Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Методические указания и контрольные задания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

516 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

2 Методические указания к выполнению контрольной работы

Задание 1

1.1Используя тригонометрическую форму комплексного числа,

произвести указанные действия:

−3i

2 + 2

3i .

Решение

Представим числа z1 = −3i

и z2 = 2 + 2

в тригонометрической форме.

a1 = 0, b1 = −3,

a2 = 2, b2 = 2 3,

r1 = a12 + b12 = 02 + (−3)2 = 3,

= 22 + (2 3)2 = 4,

cosϕ1 =

= 2 =

3 = 0

3π

cosϕ2

ϕ1

sin ϕ1 = b1

ϕ2

= −3 = −1

sin ϕ2

z1 = r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 )

+ i sin

3π

= 4 cos

+ i sin

= 3 cos

Найдем частное

3π

+ i sin

3π

3 cos

cos

−

+ i sin

−

cos

+ i sin

4 cos

Далее, применяя формулу

ϕ + 2πk

+ i sin

ϕ + 2πk

= 0,1, 2,..., n −1,

n r(cosϕ + i sin ϕ) = n r cos

, где k

получим

7π

− 3i

7π

+ 2πk

= 3

cos

+ isin

cos

+ isin

, k = 0,1,2.

2 + 2 3i

Полагая k = 0,1,2 , получим три различных значения искомого корня:

k = 0 : z0	= 3	3		7π	+ isin	7π
		4	cos	18		18	;

k =1: z

= 3

19π

+ isin

19π

cos

;

k = 2 : z2 = 3

31π

+ isin

31π

cos

1.2 Решить уравнение: z2 − (1 + 2i)z +1 + 7i = 0.

a =1, b = −(1 + 2i), c =1 + 7i.

Решение

D = (1 + 2i)2 − 4(1 + 7i)=1 + 4i + 4i 2 − 4 − 28i = −7 − 24i

= 1 + 2i ± − 7 − 24i .

1,2

из комплексного числа − 7 − 24i по

Извлечем квадратный

корень

формулам:

a + bi = x + yi; x = ±

a + a

2 + b2

, y =

Так как a = −7, b = −24, то

x = ±

−

7 + (− 7)2

+ (− 24)2

= ±3;

= 3;

= b

= − 24 = −4, x

+ y i = 3 − 4i;

2x1

= −3;

− 24

= 4, x2 + y2i = −3 + 4i.

2x2

− 6

Итак, − 7 − 24i

= ±(3 − 4i), тогда

=1 + 2i ± (3 − 4i)

1,2

=1 + 2i − (3 − 4i)= −1 + 3i.

z =1 + 2i + 3 − 4i = 2 − i; z

Можно сделать проверку по теореме Виета: z1 + z2 = −ba и z1 z2 = ac (самостоятельно).

Ответ: z1 = 2 − i, z2 = −1 + 3i.

Задание 2

Даны две матрицы A и B . Найти: A B; B A.

3		−1	0		−1		0	2
	3	5 1				1	−8 5
A =				, B =					.
	4	− 7	5			3	0	2

Определим тип матриц:									Решение
								A(3×3), B(3×3). Число столбцов матрицы A равно
числу строк матрицы B ,						поэтому произведение A B существует, и получим
матрицу типа (3×3), а именно
3		−1	0	−1 0			2
	3	5 1			1	−8	5		=
A B =
	4	− 7	5		3	0	2

	3 (−1)+		(−1) 1 + 0 3 3		0 + (−1) (−8)+ 0 0 3	2 + (−1) 5 + 0 2
	3 (−1)		+ 5 1 +	1 3	3 0 + 5 (−8)+1 0	3 2 + 5 5 +1 2	=
=	3 (−1)		+ 5 1 +	1 3	3 0 + 5 (−8)+1 0	3 2 + 5 5 +1 2	=
	4 (−1)+ (− 7) 1 + 5 3 4 0 + (− 7) (−8)+ 5 0 4 2 + (− 7) 5 + 5 2

