Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексный анализ в примерах и задачах
.pdf
51
§7. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
С помощью теории вычетов можно не только вычислять опреде-
ленные и несобственные интегралы, но и находить суммы числовых
рядов.
Пусть
)(
)(
)(
xQ
xP
xf
s
r
, где
)(xP
r
и
)(xQ
s
есть многочлены степени r
и s, соответственно. Если
2 rs
и
0)( xQ
s
Zx
, то
1
( ) Res ( ) ctg
p
nk
k
zz
f n f z z
, (7.1)
1
()
( 1) ( ) Res
sin
p
n
nk
k
zz
fz
fn
z
, (7.2)
где
1
z
,
2
z
, … ,
p
z
есть все полюсы функции
)(
)(
)(
zQ
zP
zf
s
r
.
Пример 7.1. Найти суммы следующих рядов
а).
1
2
1
1
n
n
; б).
1
2
4
1
)1(
n
n
n
.
Решение. а). Так как функция
1
1
)(
2
z
zf
имеет два простых
полюса
iz
1
и
iz
2
, то по формуле (7.1), имеем
z
z
z
zn
iziz
n
ctg
1
1
Resctg
1
1
Res
1
1
222
)(
)()(
ctg
lim)(
)()(
ctg
lim iz
iziz
z
iz
iziz
z
iziz
cth
sh
ch
ctg
2
)ctg(
2
ctg
ii
i
ii
i
i
i
.
Так как
52
1
2
1
2
1
22
1
1
21
1
1
1
1
1
1
1
nnnn
nnnn
,
то
1cth
1
1
2
1
2
n
n
, откуда
2
1cth
1
1
1
2
n
n
.
б). Так как функция
4
1
)(
2
z
zf
имеет два простых полюса
iz 21
и
iz 22
, то по формуле (7.2), имеем
zzzzn
iziz
n
n
sin)4(
1
Res
sin)4(
1
Res
4
1
)1(
222
22
)2(
sin)4(
1
lim)2(
sin)4(
1
lim
2
2
2
2
iz
zz
iz
zz
iziz
2sh2sin)2(
1
lim
sin)2(
1
lim
22
zizziz
iziz
.
Так как
1
2
1
2
1
22
1
)1(
2
4
1
4
)1(
4
1
4
)1(
4
)1(
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
,
то
8
1
2sh48
1
4
)1(
2
1
4
)1(
2
1
2
n
n
n
n
nn
.
Задача 7.1. Найти суммы следующих рядов:
1).
1
2
4/1
1
n
n
; 2).
1
2
9/1
1
n
n
; 3).
n
n
2
3/1
1
;
4).
n
n
2
2/1
1
; 5).
n
n
n
2
2/1
)1(
; 6).
n
n
n
2
3/1
)1(
.
7).
n
n
n
2
2
4/1
)1(
; 8).
n
n
n
2
2
9/1
)1(
.
53
§8. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ.
ТЕОРЕМА РУШЕ
Функция
)()(zf
zf
, являющаяся производной от
)(Ln zf
, называется
логарифмической производной функции
)(zf
.
Если
0
z
есть нуль функции
)(zf
кратности m, то
0
()
Res
()
zz
fz
m
fz
.
Если
0
z
есть полюс функции
)(zf
кратности m, то
0
()
Res
()
zz
fz
m
fz
.
Пример 8.1. Найти вычеты логарифмической производной
функции
5
cos
)(
z
z
zf
относительно всех ее нулей и полюсов
Решение. Функция
5
cos
)(
z
z
zf
имеет один простой полюс
5z
и
бесконечное число простых нулей
kz
2
, где
Zk
. Поэтому
1
)(
)(
Res
5
zf
zf
z
и
1
)(
)(
Res
2
zf
zf
kz
, где
Zk
.
Задача 8.1. Найти вычеты логарифмических производных следующих функций относительно всех их нулей и полюсов:
1).
1
cos
)(
z
z
zf
; 2).
1
sin
)(
z
z
zf
; 3).
zzf
3
sin)(
;
4).
zzf
3
cos)(
; 5).
z
z
zf
sin
)(
; 6).
z
zzf1cos)(
.
Пусть функция
)(zf
является аналитической на контуре и
0)( zf
,
z
. Тогда число
dz
zf
zf
i
)(
)(
2
1
54
называется логарифмическим вычетом функции
)(zf
относительно
замкнутого конура .
Если функция
)(zf
является аналитической в односвязной обла-
сти D, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на границе этой области ни нулей, ни полюсов, то согласно теореме о
логарифмическом вычете справедливо равенство:
1 ( )
2 ( )
fz
dz N P
i f z
, (8.3)
где N и P есть число нулей и полюсов (с учетом их кратности) функции
)(zf
в области D.
Пример 8.2. Найти логарифмический вычет функции
1
)(
3
z
z
zf
относительно окружности
.
Решение. Данная функция имеет один простой нуль
0z
и три
простых полюса
2
3
2
1
,1 i
. Применяя формулу (8.3), имеем:
231
)(
)(
2
1
3
dz
zf
zf
i
z
.
Задача 8.2. Найти логарифмические вычеты следующих функций
относительно указанных контуров:
1).
1
1
)(
2
z
z
zf
,
2: z
; 2).
1
1
)(
2
z
z
zf
,
2: z
;
3).
z
z
zf
sin
1
)(
2
,
2: z
; 4).
z
z
zf
sin
4
)(
2
, ;
5).
zzzf cossin)(
, ; 6).
zzzf cossin)(
,
5: z
;
7).
z
z
zf
2cos1
4
)(
2
,
z:
; 8).
z
z
zf
2cos1
9
)(
2
,
z:
.
