Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Методические указания и контрольные задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Кафедра алгебры и геометрии

Е.М. МОЗАЛЕВА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2004

3

ББК 22.14 я7 М 74

УДК 511.14: 512.64: 514.742.2 (07)

Рецензенты кандидат физико-математических наук, доцент Л.М. Невоструев,

кандидат физико-математических наук Т.М. Отрыванкина

М 74

Мозалева Е.М.

Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра: Методические указания и контрольные задания.- Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004.– 60 с.

Методические указания содержат основные теоретические сведения по следующим разделам: комплексные числа, линейная алгебра, векторная алгебра, также приведены иллюстративный материал и замечания учебнометодического характера, полезные для студентов. В конце каждой главы первого раздела помещены вопросы для самопроверки. Изложены методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, каждое из которых содержит 10 вариантов.

Методические указания предназначены для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей.

ББК 22.14 я7

© Мозалева Е.М., 2004 © ГОУ ОГУ, 2004

4

Введение

Цель преподавания математики в вузе – научить студентов математическому аппарату, необходимому для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Теоретическая часть методических указаний включает следующие разделы: комплексные числа, элементы линейной алгебры, векторная алгебра.

Методические указания имеют следующую структуру. В первом разделе приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, формулы, теоремы, правила, методы), также содержатся иллюстративный материал и замечания учебно-методического характера, полезные для студентов, изучающих курс линейной алгебры. В конце каждой главы раздела помещены вопросы для самопроверки. Во втором разделе изложены методические указания для решения контрольных работ. В третий раздел входит система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10 вариантов.

Распределение вариантов контрольных работ и сроки их предоставления доводит до сведения лектор потока или учебная часть факультета.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради или на листах формата А4.

Титульный лист оформляется в соответствии с СТП 101-00.

Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

В проверенной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные преподавателем недочеты и учесть его рекомендации. Если же работа не зачтена, то она выполняется еще раз и отдается на повторную проверку. Зачтенные контрольные работы защищаются студентом перед сдачей зачета или экзамена.

5

1 Основные теоретические сведения

Глава 1 Комплексные числа

§1 Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

операция извлечения квадратного корня (например, нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа). Расширим множество R до такого множества, в котором существует значение квадратного корня из любого отрицательного числа. Для этого введем понятие комплексного числа.

Определение. Комплексным числом z называется число вида z = a + bi , где a, b R, i называется мнимой единицей, определяемой равенством i2 = −1

или i = −1.

Определение. Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Rе z ; число b называется мнимой

частью z и обозначается b = Im z.

Если a = 0, то число z =bi называется чисто мнимым, если b = 0 , то

z = a – действительное число, поэтому множество R является подмножеством множества всех комплексных чисел С, то есть R C .

Определение. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно.

Определение. Число z = a −bi , отличающееся от числа z = a + bi только знаком при мнимой части, называется сопряженным комплексному числу z .

Геометрически каждое комплексное число z = x + yi изображается точкой (x; y) координатной плоскости (xOy). И наоборот: каждой точке плоскости с координатами (x; y) соответствует

комплексное число z = x + yi .

6

На оси Ох откладываются действительные части комплексных чисел, назовем ее действительной осью, а на оси Оу – их мнимые части, назовем ее

мнимой осью.

Замечание. Комплексные числа можно изображать и с помощью радиус– векторов, а именно: число z = x + yi изображается вектором OM , имеющим начало в точке O(0,0) и конец в точке M (x, y).

Определение. Запись числа z в виде z = a + bi называется

алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Арифметические действия над комплексными числами z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i , определяются следующими равенствами:

Равенство (1.3) можно получить путем умножения по правилам алгебры

и замены i2 = −1. Чтобы получить равенство (1.4) нужно предварительно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на a2 −b2i. (Сделать самостоятельно.)

Пример 2. Произвести следующие действия над комплексными числами: 1) (3 + 2i)+ (−5 +3i)= (3 −5)+ (2 +3)i = −2 +5i ;

2) (3 + 2i)−(−5 +3i)= (3 −(−5)) + (2 −3)i = 8 −i ;

Рассмотрим операцию извлечения квадратного корня из комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Чтобы извлечь квадратный корень из комплексного числа, т.е. для числа z = a + bi найти z1 = x + yi такое, что a + bi = x + yi , возьмем

7

Пример 3. Извлечь квадратный корень из комплексного числа −5 −12i .

