Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексный анализ в примерах и задачах
.pdf
71
Пример 11.4. Найти функцию, отображающую круг
на
круг
так, что
1)
;
2)
.
Решение. Воспользуемся формулой (см. задачу 11.5):
где
. Так как
, то
Чтобы найти используем условие 2). Имеем
Значит,
и, следовательно,
Итак, искомая функция имеет вид
Пример 11.5. Найти функцию, отображающую верхнюю полу-
плоскость на круг так, что
72
1) ;
2)
.
Решение. Воспользуемся формулой (см. задачу 11.5):
где . Так как , то
Чтобы найти используем условие 2). Имеем
Значит,
и, следовательно,
т.е. .
Итак, искомая функция имеет вид
Задача 11.5. Найти дробно-линейную функцию, отображающую:
1). Круг
на круг ;
2). Верхнюю полуплоскость на единичный круг .
73
11.4. Преобразование Жуковского
Преобразованием Жуковского называется функция
Пример 11.6. Найти образ окружности
, , при отоб-
ражении преобразованием Жуковского.
Решение. Так как
, то
Подставив в (11.3), получим
Так как
то окружность
переводится преобразованием Жуковского в эл-
липс.
Задача 11.6. Найти образы следующих областей при отображе-
нии преобразованием Жуковского:
74
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Задача 1.1. 1. ; 2. ; 3.
i
5
3
5
1
; 4.
13
55
i
; 5.
15
13 13
i
;
6.
15
13 13
i
; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .
Задача 1.2. 1.
, ; 2. , ;
3.
, ; 4. , ; 5. , ;
6.
, ; 7. , ; 8. , ;
9.
2
cos2||z
,
2
argz
; 10.
2
sin2||z
,
22
arg
z
; 11.
, ; 12.
, (Указание:
64
2
3
2
1
2
6
6
iz
).
Задача 1.3. 1. 1,
i
2
3
2
1
; 2. ,
i
2
1
2
3
; 3.
i
2
2
2
2
;
4. , ; 5. ; 6.
.
Задача 1.4. 1.
2
1
;0;
2
1
; 2.
2
1
;0;
2
1
; 3.
2
1
;
2
1
;0
; 4.
2
1
;
2
1
;0
;
5.
3
1
;
3
1
;
3
1
; 6.
3
1
;
3
1
;
3
1
.
Задача 1.5. 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5).
2
1 iz
;
6).
2
1 iz
.
Задача 1.6. 1). ; 2). ; 3).
i
5
1
; 4).
i
3
1
; 5). ; 6). .
Задача 1.7. 1) и 2). Сходится; 3) – 6). Расходится.
Задача 2.1. 1. Кольцо между окружностями с центром в точке
i1
и радиу-
сами 1 и 2. Границы кольца не включаются; 2. Кольцо между окружностями с
центром в точке
1 i
и радиусами 1 и 3. Границы кольца включаются; 3. Точки
гиперболы
1//
2222
ayax
; 4. Точки гиперболы
; 5. Точки эллипса
; 6. Точки эллипса
; 7. Область, ограниченная снизу прямой
2y
, справа - прямой
1x
, слева и сверху – дугой окружности с центром в
точке –1 и радиусом 3. Границы области не включаются; 8. Область, ограничен-
75
ная сверху прямой
2y
, слева - прямой
1x
, справа и снизу – дугой окружно-
сти с центром в точке -1 и радиусом 3. Левая и верхняя границы области не вклю-
чаются; 9. Область, лежащая между прямыми
1x, 1x
и выше биссектрис
xy
и
xy
. Нижние границы области не включаются; 10. Область, лежащая
между прямыми
0x , 3x
и правее биссектрисы
xy
. Левая и нижняя гра-
ницы области не включаются.
Задача 2.2. 1. ; 2.
;
3.
; 4.
; 5.
;
6.
.
Задача 2.3. 1. , ;
2. , ;
3.
