Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Теорема 2.4.1. Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы. (То есть элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.)

Эту теорему удобно использовать при вычислении ранга.

Итак, с помощью элементарных преобразований матрицу А(m×n) приводят к ступенчатому виду:

высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки), то по определению ранг матрицы В равен r (то есть числу ненулевых строк). Так как матрица В получена из матрицы А путём элементарных преобразований, то по теореме 2.4.1 r( A) = r .

Отсюда следует, что r( A) = 2 .

§5 Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

23

где x1, x2 ,..., xn - неизвестные, a11,a12 ,...,amn - коэффициенты при неизвестных, b1,b2 ,...,bm - свободные члены.

Определение. Решением системы (1.12) называется упорядоченный набор действительных чисел (α1,α2 ,...,αn ) таких, что при подстановке их

вместо неизвестных x1, x2 ,..., xn все уравнения системы (1.12) обращаются в

верные равенства.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределённой, если она имеет бесчисленное множество решений. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение. Решить систему – это значит, выяснить совместна она или нет, и если да, то найти все её решения.

Метод Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (1.13). Обозначим его ∆:

и назовём его главным определителем системы (1.13).

Предположим, что ∆ ≠ 0 , и пусть система совместна и имеет следующее решение: (α1,α2 ,...,αn ).

Обозначим через ∆ j определитель, полученный из определителя ∆ заменой j -ого столбца столбцом из свободных членов системы (1.13).

∆ j называется побочным определителем системы (1.13), j =1,2,..., n .

Можно доказать, что если главный определитель системы (1.13) отличен от нуля, то система (1.13) имеет единственное решение, а именно:

24

Таким образом, по формулам Крамера можно решить систему, у которой число уравнений и число неизвестных совпадают, и главный определитель не равен нулю.

Если ∆ = 0 , то систему нужно решать другим методом (методом Гаусса).

Пример 23. Решить в общем виде методом Крамера систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Пусть ∆ ≠ 0 , тогда система имеет единственное решение.

§6 Матричная запись системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерий совместности системы линейных уравнений

Рассмотрим систему:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и назовем ее основной матрицей системы (1.14); матрицу из неизвестных и матрицу из свободных членов:

25

Пусть det A ≠ 0.

Имеем A(n×n), X (n×1), B(n×1), поэтому можно найти произведение:

Элементами этой матрицы являются левые части уравнений системы (1.14), поэтому на основании определения равенства матриц, имеем

Уравнение (1.15) называется матричным уравнением.

Таким образом, система (1.14) записана в виде одного матричного уравнения (1.15). Эта запись системы называется матричной.

Воспользуемся обратной матрицей к матрице А для решения матричного уравнения (1.15) (она существует, так как det A ≠ 0 ). Умножив обе

части равенства (1.15) слева на матрицу А−1 , получим

А−1 А X = A−1 B .

Так как A−1 A = E, E X = X , то

X = A−1 B .

Таким образом, можно найти решение системы (1.14) с помощью обратной матрицы.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Этот метод применим к любой системе линейных уравнений. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

26

Составим А - основную матрицу системы и матрицу А* , которая получается из матрицы А приписыванием столбца из свободных членов, и

назовем ее расширенной матрицей системы.

Суть этого метода состоит в том, что с помощью элементарных преобразований над строками, приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Далее этой матрице будет соответствовать система уравнений ступенчатого вида, из которого решение усматривается непосредственно.

Теорема Кронекера – Капелли. (Критерий совместности системы линейных уравнений). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной

матрицы системы, то есть r(A)= r(A* ).

Следствия из теоремы Кронекера – Капелли:

1.Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных (r = n), то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

2.Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных (r < n), то система имеет бесчисленное множество решений (то есть она

неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные n − r неизвестных считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, будем получать бесчисленное множество решений, каждое из которых будем называть частным решением системы.

27

Вопросы для самопроверки

1Что называется матрицей?

2Напишите единичную матрицу третьего порядка. Приведите пример симметрической матрицы того же порядка.

3Чем определяется тип матрицы?

4Как определяются основные действия над матрицами?

5Если матрицы А и B можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать?

6Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

7Дайте определения минора и алгебраического дополнения элемента определителя.

8Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы?

9Как изменится определитель третьего порядка, если его строки переставить следующим образом: первую– на место второй, вторую– на место третьей, третью – на место первой?

10Запишите формулу для нахождения обратной матрицы к невырожденной матрице 3-го порядка.

11Как проверить правильность нахождения обратной матрицы?

12Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля? равным

2,5?

13Дайте определение решения системы линейных уравнений.

14Какую систему можно решать методом Крамера? Запишите формулы Крамера.

15Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

16Опишите матричный метод решения системы линейных уравнений.

17Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

18Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять ровно из одного решения? из двух решений? из 17-ти решений?

Глава 3 Векторная алгебра

§1 Понятие вектора. Основные понятия. Линейные операции над векторами и их свойства

Определение. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, одна из граничных точек которого принята за начало, а другая – за конец).

28

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается АВ или одной буквой a,b и т.д.

Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется

нулевым вектором (или нуль - вектором).

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( || - значок коллинеарности).

Рисунок 3

На рисунке 3 AB ||CD , AB || MN , CD || MN , AB AM .

