Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексный анализ в примерах и задачах
.pdf
11
Обратно, взяв любую точку на сфере и проведя
прямую через точки и пересечем комплексную плоскость в
единственной точке .
Таким образом между комплексной плоскостью и сферой
устанавливается в.о.с. (взаимно-однозначное соответствие).
Легко видеть, что если последовательность к.ч. (1.13) стремится
к , то соответствующие им точки на сфере будут неограниченно
приближаться к полюсу . Поэтому полюс считают изображением
(т.е. образом) бесконечно удаленной точки . Комплексная
плоскость с присоединённой к ней точкой называется рас-
ширенной комплексной плоскостью.
Между точками
),( yx
расширенной комплексной плоскости и
точками
),,(
сферы S радиуса
2
1
с центром в точке
2
1
;0;0
устанав-
ливается взаимно-однозначное соответствие с помощью формул:
1
x
,
1
y
, (1.16)
22
1 yxx
,
22
1yxy
,
22
22
1 yxyx
. (1.17)
Это соответствие называют стереографической проекцией, а сферу
S
называют сферой Римана.
Пример 1.5. Доказать формулы стереографической проекции
(1.16), (1.17).
Решение. Рассмотрим в пространстве
сферу S радиуса
2
1
с
центром в точке
2
1
;0;0
. Выберем на сфере любую точку и
проведем прямую через точки и . Эта прямая пересечет комплексную плоскость в единственной точке , т.е.
в некоторой точке .
12
Уравнение сферы с центром в точке
радиуса
в про-
странстве
имеет вид:
откуда
Уравнение прямой в пространстве
, проходящей через точки
и имеет вид:
Из (1.19) получаем: , откуда
1
x
,
1
y
.
Итак, формулы (1.16) доказаны.
Осталось доказать формулы (1.17). Используя формулы (1.18) и
(1.16), имеем
Умножив обе части на , получим
или
или
откуда
13
Из (1.21), имеем
Используя формулы (1.16), получаем
Итак, с учетом (1.21), формулы (1.17) доказаны.
Пример 1.6. Найти на сфере Римана образ точки
iz 1
.
Решение. Здесь
1 yx
. Подставляя в (1.16), имеем
3
1
,
3
1
и
3
2
. Значит, точка
3
2
;
3
1
;
3
1
есть искомый образ.
Задача 1.4. Найти на сфере Римана образы точек:
1).
1z
; 2).
1z
; 3).
iz
;
4).
iz
; 5).
2
1 iz
; 6).
2
1 iz
.
Задача 1.5. Найти на комплексной плоскости образы точек
сферы Римана:
1.
2
1
;0;
2
1
; 2.
2
1
;0;
2
1
; 3.
2
1
;
2
1
;0
;
4.
2
1
;
2
1
;0
; 5.
3
1
;
3
1
;
3
1
; 6.
3
1
;
3
1
;
3
1
.
14
1.4. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Необходимым и достаточным условием сходимости последова-
тельности к.ч.
}{nz
, где
nnn
yixz
, является сходимость соответству-
ющих последовательностей вещественных чисел
}{nx
и
}{ny
. При этом
n
n
n
n
n
n
yimiximzim
. (1.22)
Пример 1.7. Найти предел последовательности
}{nz
, где
1).
1
32
13
12
22
2
n
n
i
n
n
z
n
; 2).
1
!sin
!)!1(
!
2
n
nn
i
nn
n
z
n
.
Решение. 1). В данном случае
13
12
2
2
n
n
x
n
,
1
32
2
n
n
y
n
. Так как
3
2
1
3
1
2
13
12
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
im
n
n
imxim
nn
n
n
и
0
1
1
32
2
2
2
2
n
n
n
n
n
imyim
n
n
n
,
то, в силу (1.22),
3
2
n
n
n
n
n
n
yimiximzim
.
2). В данном случае
nnn
n
x
n
1
!)!1(
!
,
!sin
1
2
n
n
n
y
n
. Так как
01
n
im
n
,
0
1
2
n
n
im
n
и
1!sin n
,
то
0
nn
xim
и
0!sin
1
2
n
n
n
imyim
n
n
n
. Значит, в силу (1.22),
0
n
n
n
n
n
n
yimiximzim
.
