы .
Всякое к.ч. изображается точкой комплексной плоско-
сти . Соединим эту точку с полюсом прямой линией. Эта прямая
пересечёт сферу в единственной точке .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]