Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексный анализ в примерах и задачах
.pdf
21
Решение. 1). Проверим сначала является-ли данная функция
гармонической. Так как
14
x
x
v
,
y
y
v
4
,
4
2
2
x
v
,
4
2
2
y
v
, то
044
2
2
2
2
y
v
x
v
и, значит, функция является гармонической.
2). Найдем теперь действительную часть
),( yxuu
искомой
функции
)(zf
. Используя условия Коши-Римана, получаем:
y
x
u
4
(I),
14
x
y
u
(II).
Из (I) находим
)(4)4( yxydxyu
(III), откуда
)(4 yx
y
u
.
Сравнивая с (II), получаем
14)(4
xyx
, откуда
1)(
y
и, зна-
чит,
Cyy )(
. Подставив в (III), имеем
Cyxyu 4
.
3). Найдем искомую функцию
)2(2)22(4)(
2222
yxiyxixyxiCyxyviuzf
CziziCiyxi
2
2)(
.
Задача 2.6. Найти аналитическую функцию , если известна
ее действительная или мнимая часть.
1.
xyxu
22
; 2.
yxyxu 3
22
; 3.
cos
y
v e x
;
4.
sin
y
v e x
; 5.
23
23
yxxu
; 6.
13
23
yxxv
;
7.
322
32sin xyxxeu
y
; 8.
)sincos( yyyxeu
x
.
22
2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ И
АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДНОЙ
Предположим, что функция
)(zf
определена в области D и явля-
ется аналитической в некоторой точке
Dz
0
, причем
0)(
0
zf
. Пусть
есть любая гладкая кривая проходящая через точку
. Тогда модуль
производной в этой точке
)(0zf
равен коэффициенту растяжения в
точке
0
z
, а аргумент этой производной
)(arg0zf
равен углу, на который
нужно повернуть касательную в точке
0
z
, чтобы получить направление
касательной в точке
)(00zfw
к образу кривой при отображении,
осуществляемом функцией
)(zfw
.
Таким образом, если в точке производная , то при
отображении все бесконечно малые дуги, выходящие из
точки поворачиваются на один и тот же угол равный (свой-
ство консерватизма углов) и получают одно и то же растяжение или
сжатие, равное
(свойство постоянства растяжений). В этом
состоит геометрический смысл модуля и аргумента производной
функции комплексной переменной.
Отображение, обладающее свойствами консерватизма углов и
постоянства растяжений называют конформным.
Пример 2.6. Найти коэффициент растяжения r и угол поворота
при отображении
2
zw
в точке
iz 1
0
.
Решение. Здесь
2
)( zzf
. Так как
zzf 2)(
и
4
sin
4
cos22
2
2
2
2
22)1(2)(
0
iiizf
,
то
22)(
0
zfr
,
4
)(arg
0
zf
.
Задача 2. 7. Найти коэффициент растяжения r и угол поворота
при отображении
)(zfw
в точке
0
z
, если:
1).
2
)( zzf
,
220iz
; 2).
1)(
2
zzf
,
iz 1
0
;
3).
zzf sin)(
,
00z
; 4).
zzf cos)(
,
2
0
z
.
23
§3. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
3.1. Непосредственное вычисление комплексных интегралов
Пусть функция
)(zfw
определена и непрерывна в области G и
L
произвольная кривая Жордана, лежащая в G. Тогда
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
L L L
f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy
, (3.1)
где
viuzf )(
,
yixz
.
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
)(txx
,
)(tyy
, а ее начало и конец соответствуют значениям
t
и
t
, то
dttztzfdzzf
L
)()()(
, где
)()()( tyitxtz
. (3.2)
Пример 3.1. Вычислить интегралы:
1).
L
z
dz
, где L есть окружность
Rz ||
,
0R
;
2).
L
dzzIm
, где
L
есть полуокружность:
1|| z
,
zarg0
.
3).
2
L
z dz
, где
L
есть ломанная с вершинами в точках
1
0z
,
2
1zi
и
3
2zi
.
Решение. 1). Уравнение окружности
Rz ||
в параметрической
форме имеет вид:
tRx cos
,
tRy sin
, где
]2,0[t
. Поэтому
(cos sin )
it
z x i y R t i t R e
,
dteiRdz
it
и, по формуле (3.2),
2
0
2
0
2 idti
eR
dteiR
z
dz
it
it
L
.
2). В данном случае
yzzf Im)(
, поэтому
yu
,
0v
. Следо-
вательно, по формуле (3.1),
LLL
dyyidxydzzIm
. Так как уравнение
полуокружности
L
имеет вид:
122 yx
,
11 x
, то
2
1 xy
.
24
Учитывая направление положительного обхода полуокружности
L
,
имеем:
11
2 2 2
11
Im 1 1 1
L
zdz x dx i x d x
1
2
1
1
1
11
arcsin
2 2 2
x
xi
.