Задача 1.6. Найти предел последовательности
}{nz
, где
1).
1
2
13
13
22
2
n
n
i
n
n
z
n
; 2).
13
3
1
32
2
2
2
n
n
i
n
n
z
n
;
3).
n
n
n
n
i
n
n
z
n
10
cos
115
1
10
2
; 4).
n
n
n
n
i
n
n
z
n
10
sin
113
1
5
2
;
5).
nniz
n
n
n
1
23
35
; 6).
11
12
2
22
nnnniz
n
n
n
.
15
Рассмотрим числовой ряд
составленный из комплексных чисел
nnn
yixz
. Этот ряд называется
сходящимся, если существует конечный предел последовательности
его частичных сумм. Ряд (1.23) сходится тогда и только тогда, когда
сходятся одновременно ряды
1n
n
x
и
1n
n
y
, составленные из соответ-
ствующих действительных чисел. Если хотя бы один из рядов
1n
n
x
или
1n
n
y
расходится, то расходится и данный ряд (1.23).
Пример 1.8. Исследовать на сходимость ряды:
1).
1
2
3
11
n
n
i
n
; 2).
1
1
2
1
n
n
n
i
.
Решение. 1). Здесь
2
1
n
xn
,
n
n
y
3
1
. Поскольку ряд
1
2
1
1
nn
n
n
x
сходится как обобщенный гармонический ряд
11n
n
при
1
, а ряд
11
3
1
n
n
n
n
y
сходится как сумма членов геометрической прогрессии со
знаменателем
1
3
1
q
, то данный ряд сходится.
2). В данном случае
n
n
x
2
1
,
n
y
n
1
. Поскольку гармонический ряд
11
1
nn
n
n
y
расходится, то и данный ряд расходится.
Задача 1.7. Исследовать на сходимость ряды:
1).
1
3
2
11
n
n
i
n
; 2).
1
2
5
11
n
n
i
n
; 3).
1
3
11
n
n
i
n
;
4).
1
1
2
1
n
n
n
i
; 5).
1
5
11
n
n
i
n
; 6).
1
1
6
1
n
n
n
i
.
16
§2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2.1. ЛИНИИ И ОБЛАСТИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Линии и области в комплексной плоскости могут быть заданы
уравнениями, неравенствами или системами уравнений и неравенств.
Например, уравнение
4|| iz
задает окружность с центром в точке i
радиуса 4, а неравенству
3|| iz
удовлетворяют все точки круга с цен-
тром в точке
i
радиуса 3.
Пусть и есть действительные непрерывные на отрезке
функции и и , где , есть уравнения
кривой в параметрической форме.
Например, уравнение эллипса в параметрической форме имеет
вид:
При этом параметр называется эксцентрическим углом точки эл-
липса.
Если различным значениям параметра
соответствуют
различные точки кривой , то она называется кривой (или линией)
Жордана.
Так как , то уравнение кривой Жордана мо-
жет быть записано кратко в виде:
Когда параметр изменяется, возрастая на отрезке , точка
описывает кривую Жордана , началом которой служит точка , а
концом точка , и тем самым на кривой устанавливается поло-
жительное направление. Если то кривая Жордана назы-
вается замкнутой.
Область , ограниченная замкнутой кривой Жордана называ-
ется односвязной. Внутренность любой замкнутой кривой Жордана,
лежащей внутри односвязной области, принадлежит этой области, т.е.
17
также является односвязной областью. Области, не обладающие таким
свойством называются многосвязными.
Задача 2.1. Какие множества на плоскости описываются следу-
ющими уравнениями и неравенствами ?: 1.
2|1|1 iz
;
2.
3|1|1 iz
; 3.
22
Re az
(
0a
); 4.
(
0a
);
5.
10|4||4| zz
; 6.
;
7.
3|1|
2Im
1Re
z
z
z
; 8.
3|1|
2Im
1Re
z
z
z
; 9.
4
3
arg
4
1Re1
z
z
; 10.
4
arg0
3Re0
z
z
.
Следуя Эйлеру определим тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного:
...
!
...
!3!2!1
1
32
n
zzzz
e
n
z
,
0n
,
|| z
,
...
