Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Определение. Координатами вектора a в базисе {e1, e2 , e3} называются

координатами в некотором базисе, равны сумме (разности) соответствующих

a± b ={a1 ± b1, a2 ± b2 , a3 ± b3}{e1 , e2 , e3 }.

2.Координаты произведения вектора на действительное число равны произведению этого числа на соответствующие координаты вектора в

некотором базисе, а именно, если a{a1, a2 , a3}{e1 , e2 , e3 }, то

b=αa ={αa1, αa2 , αa3}{e1 , e2 , e3 }.

3.Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами в некотором базисе.

Пусть относительно базиса {e1, e2 , e3} даны векторы a{a1, a2 , a3}, b{b1, b2 , b3} и a ║b , тогда по необходимому и достаточному условию b =αa

или в координатной форме:

b1 =αa1

b2 =αa2 илиb3 =αa3

a1 = a2 = a3 - условие коллинеарности двух векторов в координатной b1 b2 b3 форме.

Рассмотрим в пространстве два несонаправленных вектора a, b и отложим их от произвольной точки пространства (a = OA, b = OB)(рис. 8):

Рисунок 8

33

Определение. Углом между векторами a и b , если особо не оговорено, будем называть угол AOB , величина которого не превышает π (рис. 8). Обозначается: (a; b )= AOB .

Принято угол между сонаправленными векторами считать равным нулю, тогда для любых a и b :

0 ≤ (a; b )≤π .

Определение. Два вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90o . Обозначение: a b .

Принято нулевой вектор считать ортогональным с любым другим вектором.

Определение. Базис {e1, e2 , e3} трехмерного пространства называется ортонормированным, если выполняются два условия:

1.Все векторы этого базиса единичные,

2.Векторы базиса попарно ортогональны, то есть e1 e2 , e2 e3, e1 e3 .

Обозначается {i ; j; k }.

Пусть относительно ортонормированного базиса {i ; j; k } в пространстве произвольный вектор a имеет координаты {a1; a2 ; a3}, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 3.3.1. Длина вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, то есть

a = a12 +a22 +a32 .

Рассмотренные выше понятия и теорема будут справедливы и на плоскости.

§4 Аффинная и прямоугольная декартовы системы координат. Простейшие задачи

Пусть в пространстве даны точка O и базис {e1, e2 , e3}.

Определение. Совокупность точки O и базиса {e1, e2 , e3} называется

аффинной системой координат в пространстве (или аффинным репером), и

обозначается R(O; e1, e2 ,e3 ) или Oxyz (рис. 9).

Точка O называется началом координат. Ось, проходящая через точку O и имеющая направление вектора e1 , называется осью Ox или осью абсцисс.

34

пространстве (или ортонормированным репером). Обозначается R (O; i , j, k )

(рис. 11).

Рисунок 11 Очевидно, что прямоугольная декартова система координат является

частным случаем аффинной системы координат, поэтому рассмотренные выше

36

определения и простейшие задачи справедливы и в прямоугольной декартовой системе координат.

Дополнительно решается задача нахождения расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

3.Нахождение расстояния между двумя точками.

Пусть относительно R (O; i , j, k ) заданы точки A(x1; y1; z1 )R и B(x2; y2; z2 )R . Найдем расстояние от точки A до точки B .

ρ(A; B)= (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .

Замечание. Обозначим через α, β, γ углы между вектором a{x; y; z}{i , j, k } и осями координат прямоугольной декартовой системы координат, тогда

cosα = ax , cos β = ay , cosγ = az ;

cosα, cos β, cosγ - называются направляющими косинусами вектора a .

Аналогично определяются все понятия и формулы этого параграфа на плоскости.

§5 Скалярное произведение двух векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, обозначаемое a b и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть

a b = a b cos(a, b ).

Заметим, что

a b > 0 , если cos(a, b )> 0, то есть 0 ≤ (a, b )<π 2 ;

a b < 0 , если cos(a, b )< 0 , то есть π 2 < (a, b )≤π ;

a b = 0 , если либо a = 0 , либо b = 0 , либо cos(a, b )= 0, то есть a b .

Таким образом, скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны, то есть

a ≠ 0, b ≠ 0 : a b = 0 a b .

Теорема 3.5.1. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений соответствующих координат, а именно:

37

если a ={a1; a2; a3}{i , j, k } и b ={b1; b2; b3}{i , j, k },

то a b =a1b1 +a2b2 +a3b3 .

Свойства скалярного произведения векторов

1.a b =b a (коммутативность);

2.λa b =λ(a b ) (λ R);

3. (a +b ) c = a c +b c (дистрибутивность относительно сложения векторов).

4. Скалярный квадрат вектора есть неотрицательное число, причем, скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой, то есть

a a = a 2 ≥0 и a2 =0 a =0 .