(для вычисления первого интеграла используем формулу интегрирова-
ния по частям).
3). Ломанная L состоит из отрезков
OA
и
AB
, где точки
(0;0)O
,
(1;1)A
и
(2;1)B
соответствуют точкам
1
0z
,
2
1zi
и
3
2zi
. По-
этому
2 2 2
L OA AB
z dz z dz z dz
.
Уравнение отрезка
OA
есть
yx
, где
[0,1]x
, или в параметри-
ческой форме:
xt
,
yt
, где параметр
[0,1]t
. Так как
(1 )z x i y i t
, то
11
2 2 2 3 2 3
00
1 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
3 3 3
OA
z dz i t d i t i t dt i i
.
Уравнение отрезка
AB
есть
1y
,
[1,2]x
, или в параметрической
форме:
xt
,
1y
, где параметр
[1,2]t
. Так как
z x i y t i
, то
2
2
33
2 2 3
1
1
1 1 4
( ) ( ) 2 1 3
3 3 3
AB
z dz t i d t i t i i i i
.
Следовательно,
2 2 2
2 2 4 2 11
3
3 3 3 3 3
L OA AB
z dz z dz z dz i i i
.
Задача 3.1. Вычислить
L
dzzf )(
, если:
1.
zzf Im)(
, где L периметр треугольника, ограниченного прямыми
,
0y
,
1yx
;
2.
zzf Im)(
, где L периметр треугольника, ограниченного прямыми
1x
,
0y
,
xy
;
3.
( ) 1 2f z i z
, гдеL часть параболы
2
yx
,
10 x
;
25
4.
zizf 21)(
, L - часть параболы
2
xy
,
10 x
;
5.
zzzf )(
, L - дуга окружности
1|| z
,
0 argz
;
6.
zzizf 2)(
2
, L - дуга окружности
2|| z
,
2/arg0
z
;
7.
z
ezf )(
, L отрезок, соединяющий точки
01z
и
)1(2iz
;
8.
z
ezf )(
, L отрезок, соединяющий точки
01z
и
)1(2iz
;
3.2. Теорема Коши. Формула Ньютона-Лейбница
Основной в комплексном анализе является теорема Коши, со-
гласно которой
( ) 0
L
f z dz
, если функция является анали-
тической в замкнутой односвязной области G, ограниченной кривой
Жордана L.
Если функция является аналитической в односвязной
области
G
и
12
,z z G
любые две точки, то интеграл
L
dzzf )(
по любой
кривой Жордана L, лежащей в области G, не зависит от формы кривой
L
, а зависит только от начальной и конечной точек этой кривой, при-
чем справедлива формула Ньютона-Лейбница:
)()()(
12
2
1
zFzFdzzf
z
z
, где есть любая первообразная функции .
Если функции
()fz
и
()gz
являются аналитическими в односвяз-
ной области G, то для любых точек
12
,z z G
справедлива формула ин-
тегрирования по частям:
22
2
1
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
zz
z
z
zz
f z d g z f z g z g z d f z
.
Пример 3.2. Вычислить интегралы:
а).
i
i
dzzz
1
1
2
)23(
; б).
i
dzzz0cos
.
Решение. а). По формуле Ньютона-Лейбница, имеем:
i
i
i
i
iiiiizzdzzz
1
1
2323
1
1
232
8)1()1()1()1()()23(
.
б). Интегрируя по частям, получаем
26
Задача 3.2. Вычислить интегралы:
1.
1
2
)2(
i
dzzzi
; 2.
i
dzzz
1
34
)23(
; 3.
2/0i
z
dzez
; 4.
i
z
dzez
1
.
3.3. Интегральная формула Коши
Если функция
)(zfw
является аналитической в замкнутой од-
носвязной области
G
, ограниченной кривой Жордана
L
и
есть лю-
бая точка лежащая строго внутри области . Тогда справедлива инте-
гральная формула Коши:
0
0
1 ( )
()
2
L
fz
f z dz
i z z
,
LGz \
0
,
где обход контура
L
является положительным (т.е. область G должна
оставаться слева при движении по контуру
L
).
Пример 3.3. Вычислить интеграл
L
z
dz
iz
e
2
, если:
а). L есть окружность
4|| z
; б). L есть окружность
1|| iz
.
Решение. а). Так как точка
iz
0
лежит строго внутри одно-
связной области, ограниченной окружностью
4|| z
, то по интеграль-
ной формуле Коши получаем
27
б). Так как точка
iz
0
не лежит внутри области, ограниченной
окружностью
1|| iz
и подынтегральная функция является аналити-
ческой в этой области, то по теореме Коши
Задача 3.3. Вычислить интеграл
L
dzzf )(
, если:
1.
z
z
zf
sin
)(
,
1|2|: zL
; 2.
z
z
zf
cos
)(
,
1|2|: zL
;
3.