)!12(
)1(...
!7!5!3
sin
12753
n
zzzz
zz
n
n
,
0n
,
|| z
,
...
)!2(
)1(...
!6!4!2
1cos
2642
n
zzzz
z
n
n
,
0n
,
|| z
,
z
z
ztg
cos
sin
,
z
z
zctg
sin
cos
,
2
zz
ee
zsh
,
2
zz
ee
zch
.
Далее определим логарифмическую, обратные тригонометриче-
ские и обратные гиперболические функции комплексного переменного:
| | (arg 2 )Ln z n z i z k
, , , ,
(при
0k
- главное значение логарифма:
| | argn z n z i z
) ,
)(
2
1Arcsin zziLniz
,
)( 1Arccos
2
zzLniz
,
zi
zi
Ln
i
z
1
1
2
Arctg
,
iz
iz
Ln
i
z
2
Arcctg
,
)( 1Arsh
2
zzLnz
,
)( 1Arch
2
zzLnz
.
18
Справедливы следующие формулы Эйлера:
Между тригонометрическими и гиперболическими функциями
существует тесная связь:
zchizcos
,
zzich cos
,
zshiiz sin
,
zizish sin
,
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
2121
)( zLnzLnzzLn
,
21
2
1
zLnzLn
z
z
Ln
,
ikzLnnzLn
n
2
(последние три равенства понимаются как равенства множеств).
Пример 2.1. Найти все решения уравнения
3
5
sin z
.
Решение. Так как
3
5
shcoschsin)sin(sin yxiyxiyxz
, то
необходимо должны одновременно выполняться равенства:
3
5
chsin yx
и
0shcos yx
.
Из последнего равенства следует, что
kx
2
,
Zk
, и
y
- любое
(случай
x
- любое и
0y
не подходит, так как тогда
3
5
0chsin yx
).
Так как
yy 0ch
и
1)2/sin( k
больше только при чётных
k
, то искомые значения
yixz
найдём из равенств:
kx 22
и
3
5
ch y
.
Из последнего равенства следует, что
3
5
2
yy
ee
или
01
3
10
2
yyee
.
Обозначив
tey
получим квадратное уравнение с корнями
31t
и
1
2
3t
. Но тогда
3ny
. Значит,
32
2
nikyixz
,
Zk
,
есть искомые решения.
19
Задача 2.2. Найти все решения уравнений: 1.
iz
3
4
sin
;
2.
iz
4
3
cos
; 3.
2
1
ch z
; 4.
2
shiz
; 5.
iz
3
5
tg
; 6.
iz
5
3
ctg
.
Пусть в области
D
задана функция . Известно, что она
представима в виде:
viuzf )(
(
yixz
),
где
),( yxuu
и
),( yxvv
есть, соответственно, действительная и мни-
мая части данной функции.
Пример 2.2. Найти действительную и мнимую части функции
.
Решение. Так как , то
Значит,
Задача 2.3. Найти действительную и мнимую части следующих
функций: 1. ; 2. ;
3.
11
z
z
w
; 4.
11
z
z
w
; 5. ; 6. .
Пример 2.3. Вычислить все значения и найти
.
Решение. Так как , ,
6/argz
, то
Задача 2.4. Вычислить следующие значения:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. .
20
2.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
Известно [1]-[3], что функция
viuzf )(
является аналитиче-
ской в области D тогда и только тогда, когда функции
),( yxuu
,
),( yxvv
дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям
Коши-Римана:
uv
xy
,
uv
yx
.
При этом
),( yxuu
и
),( yxvv
являются гармоническими функциями
в области
D
, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:
22
22
0
uu
xy
.
Пример 2.4. Показать, что функция
дифференциру-
ема лишь в точке .
Решение. Так как
, то
,
. Условия Коши-Римана в данном случае прини-
мают вид: ,
02 y
, т.е. выполняются лишь в точке . Значит,
данная функция
дифференцируема лишь в точке .
Задача 2.5. Показать, что следующие функции не являются аналитическими ни в одной точке.
1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Пример 2.5. Найти аналитическую функцию , если известна
ее мнимая часть
xyxv
22
22
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]