	− 4	8	1
	5	− 40 33
=	5	− 40 33		.
	4	56	−17
	4	56	−17

	Так как произведение матриц свойством коммутативности не обладает,
то A B ≠ B A в общем случае.									A , поэтому
	Число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы								A , поэтому
B A существует, и получим матрицу типа (3×3), а именно
	−1		0 2		3 −1 0
B		1	−8 5		3 5 1
B	A =	1	−8 5		3 5 1	=
		3	0 2		4 − 7 5
		3	0 2		4 − 7 5
−1 3 + 0			3 + 2 4		−1 (−1)+ 0 5 + 2 (− 7)		−1 0 + 0 1 + 2 5
		(−8) 3 + 5 4			1 (−1)+ (−8) 5 + 5 (− 7)		1 0 + (−8) 1 + 5		=
= 1 3 +		(−8) 3 + 5 4			1 (−1)+ (−8) 5 + 5 (− 7)		1 0 + (−8) 1 + 5	5	=
	3 3	+ 0 3 + 2 4			3 (−1)+ 0 5 + 2 (− 7)		3 0 + 0 1 + 2 5
	3 3	+ 0 3 + 2 4			3 (−1)+ 0 5 + 2 (− 7)		3 0 + 0 1 + 2 5
	5	−13	10
	−1 − 76		17
=	−1 − 76		17	.
	17	−17	10
	17	−17	10

	− 4		8	1		5		−13	10
Ответ:		5	− 40	33			−1	− 76	17
	A B =				; B A =					.
		4	56	−17			17	−17	10

Задание 3 Вычислить определитель ∆ .

	−1	− 2	4	1
	−1	− 2	4	1
∆ =	2	3	0	6
	2	− 2	1	4
	3	1	− 2	−1

Решение Удобнее всего вычислять определитель 4-го порядка разложением по

элементам строки или столбца, содержащим наибольшее количество нулей. Преобразуем определитель ∆ , используя свойство 8 §2 гл.2. Сделаем нулевыми все элементы определителя, стоящие в третьем столбце (кроме элемента, который стоит на пересечении с третьей строкой). Для этого умножим элементы третьей строки на минус 4 и сложим с элементами первой строки, и на 2 и сложим с элементами четвертой строки, получим:

	−1 − 2		4	1		− 9 6		0	−15
	−1 − 2		4	1		− 9 6		0	−15
∆ =	2	3	0	6	(− 4) 2 =	2	3	0	6	.
∆ =	2	− 2	1	4	(− 4) 2 =	2	− 2	1	4	.
	3	1	− 2 −1			7	− 3	0	7

Воспользуемся теоремой 2.2.1 и разложим ∆ по элементам третьего столбца, получим:

∆ =1 A	=1 (−1)3+3	−9	6	−15	=	− 9	6	−15	.
		−9	6	−15		− 9	6	−15
		2	3	6		2	3	6
33
		7	− 3	7		7	−3	7

Воспользуемся свойством 4 §2 гл.2 и вынесем общий множитель 3 из первой строки, получим:

∆ = 3		− 3	2	−5	.
		− 3	2	−5
		2	3	6
		7	− 3	7
		Вычислим определитель 3-го порядка, например, по правилу
треугольников.
∆ = 3	(−3 3 7 + (−5) 2 (−3)+ 2 6 7 − (−5) 3 7 − (−3) 6 (−3)− 2 2 7)=

= 3 (− 63 + 30 +84 +105 −54 − 28)= 3 74 = 222.

Ответ: ∆ = 222.

Задание 4 Исследовать систему на совместность и решить ее:

а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера;

в) с помощью обратной матрицы.

2x + 3y − z =8,x − 2 y + z =1,x − y + 2z = −1.

Решение Исследуем систему на совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому

виду с помощью элементарных преобразований над строками:
			2 3			−1	8				1		− 2 1			1 (− 2) (−1)
*	=			1	− 2 1		1					2 3		−1		8
A	=			1	− 2 1		1					2 3		−1		8
				1	−1 2							1	−1 2
				1	−1 2		−1					1	−1 2		−1
	1 − 2 1						1			1			− 2 1		1
		0 7				− 3	6				0 1			1	− 2		(− 7)
		0 7				− 3	6				0 1			1	− 2		(− 7)
		0 1				1	− 2				0 7			− 3	6
		0 1				1	− 2				0 7			− 3	6
			1		− 2	1	1
			0		1	1	−	2
			0		1	1	−	2	.
			0		0	−10	20
			0		0	−10	20
r(A)= 3 (числу ненулевых строк),
r	(A* )= 3.

