Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Если

векторы

заданы

своими

координатами

a = {a1; a2 ; a3},

= {b1;b2 ;b3} и

c = {c1 , c2 , c3

},

то условие

компланарности

b

векторов a,

, c имеет вид (см.§7 гл.3):

b

a,

, c компланарны

(a,

, c )= 0

a1

a2

a3

b1

b2

b3

= 0.

b

b

c1

c2

c3

(a,

, c )

−3

3

3

6

3

3

= −1 (−1)3+3

146

73

= −(42 −42)= 0,

=

−4 7

6

=

14 7 6

b

3

0

−1

0

0

−1

3

значит, векторы a,

и c компланарны.

b

Ответ: a,

, c компланарны.

b

Задание 10

A2 , A3 , A4 и его

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1,

высоту,

опущенную

из

вершины

A4

на грань

A1 A2 A3 , если

A1 (1;3;0), A2 (4;−1;2), A3 (3;0;1),

A4 (− 4;3;5).

(

)=

3

−4

2

,

,

2

−3

1

= −45 +20 −30 +40 = −15.

A1A2

A1A3

A1A4

−5

0

5

Vтет =

1

−15

=

15

=

5

(куб. ед.).

6

6

2

С другой стороны,

V

тет

=

1

S

∆A A A

A H

A H =

3Vтет

.

3

4

4

S∆A A A

1

2

3

1

2

3

[

,

]=

− 4

2

;

2

3

;

3

− 4

= {2;1;−1}

A A

A A

1 2

1 3

−3

1

1

2

2

−3

S∆A A A

=

1

6 =

6 .

1

2

3

2

2

Находим высоту A4 H :

A H = 3

5

= 15 =

5 6

2

(ед.)

4

6

6

2

2

1

(1 − 3i)1 2 (1 + i)1 2 ;

3 1

1 2

1 2

6

−

(−1 −i) ;

( 3 −i)1 3 (1 −i)1 3;

2

2

i

2

3

(1+i)5 (1−i)8 ( 3 +i)10 ;

7 3 i (i − 3)1 3 ;

3

1

1 3

1 3

1 3

8

−

(−1 −i) ;

4

(1 −i)1 3 ;

2

2

i

( 3 +i)

41

3

1

17

9

2 −

2 i

(i −1)41;

13

5

+

(−i) ;

2

2

−

2

2

i

10 (3i)1 3 (2 + 2 3i)1 3 .

1.2 Решить уравнение:

1

z2 −(3 − 2i)z +(5 −5i)=0;

6 z2 −(2 + 2i)z +(3 − 2i)=0;

2

z2 −(2 + 2i)z +(5 +14i)=0;

7 z2 +(2 −3i)z −(5 +5i)=0;

3

z2 + (1 + 2i)z + 2i =0;

8 z2 −(4 +i)z + (5 −i)=0;

4

z2 −(2 +i)z + (−1 + 7i)=0;

9 z2 −(1 + 2i)z + (1 −5i) =0;

5

z2 −(3 −i)z + (2 +3i)=0;

10 z2 + (2 +i)z + (−1 + 7i)=0.

Задание 2

Даны две матрицы A и B . Найти: A B и B A.

2

−1 −3

2

−1 −2

1

А=

8

−7 −6

3

−5

4

,

В =

;

−3

4

2

1 2

1

3

5 −6

2

8

−

5

2

A =

2

4 3

−3

−1

0

,

B =

;

−3

1 1

4

5

−

3

2

1 −1

3 6

0

3

А=

2

−1 1

2

,

В =

4 −6 ;

1

0 1

1

−2

3

−6

1 11

3

0 1

4

А=

9

2 5

0 2 7

,

В =

;

0

3 7

1

−3 2

3

2

0

− 2

4

−1

1

5

7

1

−1 2 3

;

9

0

2

− 2

3

;

4

5

1

0

3

4

1

2

−1 2 3 −3

4

1

1 − 2

0

4

1

1

1

8

2

−3

8

− 4 2

1

3

;

10

3

− 2 0

4

.

0

1

2

− 2

5

−3 7

−1

1

3

4

−3

3

2

0

2

Задание 4

Исследовать систему на совместность и решить ее:

а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера;

в) с помощью обратной матрицы.

2

х + 3у −3z =9

4х + у −3z = 9

1

x − y + 2z =3 ;

6

x + y − z = −2 ;

3x + 5y − 4z =15

8x +3y −6z =12

вектора

d

в этом базисе.

1

={0, 1, 2},

={1, 0, 1},

={−1, 2, 4},

={−2, 4, 7};

a

b

c

d

2

={1, 3, 0},

={2, −1, 1},

={0, −1, 2},

={6, 12, −1};

a

b

c

d

3

={4, 1, 1},

={2, 0, −3},

={−1, 2, 1},

={−9, 5, 5};

a

b

c

d

4

={5, 1, 0},

={2, −1, 3},

={1, 0, −1},

={13, 2, 7};

a

b

c

d

5

={−1, 2, 1},

={2, 0, 3},

={1, 1, −1},

={−1, 7, −4};

a

b

c

d

6

={1, 1, 4},

={0, −3, 2},

={2, 1, −1},

={6, 5, −14};

a

b

c

d

7

={1, −2, 0},

={−1, 1, 3},

={1, 0, 4},

={6, −1, 7};

a

b

c

d

8

={1, 1, 0},

={0, 1, −2},

={1, 0, 3},

={2, −1, 11};

a

b

c

d

9

={2, 0, 1},

={1, 1, 0},

={4, 1, 2},

={8, 0, 5};

a

b

c

d

10

={0, 1, 3},

={1, 2, −1},

={2, 0, −1},

={3, 1, 8}.

a

b

c

d

Коллинеарны ли векторы

Задание 6

и

, построенные по векторам

и

?

с1

с2

а

b

1

={1, − 2, 3},

={3, 0, −1},

= 2

+ 4

,

= 3

−

;

a

b

c1

a

b

c2

b

a

2

={1, −2, 5},

={3, −1, 0},

= 4

−2

,

=

−2

;

a

b

c1

a

b

c2

b

a

3

={−1, 4, 2},

={3, −2, 6},

= 2

−

,

= 3

−6

;

a

b

c1

a

b

c2

b

a

4

={0, 3, −2},

={1, −2, 1},

= 5

−2

,

= 3