Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Определение. Две матрицы называются однотипными, если они состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов.

Тип матрицы определяется упорядоченной парой (m, n), где m - число строк, n - число столбцов. Обозначается А(m,n) или А(m×n).

Определение. Две матрицы А и В называются равными, если они однотипные и их соответствующие элементы равны.

Элементарные преобразования строк (столбцов) матриц:

1.Транспозиция – перемена мест двух строк (столбцов) матрицы.

2.Умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля.

3.Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число, отличное от нуля.

4.Вычеркивание нулевых строк (столбцов).

Определение. Матрицы, переходящие друг в друга в результате

Операции над матрицами

1) Суммой двух однотипных матриц А(m×n) и В(m×n) называется матрица

Аналогично определяется разность двух матриц.

2) Произведением матрицы А на число λ (или числа λ на матрицу А)

называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на число λ , т.е.bij = λaij .

13

Замечание. Операция умножения матриц определяется не для любых матриц А и В, а лишь для тех, которые удовлетворяют следующему условию: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.

3) Произведением матрицы А(m×n) на матрицу B(n×k ) называется матрица C(m×k ), элемент сij которой равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -ого столбца матрицы B , т.е.

n

cij = ∑aiα bαj ,i =1,2,...,m, j =1,2,...,k.

Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами:

1(А+ В)+ С = А+ (В + С) - ассоциативность сложения;

2(А В) С = А (В С)- ассоциативность умножения;

3А+ В = В + А - коммутативность сложения;

4А В ≠ В А.

Пример 12.

относительно сложения.

14

Единичная матрица обладает следующим свойством: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет данную матрицу, т.е. А E = E А= А. При умножении матрица Е играет роль единицы. Аналогично: А О =О А=О, т.е. матрица О при умножении играет роль нуля.

§2 Определители 2-го и 3-го порядка. Определитель n-го порядка.

Определение. Определителем (детерминантом) 2-го порядка,

соответствующим матрице (1.8), называется число, равное разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях, и обозначаемое символом ∆ или det A , т.е.

Числа a11, a12 , a21, a22 называются элементами определителя.

Пример 13. Вычислить определитель:

1− 2 =1 3 − 2 (−2) = 7.

23

Рассмотрим квадратную матрицу 3-го порядка:

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице (1.9), называется число, определяемое равенством:

a11 a12 a13

∆ = det A = A = a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31 − a31 a32 a33

− a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33.

15

Чтобы запомнить это равенство используют правило треугольников

(правило Саррюса):

− (− 2) (− 2) (− 2)= −6 −12 − 2 +8 = −12.

Перейдем к выяснению понятия определителя любого порядка n, где

n ≥3.

Всякой квадратной матрице n-го порядка в соответствие ставится число,

называемое ее определителем n-го порядка, т.е.

Для вычисления определителя n-го порядка введем следующие понятия.

Определение. Минором элемента aij определителя называется определитель порядка n −1, полученный из данного после вычеркивания i -ой

Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя

называется минор этого элемента, взятый со знаком (−1)i + j . Обозначается Aij , т.е.

Aij = (−1)i + j Mij .

16

Пример 16. Найти алгебраическое дополнение элемента a23 определителя из примера 15.

Теорема 2.2.1. Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

Равенство (1.10) называется разложением определителя по элементам i-

ой строки, аналогично можно получить разложение определителя по

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется при замене всех его строк соответствующими столбцами.

Например, для определителя 2-го порядка:

17

Замечание. Это свойство позволяет утверждать, что строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. все утверждения, справедливые для строк, будут верны и для столбцов, поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать только для строк.

2. При перестановке двух строк (при транспозиции) определитель меняет знак на противоположный.

Например, для определителя 3-го порядка:

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. Пример 18. Вычислить определитель:

1 1 17 2 2 5 = 0 (Так как в данном определителе 1-ый и 2-ой столбцы

3 3 9

одинаковые.)

4.Если некоторую строку определителя умножить на одно и то же число

с, то определитель умножится на это число с.

Замечание. Это свойство чаще употребляется в следующей форме: если элементы некоторой строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5.Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

6.Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то он равен нулю.

7.Если каждый элемент i -ой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, из которых один в i -ой строке в качестве элементов имеет первые слагаемые, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах у всех трех определителей одни и те же. Например, для определителя 3-го порядка:

18

Замечание. Это свойство справедливо и в более общем случае, когда каждый элемент i -ой строки есть сумма более чем двух слагаемых.

8. Величина определителя не изменится, если все элементы некоторой строки умножить на любое число, отличное от нуля, и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Пример 19. Вычислить определитель:

(−1)

=2 (−12)= −24. (Сравнить ответ с примером 17.)

9. Сумма произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю. ( Например: a11 A21 + a12 A22 +... + a1n A2n = 0 .)

Замечание. Определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу, т.е.

А= (а11 ) det A = a11.

Теорема 2.2.2. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей данных матриц, т.е.

det (A B)= det A det B .

§3 Обратная матрица и ее существование

Определение. Обратной для квадратной матрицы А называется квадратная матрица (обозначается А−1 ), которая удовлетворяет равенствам:

А А−1 = А−1 А= Е,

где Е- единичная матрица.

19

Определение. Невырожденной матрицей называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:

где E – единичная матрица n-го порядка.

Теорема 2.3.2. Для того чтобы существовала матрица А−1 , обратная к матрице A , необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Доказательство. 1) Необходимость:

Дано: Существует А−1.

Доказать: А – невырожденная матрица.

Дано: А – невырожденная матрица. Доказать: Существует А−1.

20

обратной для матрицы А, т.е. A−1 = det1 A C .

В процессе доказательства теоремы получили формулу для нахождения матрицы, обратной данной:

Теорема 2.3.3. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

Замечание. Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует.

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1det A−1 = de1tА,

2(A−1 )−1 = A,

3(AB)−1 = B−1 A−1.

§4 Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу A(m×n):

21

Определение. Выберем в матрице A произвольно s различных строк и s различных столбцов, причем 1 < s ≤ min(m, n), где min(m, n) - меньшее из чисел m и n . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s . Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А.

Взяв первую и вторую строку, третий и четвертый столбец, получим

второго порядка для исходной матрицы.

Аналогично можно получить и другие миноры второго порядка, а также миноры третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.

Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг

матрицы равен нулю. Обозначается ранг матрицы А следующим образом: r(A).

Из определения ранга получаем следующие утверждения:

1.Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m и n , т.е. 0 ≤ r ≤ min(m, n).

2.Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица является нулевой.

3.Для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Пример 21. Найти ранг матрицы:

Среди миноров первого порядка этой матрицы (ее элементов) есть отличный от нуля, следовательно, r > 0 . Из элементов данной матрицы можно составить миноры второго и третьего порядков, но все они равны нулю, поэтому, r(A)=1.

Замечание. Указанный способ нахождения ранга матрицы не всегда удобен, так как часто связан с вычислением большого числа определителей.

22