Так как r(A)=r(A* )= 3 , следовательно, система совместна. Количество

неизвестных n = 3 = r , следовательно, система определенна, то есть имеет единственное решение.

а) метод Гаусса

В процессе исследования системы на совместность мы привели

расширенную матрицу A* к ступенчатому виду. Этой матрице будет соответствовать система уравнений ступенчатого вида, равносильная исходной, а именно:

x − 2 y + z =1,
	y + z = − 2,

	−10 z = 20.

Из последнего уравнения z = −2 ; подставив это значение во второе уравнение, находим y = 0 ; подставляя найденные значения в первое уравнение, получим x = 3 .

x = 3,

Итак, решение системы имеет вид: y = 0,

z = −2.

б) по формулам Крамера	∆ j
Запишем формулы Крамера: x j =		, j =1,2,..., n , где	∆ - главный

	∆

определитель системы, ∆ j - побочный определитель системы, получающий из определителя ∆ заменой j -ого столбца на столбец свободных членов системы.

Найдем главный определитель системы ∆ , который состоит из коэффициентов при неизвестных. Вычислим его по правилу треугольников.

	2	3	−1	= 2 (− 2) 2 +1 (−1) (−1)+ 3 1 1 −(−1) (− 2) 1 − 2 1 (−1)−
	2	3	−1
∆ =	1	− 2	1
	1	−1	2

−1 3 2 = −10.

Так как ∆ ≠ 0 , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Запишем и вычислим побочные определители системы:


	8	3	−1				2	8		3	−1
	8	3	−1				2	8		3	−1
∆1 =	1	− 2	1			=		9		1	0	=
	−1	−1	2					15		5	0
(разложим ∆1 по элементам третьего столбца)
= (−1) (−1)1+3				9	1		= −5		9	1	= −5 (9 − 3)= −30
				9	1				9	1
				15 5					3 1

(определитель вычислен по свойствам 8, 4 §2 гл.2 и теореме 2.2.1).

∆2 =	2	8	−1	=	2	6	− 3	=1 (−1)2 +1	6	− 3	= 0


	1	1	1		1	0	0
	1	−1	2		1	− 2	1		− 2	1
	1	−1	2		1	− 2	1
(−	1)

(определитель второго порядка имеет две пропорциональные строки).

	2	3	8		2	5	10	=1 (−1)3+1	5	10		1	2	= 5 (2 + 2)= 20.
	2	3	8		2	5	10
∆3 =	1	− 2	1	=	1	−1	2				= 5
	1	−1	−1		1	0	0		−1	2		−1	2
	1	−1	−1		1	0	0

Получим решение системы:

x = ∆∆1 = −−1030 = 3,

y = ∆∆2 = −010 = 0,

z = ∆∆3 = −20 = −2.

в) с помощью обратной матрицы

Рассмотрим основную матрицу A из коэффициентов при неизвестных системы, матрицу X из неизвестных и матрицу B из свободных членов:

2 3			−1		x	8
	1	− 2	1			1
A =				, X	= y , B =		.
	1	−1	2
					z	−1

	Запишем систему в матричном виде:							A X = B X = A−1 B.
	Найдем			матрицу		A−1 ,	обратную	к	матрице A , по формуле
	1	A11		A21	A31
A−1 =	1		A	A	A	, где	A - алгебраическое дополнение элемента
A−1 =			A	A	A	, где	A - алгебраическое дополнение элемента
	det A		12	22	32		ij
	det A		A	A	A
			13	23	33
aij матрицы A .
	Так как det A = ∆ = −10 ≠ 0 , то матрица								A - невырожденная и для нее

существует A−1 .