Если функции
)(zf
и
)(zg
являются аналитическими в замкнутой
области D, ограниченной контуром , и удовлетворяют неравенству
55
|)(||)(| zgzf
,
z
, то согласно теореме Руше функции
)(zf
и
)()( zgzf
имеют в области D одинаковое число нулей с учетом их
кратности.
С помощью теоремы Руше можно решать сложные задачи, связанные с нахождением числа корней уравнений.
Пример 8.3. Найти число корней уравнения
0125
58
zzz
.
в единичном круге
1z
.
Решение. Запишем данное уравнение в виде:
где
15)(
5
zzf
и
zzzg 2)(
8
. Так как
1: zz
, имеем
41515)(
5
5
zzzf
,
32)(
8
zzzg
,
то
)()( zgzf
. Значит, по теореме Руше, функции
)(zf
и
)()( zgzf
имеют одинаковое число нулей в круге
1z
. Но функция
15)(
5
zzf
имеет ровно 5 нулей, поскольку
5
5/1
имеет ровно 5 раз-
личных значений. Значит и данное уравнение
0125)()(
58
zzzzgzf
имеет в единичном круге
1z
ровно 5 корней.
Задача 8.3. Найти внутри заданного круга
Rz
число корней
следующих уравнений:
1).
0106
8
zz
,
1z
; 2).
0106
8
zz
,
1z
;
3).
013
34
zz
,
2z
; 4).
0125 zz
,
2z
.
56
§9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть дана последовательность комплексных (или действитель-
ных) чисел
1n
n
u
такая, что
1
n
u
,
Nn
. Обозначим
n
k
knn
uuuup
1
21
1111
.
Если существует конечный или бесконечный предел последо-
вательности
1n
n
p
:
pup
n
k
k
n
n
n
1
1limlim
,
то этот предел (число) называют значением бесконечного произве-
дения
11k
k
u
и пишут:
puup
k
k
n
k
k
n
n
n
11
11limlim
.
Если
0lim
nn
p
или не существует, то бесконечное произведение
11k
k
u
называется расходящимся, а если
0lim
nn
p
, то бесконечное
произведение
11k
k
u
называется сходящимся.
Пример 9.1. Найти значение следующих бесконечных произведе-
ний:
1).
2
2
1
1
k
k
; 2).
1
2
cos
k
k
x
.
57
Решение. 1). Так как
22
)1()1(1
1
k
kk
k
, то
n
n
n
nn
n
nn
k
p
n
k
n
1
2
1)1()1(
)1(
)2(
4
53
3
42
2
311
1
22222
2
2
.
Следовательно,
2
11
lim
2
1
lim
1
1
2
2
n
n
p
k
n
n
n
k
.
2). Так как
,
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
12
1
nn
n
k
k
n
xxxxx
p
то умножив левую и правую части этого выражения на
n
x
2
sin
, получим:
nnn
n
k
kn
n
xxxxxxx
p
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin
12
1
x
xxxx
nnn
sin
2
1
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
1
112
.
Значит,
n
n
n
x
x
x
x
p
2
sin
2
sin
и, следовательно,
x
x
x
x
x
x
p
x
n
n
n
n
n
k
k
sin
2
sin
2
lim
sin
lim
2
cos
1
.
58
Задача 9.1. Найти значение следующих бесконечных произведе-
ний:
Необходимым условием сходимости бесконечного произведе-
ния
11k
k
u
является условие:
0lim
nn
u
.
Теорема 9.1. Если все члены ряда
1k
k
u
, хотя бы начиная с неко-
торого номера, либо положительны, либо отрицательны, то для схо-
димости бесконечного произведения
11k
k
u
необходимо и доста-
точно, чтобы сходился ряд
1k
k
u
.
Если ряд
1k
k
u
абсолютно сходится, то сходится и бесконечное
произведение
11k
k
u
.
Если сходится произведение
11k
k
u
, то говорят, что бесконеч-
ное произведение
11k
k
u
сходится абсолютно.
59
Бесконечное произведение
11k
k
u
сходится абсолютно тогда и
только тогда, когда сходится ряд
1k
k
u
.
Пример 9.2. Исследовать на сходимость следующие бесконеч-
ные произведения:
1).
1
1
1
1
k
k
; 2).
1
2
1
1
k
k
.
Решение. 1). В данном случае
так, что
и этот ряд расходится, поскольку расходится гармонический ряд. Следовательно, по теореме 9.1, данное произведение расходится.
2). В данном случае
так, что
и этот ряд сходится как обобщенный гармонический ряд. Следовательно, по теореме 9.1, данное произведение сходится.
Задача 9.2. Исследовать на сходимость следующие бесконечные
произведения:
60
§10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Определение. Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной , такая что:
Функцию называют изображением функции , а исход-
ную функцию называют оригиналом. При этом предполагается,
что выполняются следующие три условия, обеспечивающие существо-
вание интеграла в (10.1):
I. при .
II. является кусочно-непрерывной на положительной по-
луоси .
III. для любого удовлетворяет неравенству:
Связь между оригиналом и изображением обозначают так:
причём изображение принято записывать с заглавной буквы.
С помощью преобразования Лапласа можно решать интеграль-
ные и дифференциальные уравнения, вычислять несобственные инте-
гралы и находить суммы числовых рядов. При этом используется со-
ответствующая таблица преобразований Лапласа элементарных функций (см. Приложение 3), а также следующие формулы:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]