22
22
)1(
1
yx
yx
u
,
22
)1(
2yxy
v
; 4.
22
22
)1(
1
yx
yx
u
,
22
)1(
2yxy
v
;
5. ,
;
6. , .
Задача 2.4. 1.
; 2.
;
3. ; 4. ;
5.
и
;
6.
и
;
7.
; 8. .
Задача 2.5. Указание: проверить выполнимость условий Коши-Римана.
Задача 2.6. 1.
iCzzzf 2)(
; 2.
iCzizzf )3()(
2
;
3.
()
iz
f z i e C
; 4.
()
iz
f z e C
; 5.
iCzzf 2)(
3
;
6.
3
()f z i z i C
; 7.
iCzeizf
zi
32
)(
; 8.
iCezzf
z
)(
.
Задача 2.7. 1. ,
4
; 2. ,
4
; 3. , ;
4. , .
Задача 3.1. 1.
2
1
; 2.
; 3.
2
4
3
i
; 4.
i
3
4
2
; 5. ;
6.
88
4
33
i
; 7. ; 8. .
76
Задача 3.2. 1.
i
3
1
3
7
; 2.
i
5
3
5
3
; 3.
i 1
2
; 4.
)1sin1(cos1sin1cos i
.
Задача 3.3. 1. 0; 2. 0; 3.
1cosi
; 4.
1sini
; 5.
2
; 6. .
Задача 3.4. 1.
i
; 2. 0; 3.
i
)1sin1cos2(
; 4.
i)1cos1sin2(
.
Задача 3.5. 1. 0; 2.
i
2
; 3.
i
; 4.
i
; 5.
i
;
6.
i
; 7.
i
2
; 8. 0.
Задача 4.1. 1.
0
1
2
)(
n
n
n
z
zf
, в круге
2||: zD
; 2.
0
( ) ( 1)
n
n
f z z
, в круге
: | 1| 1Dz
; 3.
0
)2)(1()1()(
n
nn
znnzf
, в круге
1||: zD
;
4.
0
2
)1()1()(
n
nn
znzf
, в круге
1||: zD
; 5.
)()(
13
0
3
n
n
n
zzzf
, в
круге
1||: zD
; 6.
)()1()(
13
0
3
n
n
nn
zzzf
, в круге
1||: zD
;
7.
n
n
n
n
z
n
zf )1(
9
)1(2
236
13
)(
0
, в круге
1|1|: zD
;
8.
n
n
nn
n
n
z
n
zf
0
21
3
)1(2
5
2
)1()(
, в круге
2
5
||: zD
;
Задача 4.2. 1. Сходится при
1|| z
и расходится при
| | 1z
;
2. Сходится при
1|| z
и расходится при
| | 1z
;
3. Сходится при
3|| z
и расходится при
| | 3z
;
4. Сходится при
3|| z
и расходится при
| | 3z
;
5. Сходится лишь при ; 6. Сходится лишь при .
Задача 4.3. 1. ; 2.
; 3. 1; 4. 1; 5.
3
1
(по формуле Коши-Адамара); 6.
4
1
;
7. (воспользоваться формулой (4.6) и формулой Эйлера); 8.
.
Задача 4.4. 1.
0
)1(
1
1
)(
n
n
z
z
zf
; 2.
0
)2()1(
2
1
)(
n
nn
z
z
zf
;
3.
10
1
1
2
)1(
)(
n
n
n
n
n
n
z
zzf
; 4.
1
1
0
1
)1(
2
)1(
)(
n
n
n
n
n
n
n
z
zzf
;
77
Задача 5.1. 1. УОТ; 2. простой полюс; 3. двукратный полюс;
4. простой полюс; 5. трехкратный полюс; 6. ;
7. СОТ; 8. СОТ.
Задача 5.2. 1. СОТ; 2. СОТ; 3. двукратный полюс;
4. двукратный полюс.