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A по формуле:

Aij = (−1)i+ j M ij . Имеем:

= (−1)1+1

−2

= −3,

= (−1)2+1

3 −1

= −5,

= (−1)3+1

3 −1

=1,

−1

−1 2

−2 1

A	= (−1)1+2		1 1		= −1,				A	= (−1)2+2			2 −1			= 5,	A	= (−1)3+2		2 −1
A	= (−1)1+2		1 1		= −1,				A	= (−1)2+2			2 −1			= 5,	A	= (−1)3+2		2 −1
12			1	2					22				1	2			32			1	1
			1	2									1	2						1	1
A	= (−1)1+3	1 −2						=1,	A = (−1)2+3			2 3			= 5,		A = (−1)3+3		2 3
A	= (−1)1+3	1 −2						=1,	A = (−1)2+3			2 3			= 5,		A = (−1)3+3		2 3
13		1		−1					23			1		−1			33		1		−2
		1		−1								1		−1					1		−2
	Тогда обратная матрица имеет вид:
						−3			−5	1
	A−1 = −			1				−1	5	−3	.
	A−1 = −							−1	5	−3	.
				10
				10			1		5	−7
							1		5	−7

Можно сделать проверку:							A A−1 = A−1 A = E (самостоятельно).
Находим решение данной системы уравнений:
		x		1		−3 −5				1	8
			= A−1 B = −	1
X = y							−1	5		−3		1		=
X = y				10			−1	5		−3		1		=
				10			1	5		−7
		z					1	5		−7		−1
	1		−3 8 + (−5) 1 +1 (−1)						1		−30				3	x =3,
	1								1
= −			−1 8 + 5 1 + (−		3) (−1)			= −			0		=		0	y = 0,
= −	10		−1 8 + 5 1 + (−		3) (−1)			= −	10		0		=		0	y = 0,
	10		1 8 + 5 1 + (−						10		20				− 2
			1 8 + 5 1 + (−		7) (−1)						20				− 2	z = −2.

Ответ:

=−3,

=−7.

(3;0;−2).

Задание 5

Доказать, что векторы a,b , c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе, если a = {1;0;1}, b = {1;−2;0}, c = {0;3;1}, d = {2;7;5}.

Решение

Докажем, что векторы a,b , c образуют базис. Вычислим определитель, составленный из координат этих векторов.

1	0	1	= −2 +3 =1 ≠ 0 векторы a,		, c - линейно независимы, значит, они
1	− 2	0
1	− 2	0		b
0	3	1

образуют базис.

Найдем координаты вектора d в базисе {a,b , c}. Разложим вектор d по векторам базиса {a,b , c}, получим: d = xa + yb + zc (*).

Найдем коэффициенты разложения, то есть x, y, z , а они, в свою очередь, будут являться координатами вектора d в этом базисе (по

определению).
					Для этого разложим все векторы по векторам ортонормированного
базиса {i							,					}: d
									, k
								j	, k					= 2i				+7 j +5k ,					a = i + k ,							b = i −2 j,							c = 3 j + k.
					Далее, подставим все разложения в равенство (*), имеем:
											= x(i				)+ y(i				−2		)+ z(3							)	или
													+ k														+ k
2i	+7 j +5k												+ k							j						j	+ k
	+ 7									= (x + y)i							+(− 2y +3z)														.
					+5k																				+(x + z)k
2i				j	+5k																			j	+(x + z)k
																																		,			и получим систему трех
																																				, k
					Соберем коэффициенты при векторах i																														j	, k
уравнений с тремя неизвестными:
x + y = 2,
			+3z = 7,
−2 y			+3z = 7,
			=5.
x + z			=5.
					Решим систему методом Гаусса.
			1 1 0													2 (−1)						1 1 0											2				1 1 0			2
			1 1 0													2 (−1)						1 1 0											2				1 1 0			2
				0 −2 3											7								0 −2 3									7						0	−1 1	3	(−2)
A* =				0 −2 3											7								0 −2 3									7						0	−1 1	3	(−2)
			1 0 1												5								0 −1 1									3						0	−2 3	7


		1	1								0			2
		0				−1					1			3
		0				−1					1			3
		0	0								1			1
		0	0								1			1	.