−5 −12i = x + yi a = −5, b = −12

§2 Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Рассмотрим комплексное число z = a + bi .

Определение. Модулем комплексного числа z называется арифметическое значение квадратного корня из суммы квадратов его действительной и мнимой частей.

Обозначается:

Обозначается: ϕ = Аrg z .

Выясним вопрос о том, для любого ли комплексного числа можно найти модуль и аргумент, и сколькими способами.

Если z = 0 = 0 + 0 i z = 0 = 0.

Если z ≠ 0 , то z определяется единственным образом и представляет

собой положительное действительное число. Если z = 0 , то r = 0 и формулы (1.6) для аргумента ϕ теряют смысл, поэтому для числа z = 0 аргумент не определен. Для числа z ≠ 0 аргумент всегда существует и имеет бесчисленное множество значений в силу периодичности функций cosϕ и sinϕ , и значения

8

обозначать аrg z , а для всех остальных значений аргумента z получим равенство: Arg z = arg z + 2πk, k Z.

Выясним геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа z = a + bi . Как уже отмечалось (§1), комплексному числу z = a + bi

соответствует радиус–вектор OM . Учитывая формулу (1.5) и рисунок 2 получаем, что z представляет собой длину радиус–вектора OM .

Рисунок 2

Используя формулу (1.6) и рисунок 2 получаем, что аргумент

числа z - это угол ϕ , образованный радиус–вектором OM и положительным направлением оси Ox , отсчитанный против часовой стрелки. В качестве аргумента комплексного числа можно рассматривать и отрицательное значение угла при противоположном направлении отсчета. За аргумент выбирают то значение ϕ , которое меньше по модулю.

С помощью модуля и аргумента комплексное число z = a + bi можно представить в другой форме записи.

Из (1.6) следует, что a = r cosϕ и b = r sin ϕ, тогда

z = a + bi = r cosϕ + r sinϕ i

z = r(cosϕ + i sinϕ) - тригонометрическая форма комплексного числа.

Любое комплексное число, отличное от нуля, можно представить в тригонометрической форме.

Пример 4. Представить число z =1 + i в тригонометрической форме. Так как а =1,b =1, то

9

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме В тригонометрической форме удобно производить умножение, деление

комплексных чисел, возведение комплексных чисел в натуральную степень и извлечение корней любой степени из комплексных чисел.

Вопросы для самопроверки

1Что называется комплексным числом?

2Каким равенством определяется мнимая единица?

3Напишите алгебраическую форму комплексного числа и дайте название каждого члена в этой форме.

4Как изобразить комплексное число z = −i на комплексной плоскости?

5 При каких значениях x и y комплексные числа z = x + 2i и z = 4 + 3 yi

а) равны?

б) сопряжены?

6Как определяются арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме?

7Дайте определения модуля и аргумента комплексного числа. Каков их геометрический смысл?

8Напишите тригонометрическую форму комплексного числа.

9Как умножить и разделить два комплексных числа в тригонометрической форме?

10По какой формуле находятся корни n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме?

10

Глава 2 Элементы линейной алгебры

§1 Матрицы. Операции над матрицами

Рассмотрим в общем виде систему m линейных уравнений с n неизвестными, где коэффициенты при неизвестных будут записываться с двумя индексами, где первый обозначает номер уравнения, второй – номер соответствующей неизвестной.

Числа этой таблицы называются элементами матрицы.

Определение. Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n), т.е. таблица вида

В противном случае матрица называется прямоугольной.

Определение. Диагональ квадратной матрицы, состоящая из элементов a11,a22 ,...,ann , называется главной, а другая диагональ - побочной.

Определение. Порядком квадратной матрицы называют число ее строк (или столбцов).

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется

нулевой, а именно

11

Определение. Матрица, по главной диагонали у которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной. Обозначается Е:

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т.е. аij = a ji , i, j =1,2,...,n.

Определение. Матрица называется ступенчатой, если выполняются два условия:

1)любая ее строка имеет хотя бы один не равный нулю элемент;

2)первый, отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй строки, расположен правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки.

Пример 6.

Определение. Матрица АТ называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками

матрицы АТ . Пример 7.

12