Среди коллинеарных векторов выделяют сонаправленные и противоположно направленные.

Определение. Коллинеарные векторы AB и CD называются сонаправленными, если лучи [AB) и [CD) сонаправлены или один из них содержит в себе другой. В противном случае векторы называются

противоположно направленными. Если AB и CD сонаправлены, то пишут

AB ↑↑CD . Если они противоположно направлены, то пишут AB ↑↓CD .

На рисунке 3 AB ↑↑ MN , AB ↑↓CD , CD ↑↓ MN .

Принято нуль – вектор считать коллинеарным с любым другим. Каждый вектор характеризуется своим направлением и длиной (модулем

или абсолютной величиной).

Определение. Длиной вектора AB называется длина отрезка AB и обозначается AB .

Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется

единичным вектором и обозначается e .

Принято длину нулевого вектора считать равной нулю.

Определение. Если векторы имеют одинаковую длину и противоположно направлены, то они называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору a , обозначается (−a ).

Определение. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Все нулевые векторы принято считать равными.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами

Определение. Суммой двух векторов a и b называется вектор a + b , который направлен из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b отложен из конца вектора a .

29

Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рисунках 4 и 5 соответственно.

конечного числа векторов будет вектор, направленный из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего (правило «многоугольника»).

Свойства операции сложения векторов

1)a + b =b + a (коммутативность),

2)(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность),

3)a + o = a ,

4)a + (−a) = o .

Определение. Разностью двух векторов a и b называется такой вектор x = a −b , который в сумме с вектором b дает вектор a , т.е.

a −b = x , если b + x = a .

Чтобы построить разность a −b двух векторов a и b , нужно отложить их из одной точки и вектор разности будет направлен из конца второго вектора (вычитаемого) в конец первого вектора (уменьшаемого) (рис. 6).

Отметим, что a −b = a + (−b ), то есть разность a −b равна сумме двух векторов a и (−b ), где (−b )- вектор, противоположный вектору b (рис. 7).

Определение. Произведением a ≠ 0 на число α ≠ 0 называется вектор

b=αa , удовлетворяющий условиям:

1.b = α a ,

2.b ↑↑ a , если α > 0 , b ↑↓ a , если α < 0 .

30

Очевидно, что b = 0 , если α = 0 или a = 0 .

Из определения следует, что в результате умножения вектора на действительное число получается вектор, коллинеарный с данным, то есть

αa ║a .

Свойства умножения вектора на число

1. α(βa )= (αβ)a (α, β R ), 2. 1 a = a,

3. (α + β)a =αa + βa (α, β R ), 4. α(a +b )=αa +αb (α R ).

Теорема 3.1.1. Для любых двух коллинеарных векторов a и b , где

a ≠ 0 , существует единственное число α такое, что b =αa . Из теоремы следует, что

b =αa - необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов a и b .

§2 Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства линейно зависимой системы векторов

Пусть даны векторы a1, a2 ,..., an и действительные числа α1,α2 ,...,αn . Рассмотрим вектор a =α1a1 +α2a2 +... +αnan , который называется линейной комбинацией векторов a1, a2 ,..., an ; действительные числа α1,α2 ,...,αn

называются коэффициентами линейной комбинации.

Очевидно, что, выбирая другую совокупность чисел β1, β2 ,..., βn , получим другую линейную комбинацию тех же самых векторов:

b = β1a1 + β2a2 +... + βnan .

То есть можно построить бесчисленное множество линейных комбинаций одной и той же системы векторов.

Определение. Система векторов a1, a2 ,..., an называется линейно зависимой, если существуют действительные числа α1,α2 ,...,αn , из которых

α1 =α2 =... =αn = 0 , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимой системы векторов

1 Если один из векторов системы нуль-вектор, то вся система векторов линейно зависима.

31

2 Если один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов, то вся система векторов линейно зависима (справедливо и обратное утверждение).

3 Если часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно зависима.

4 Система векторов, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

5 Система векторов, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Замечание. Любые два неколлинеарных между собой вектора образуют линейно независимую систему векторов.

6 Система векторов, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.

7 Любые четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Вывод: система векторов, содержащая более чем три вектора в трехмерном пространстве, всегда линейно зависима.

§3 Базис системы векторов. Координаты вектора относительно базиса. Ортонормированный базис

Пусть задана некоторая система векторов S . Число векторов в системе может быть конечным или бесконечным.

Определение. Подсистема S′ системы S называется максимально линейно независимой подсистемой, если она удовлетворяет двум условиям:

1.S′ - линейно независима;

2.При добавлении к системе S′ любого вектора системы S она становится линейно зависимой.

Определение. Базисом системы векторов S называется любая максимально линейно независимая подсистема системы S .

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке. Обозначается {e1, e2}.

Базисом в пространстве назовем три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Обозначается {e1, e2 , e3}.

В трехмерном пространстве существует бесконечное множество базисов.

Рассмотрим в трехмерном пространстве некоторый базис {e1, e2 , e3} и любой вектор a . Если вектор a представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2 , e3 , то есть a = xe1 + ye2 + ze3 , то говорят, что вектор a разложен по векторам базиса, а действительные числа x, y, z называются

коэффициентами разложения.

32