Таким образом, r(A)= r(A* )= 3, следовательно, система совместна и n = 3 = r , значит, она имеет единственное решение.

Полученной расширенной матрице соответствует система уравнений:

x +−

d =

y = 2,	x = 4,

y + z = 3, y = −2,
z =1,
z =1,	z =1.

Подставим x, y, z в равенство (*), получим:

4a − 2b + c d = {4;−2;1} в базисе {a,b, c}.

Ответ: d ={4;−2;1}{a, b, c}.

Задание 6


Коллинеарны ли векторы c1 и c2 ,					построенные по векторам a и			b	,
если a = {2;0;−5},		= {1;−3;4}, c1 = 2a −5		,	c2 = 3		−5a.
если a = {2;0;−5},	b	= {1;−3;4}, c1 = 2a −5	b	,	c2 = 3	b	−5a.

Решение

Найдем координаты векторов c1 и c2 , используя свойства координат

векторов (см. §3 гл.3).

c1 = 2a −5b = 2 {2;0;−5}−5 {1;−3;4}={4;0;−10}+{−5;15;−20}={−1;15;−30}.

c2 = 3b −5a = 3 {1;−3;4}−5 {2;0;−5}= {3;−9;12}+{−10;0;25}= {−7;−9;37}. То есть c1 = {−1;15;−30}и c2 = {−7;−9;37}.

Далее воспользуемся условием коллинеарности векторов в координатной форме, а именно: если координаты векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

Так как	−1	≠	15	≠	−30	или	1	≠ −	5	≠ −	30	, то координаты
	−7		−9		37		7		3		37

непропорциональны, следовательно, векторы c1 и c2 неколлинеарны.

Ответ: c1 c2 .

Задание 7

Найти косинус угла между векторами AB и AC , если

A(− 2;4;−6), B(0;2;−4), C(−6;8;−10).

Решение

Косинус угла ϕ между векторами AB и AC вычисляется по формуле:

cosϕ = cos(AB, AC)= AB AC ,

AB AC

где AB AC - скалярное произведение векторов и AB , AC - длины векторов

AB и AC .

Найдем координаты векторов AB и AC :

AB = {0 −(− 2);2 − 4;−4 −(−6)}= {2;−2;2},

AC = {− 6 −(− 2);8 − 4;−10 −(− 6)}= {− 4;4;−4}.

Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений соответствующих координат, то есть

AB AC = 2 (− 4)+ (− 2) 4 + 2 (− 4)= −24.

Найдем длины векторов как квадратный корень из суммы квадратов их координат, то есть

AB = 22 + (− 2)2 + 22 = 12 = 2 3; AC = (− 4)2 + 42 + (− 4)2 = 48 = 4 3.

Тогда косинус угла ϕ равен

cosϕ =

− 24

= −

24 = −1.

3 4

Ответ: cosϕ = −1.

Задание 8

построенного на векторах a и

Вычислить площадь параллелограмма,

, если a = 2 p +3q,

= p − 2q;

= 2,

=1,

(p, q )=

2π

Решение Воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного

произведения двух векторов (см. свойство 5 §6 гл.3), а именно: площадь

параллелограмма,

построенного на

]

векторах a

, равна

модулю их

векторного произведения: Sпар =

[a,

Применим свойства 3, 4, 1 §6 гл.3 и вычислим векторное произведение

векторов a и

[a,

[2 p +3q, p −2q ]= 2[p, p]−4[p, q ]+3[q, p]−6[q, q ]=

−4[p, q ]−3[p, q ]−

−

= −7[p, q ].

Вычислим модуль векторного произведения векторов a и

, используя

первое

условие

из

определения

векторного

произведения,

именно:

[a,

]

sin(a,

Тогда,

Sпар =

[a,

]

−7

[p, q ]

= 7

[p, q ]

= 7

sin(p, q )= 7 2 1 sin 2π =14

3 =

= 7 3.

Ответ: Sпар = 7 3(кв.ед.).

Задание 9

Компланарны ли векторы a = {−3;3;3}, b = {− 4;7;6} и c{3;0;−1}?

Решение

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]