Задача 5.3. 1. -1; 2. 0; 3. ; 4. ; 5. 0; 6.
2
1
; 7.
e9
4
; 8.
9
2e
.
Задача 5.4. 1.
i
2
; 2.
i
2
3
; 3.
i
25
; 4.
i
25
8
; 5.
i2
; 6.
i
81
20
.
Задача 6.1. 1.
2
; 2.
3
; 3.
54
; 4.
2
; 5.
12
; 6.
6
.
Задача 6.2. 1.
6
e
; 2.
6
e
; 3.
)1sin31(cos
3
3
e
; 4.
)2sin2cos2(
2
4
e
;
5.
3
3
e
; 6.
.
Задача 6.3. 1.
2
2
; 2.
3
32
; 3.
6
; 4.
18
; 5.
; 6.
.
Задача 7.1. 1. ; 2.
; 3. ; 4. ; 5. ; 6.
.
Задача 8.1. 1.
;
;
;
;
;
.
Задача 8.2. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. .
Задача 8.3. 1. Нет. Указание: выбрать , ;
2. Нет; 3. ; 4. .
Задача 9.1. 1. ; 2.
; 3.
; 4.
.
Задача 9.2. 1. Сходится; 2. Расходится; 3. Сходится; 4. Сходится.
Задача 10.1. 1.
; 2.
;
3.
; 4.
.
78
Задача 10.2. 1.
; 2. ; 3. ; 4. .
Задача 11.1. 1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Задача 11.2. 1.
3
arg
w
; 2.
1|| w
,
4
arg
w
;
3.
2
1
4
1
u
,
0v
; 4.
0u
,
1
2
1
v
.
Задача 11.3. 1. Часть круга
1|| w
, ограниченная снизу дугой окружности,
соединяющей точки
iw
5
4
5
3
3,1
и
2
2
i
w
; 2. Часть круга, граница которого
проходит через точки
iw
5
4
5
3
3,1
,
2
2
i
w
, ограниченная снизу дугой окружно-
сти, проходящей через точки
3,1
w
и
iw
4
; 3. Часть плоскости, лежащая ниже
действительной оси
0Im w
и вне окружности, проходящей через точки
01w
,
iw 1
2
и
13w
; 4. Часть плоскости, лежащая выше действительной
оси
0Im w
и вне окружности, проходящей через точки
01w
,
iw 1
2
и
13w
; 5. Область, ограниченная прямой
1Re w
и касающейся её окружностью
2/1|2/1| w
;
6. Область, ограниченная касающимися друг друга окружностями
4/1|4/3| w
и
2/1|2/1| w
.
Задача 11.4. 1.
1
zi
iz
w
; 2.
iz
iz
iw
; 3.
iz
iz
w
; 4.
z
z
w
2
12
.
Задача 11.5.
где любое действительное
число, а
любая точка круга
в задаче 1, соответственно, любая точка
верхней полуплоскости в задаче 2, отображающаяся в центр круга
.
Задача 11.6. 1 и 2. Вся плоскость с разрезом по отрезку ;
3 и 4. Внешность эллипса с полуосями
,
;
5. Нижняя половина внутренности эллипса с полуосями
,
;
6. Верхняя половина внутренности эллипса с полуосям и
,
.
79
Приложение 1. Таблица производных
и основные правила дифференцирования
Таблица производных
1.
;
8.
;
2.
9.
;
3.
10.
;
4.
11.
5.
12.
6.
13.
7.
14.
Основные правила дифференцирования
1.
2.
;
80
Приложение 2. Таблица неопределенных интегралов
и основные формулы интегрального исчисления
Таблица неопределенных интегралов
1.
;
7.
;
2.
8.
;
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
12.
Формула Грина-Остроградского
где есть граница односвязной области .
Интегральная формула Пуассона
Теорема о логарифмическом вычете и принцип аргумента
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]