Из свойства 4 следует, что

a 2 = a a cos0 = a 2 a 2 = a 2 или a = a 2 .

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Найдем угол ϕ между ненулевыми векторами a и b .

Пусть a ={a1; a2; a3}{i , j, k } и b ={b1; b2; b3}{i , j, k }.

Так как a b = a b cosϕ, то

векторов на меньший угол виден против часовой стрелки. В противном случае репер называется левым (рис. 12).

Рисунок 12

38

Аналогично определяется правый (левый) ортонормированный репер. Заметим, что если векторы e1, e2 , e3 образуют правый (левый) репер, то,

поменяв местами два вектора, получим левый (правый) репер.

При круговой перестановке векторов получаем реперы одинаковой ориентации, то есть реперы векторов e1, e2 , e3 ; e3 , e1, e2 ; e2 , e3 , e1 имеют

одинаковую ориентацию.

Рисунок 13

Определение. Векторным произведением двух коллинеарных векторов

называется нуль-вектор.

Свойства векторного произведения векторов

1. Векторное произведение двух неколлинеарных векторов антикоммутативно, то есть

[a,b ]= −[b , a].

2. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения, то есть

[λa,b ]= λ[a,b ] (λ R) или [a,αb ]=α[a,b ] (α R).

3. Векторное произведение векторов дистрибутивно относительно операции сложения векторов, то есть

[a +b , c]=[a, c]+[b ,c].

4. Векторный квадрат вектора равен нуль-вектору, то есть

[a, a ]= 0 .

39

5. Это свойство выражает геометрический смысл модуля векторного произведения двух неколлинеарных векторов.

Рассмотрим два неколлинеарных вектора a, b и отложим их от произвольной точки O (рис. 14).

Рисунок 14 Построим параллелограмм на этих векторах как на сторонах. Найдем

площадь параллелограмма OACB :

SOACB =OA OB sin AOB = a b sin(a, b )= [a, b ] .

Таким образом, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, то есть

Sпар = [a, b ] .

§7 Смешанное произведение трех векторов и его свойства

Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b, c

называется число, обозначаемое (a, b, c ) и равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и c , то есть

(a, b, c )= a [b, c].

Теорема 3.7.1. Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Пусть относительно ортонормированного базиса {i , j, k } векторы a, b, c имеют координаты a ={a1; a2; a3}, b ={b1; b2; b3}, c ={c1; c2; c3}.

40

Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, равно определителю третьего порядка, составленному из их координат, то есть

Тогда условие компланарности трех векторов в координатной форме имеет вид:

a1 a2 a3

a, b, c компланарны b1 b2 b3 = 0 . c1 c2 c3

Свойства смешанного произведения векторов

1. Смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке векторов-сомножителей, то есть

(a, b, c )= (c, a, b )= (b, c, a ).

2. Смешанное произведение меняет знак на противоположный, если поменять местами любые два сомножителя, то есть

(a, b, c )= −(b, a, c ).

3. Числовой множитель можно выносить за знак смешанного произведения, то есть

(λa, b, c )=λ(a, b, c ) (λ R).

4. Смешанное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов, то есть

(a +b , c, d )= (a, c, d )+ (b , c, d ).

5. Свойство выражает геометрический смысл модуля смешанного произведения трех некомпланарных векторов, а именно: модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, как на ребрах, то есть

(a, b , c ) =Vпар−да .

41

Таким образом,

переставлять знаки скалярного и векторного произведения местами.

Вопросы для самопроверки

1Что называется вектором?

2Какие векторы называются коллинеарными?

3Какие два вектора называются равными?

4Назовите правила сложения векторов.

5Является ли вектор a = a1 − a2 линейной комбинацией системы векторов a1, a2 , a3 ?

6Дайте определение линейно зависимой системы векторов.

7Верно ли утверждение: любые пять векторов в трехмерном пространстве линейно зависимы?

8Что является базисом на плоскости; в пространстве?

9Что называется координатами вектора в базисе {e1, e2 , e3}?

10Как сложить, вычесть два вектора, заданных своими координатами в некотором базисе? Как умножить вектор на число?

11Напишите необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Как оно записывается в координатной форме?

12Какой базис в пространстве называется ортонормированным?

13Дайте определение аффинной системы координат, прямоугольной декартовой системы координат.

14Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

15Запишите формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в отношении λ .

16Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам в ортонормированном базисе?

17Напишите формулу для определения угла между двумя векторами. Может ли угол между векторами равняться: 0o; 45o; 180o; 270o?

18Дайте определение векторного произведения двух неколлинеарных векторов. Перечислите основные свойства векторного произведения.

19Чему равно смешанное произведение трех векторов, если известны их координаты в ортонормированном базисе?

20Сформулируйте условие компланарности трех векторов.

21Как найти объем тетраэдра, построенного на трех векторах как на ребрах?

42