1
cos
)(
2
z
z
zf
,
1|1|: zL
; 4.
1
sin
)(
2
z
z
zf
,
1|1|: zL
;
5.
4
1
)(
2
z
zf
,
2||: izL
; 6.
1
1
)(
2
z
zf
,
1||: izL
.
Интегральная формула Коши допускает обобщение:
()
0
1
0
! ( )
()
2
n
n
L
n f z
f z dz
i
zz
LGz \
0
,
Nn
. (3.3)
Пример 3.4. Вычислить интеграл
dz
z
z
z1||
2
sin
.
Решение. Так как точка
00z
лежит внутри окружности
1|| z
, то
по формуле (3.3) имеем (
)1n
:
iizidz
z
z
i
idz
z
z
z
zz
20cos2)(sin2
)0(
sin
2
!1
2
sin
0
1||
11
1||
2
.
Задача 3.4. Вычислить интегралы
1.
1||
3
cos
z
z
dzz
; 2.
1||
3
sin
z
z
dzz
; 3.
dz
z
zz
z
2||
3
)1(
sin
; 4.
dz
z
zz
z
2||
3
)1(
cos
.
28
Если область G является многосвязной, то интеграл по внешнему
контуру равен сумме интегралов по всем внутренним контурам, при-
чем все границы обходятся в положительном направлении.
Пример 3.5. Вычислить интеграл.
dz
zz
e
z
z
4|2|
)3(
.
Решение. Так как внутрь окружности
4|2| z
попали точки
0z
и
3z
обращающие в нуль знаменатель, то по теореме Коши для
многосвязной области, имеем
dz
zz
e
dz
zz
e
dz
zz
e
z
z
z
z
z
z
1|3|1||4|2|
)3()3()3(
i
ee
ii
z
e
i
z
e
i
z
z
z
z
3
1
2
3
2
3
1
22
3
2
33
3
0
.
Задача 3.5. Вычислить интеграл
Lzz
dz
)1(
2
, если замкнутый
контур L не проходит через точки
i,0
и таков, что он:
1. Не охватывает ни одной из точек
i,0
;
2. Охватывает только точку 0;
3. Охватывает только точку i; 4. Охватывает только точку -i;
5. Охватывает точки 0 и i; 6. Охватывает точки 0 и -i;
7. Охватывает точки -i и i; 8. Охватывает все три точки
i,0
.
29
§4. РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Пусть дан ряд
составленный из аналитических в области функций.
Признак Вейерштрасса. Если для всех члены функцио-
нального ряда (4.1), начиная с некоторого номера
, мажориру-
ются соответствующими членами сходящегося положительного чис-
лового ряда
, т.е.
то ряд (4.1) сходится равномерно и абсолютно в области .
Пусть ряд (4.1) сходится в области и есть его сумма:
Теорема 1 (Вейерштрасса). Если ряд (4.1) равномерно сходится
в замкнутой области , целиком лежащей в области , то:
1) его сумма является аналитической функцией в области ;
2) в результате дифференцирования ряда (4.1) произвольное число раз
получается новый ряд, который также равномерно сходится в за-
мкнутой области
и изображает соответствующую производную
функции (другими словами, ряд (4.1) можно почленно дифферен-
цировать).
Из курса математического анализа известно, что равномерно схо-
дящийся ряд дифференцируемых функций действительного перемен-
ного нельзя, вообще говоря, почленно дифференцировать.
Теорема 2 (Вейерштрасса). Если ряд (4.1), состоящий из
аналитических в области и непрерывных в замкнутой области
функций равномерно сходится на границе области , то он сходится равномерно во всей замкнутой области
.
30
4.1. РЯДЫ ТЕЙЛОРА
Если функция
)(zf
является аналитической в круге
Rzz ||
0
с
центром в точке
и радиуса
0R
, то по теореме Тейлора она един-
ственным образом разлагается в этом круге в ряд Тейлора, т.е. представима в виде степенного ряда:
где
и
);0( R
есть любое фиксированное число.
Если
00z
, то ряд Тейлора называют рядом Маклорена или Тей-
лора-Маклорена.
При решении многих задач оказываются полезными следующие
разложения (ср. §2.1):
0!n
n
z
n
z
e
,
0
12
!)12(
)1(sin
n
n
n
n
z
z
,
0
2
!)2(
)1(cos
n
n
n
n
z
z
(
|| z
) , (4.2)
1
1
)1()1(
n
n
n
n
z
zn
,
21
0
arctg ( 1)
21
n
n
n
z
z
n
(
1|| z
) , (4.3)
n
n
z
n
n
z
0
!
)1()1(
1)1(
(
1|| z
,
R
) , (4.4)
01
1
n
n
z
z
,
0
)1(
1
1
n
nn
z
z
(
1|| z
) . (4.5)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]