Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексный анализ в примерах и задачах
.pdf
61
Пример 10.1. Решить следующие задачи Коши:
Решение. а). Пусть . Тогда (см. Приложение 3):
Поэтому, после применения к обеим частям данного уравнения преоб-
разования Лапласа, последовательно получаем
откуда
так как (см. Приложение 3),
Значит,
есть искомое решение.
62
б). Пусть . Тогда (см. Приложение 3):
Поэтому, применив к данному уравнению преобразование Лапласа,
получим
или
откуда, разложением на простейшие дроби, получаем
Для определения коэффициентов и составляем тождество
Придавая параметру значения и последовательно находим:
Следовательно,
Значит,
есть искомое решение.
63
Задача 10.1. Решить следующие задачи Коши:
Пример 10.2. Найти суммы следующих рядов:
Решение. а). Так как (см. пример 10.1)
то по формуле (10.2) с учетом, что , имеем
б). Воспользуемся формулой (10.3) при с учетом, что
Имеем
64
Задача 10.2. Найти суммы следующих рядов:
65
§11. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть функция определена в некоторой окрестности
точки и . Отображение окрестности точки
на окрест-
ность точки , осуществляемое функцией , называется кон-
формным в точке
, если в точке
0
z
оно обладает свойством сохране-
ния углов и постоянством растяжений.
Рассмотрим простейшие конформные отображения.
11.1. ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Линейным отображением называется отображение, осуществ-
ляемое функцией , где и - заданные к.ч. Это отоб-
ражение сводится к повороту на угол , подобию с коэффициентом
подобия и параллельному переносу с помощью вектора, соответствующему .
Пpимеp 11.1. Найти линейную функцию, отображающую
точки
01z
и
12z
в точки
iw 1
1
и
02w
, соответственно.
Решение. Пусть
bzaw
- искомая функция. Подставляя
01z
и
12z
с учетом, что
iw 1
1
и
02w
, имеем:
ba
bi
0
1
, откуда
iba 1
. Значит,
iziw 1)1(
.
Задача 11.1. Найти линейную функцию
bzaw
, отображаю-
щую точки
1
z
и
2
z
в точки
1
w
и
2
w
, соответственно, если:
1.
iz
1
,
iz 212, iw
1
,
iw 322
;
2.
iz
1
,
iz 212, iw
1
,
iw 322
;
3.
iz 231
,
iz 1
2
,
iw 31
,
iw 1
2
;
4.
iz 231
,
iz 1
2
,
iw 31
,
iw 1
2
.
66
11.2. ОТОБРАЖЕНИЕ
z
w
1
Точки
1
z
и
2
z
называются симметричными относительно окруж-
ности
0
||z z R
, если они находятся на одном луче, исходящем из
центра
0
z
окружности и
2
1 0 2 0
| | | |z z z z R
. В частности, если
0
0z
и
1
0zz
, то
2
2
R
zz
, а если
10
0zz
, то
2
z
.
Преобразование
z
w1
состоит из двух симметричных отражений:
относительно единичной окружности и действительной оси.
Пpимеp 11.2. Найти образ окружности
2|| z
при отображе-
нии
z
w1
.
Решение. Так как
z
w1
и
2|| z
, то
w
z1
и
2
1
|| w
есть искомый
образ (окружность).
Пpимеp 11.3. Найти образ полуполосы
0 Re 1z
,
Im 0z
, при
отображении
z
w1
.
Решение. Подставляя
z x i y
, имеем
22
1 x i y
w
x i y x y
. Зна-
чит,
22
0
x
u
xy
,
22
0
y
v
xy
. Поэтому образ полосы будет рас-
положен в четвертом квадранте. Левая и нижняя границы полуполосы
Ou
Ov
ница полуполосы отобразится в окружность, так как эта граница не
проходит через точку
0z
. Учитывая положительное направление об-
хода полуполосы находим, что образом данной полуполосы будет четвертый квадрант с вырезанным полукругом
| 1/ 2| 1/ 2z
.
Задача 11.2. Найти образы следующих множеств при отобра-
жении
z
w1
: 1.
3
argz
; 2.
1|| z
,
zarg
4
;
3.
4Re2 z, 0Im z
; 4.
0Re z
,
1Im2 z
.
67
11.3. ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Дробно-линейным отображением называется отображение,
осуществляемое функцией
dzc
bza
w
, где
a
, b, c и d - заданные к.ч.
Это отображение имеет единственную особую точку
c
d
z
, которую
называют центром инверсии. При дробно-линейном отображении
окружности и прямые, которые проходят через центр инверсии, отображаются в прямые, а окружности и прямые, которые не проходят через центр инверсии, отображаются в окружности. При нахождении образов областей достаточно найти образ её границы.
Пpимеp 11.3. Найти образ квадранта
0x
,
0y
при отображе-
нии
iz
iz
w
.
Решение. Сделаем рисунок (см. рис. 11.1).
Рис. 11.1
Отметим стрелками направление обхода данного квадранта, гра-
ницами которого являются полуоси и . Точка является
центром инверсии. Так как ось не проходит через центр инверсии,
то она отображается в окружность (для её построения достаточно взять
три точки). Так как ось проходит через центр инверсии, то она отоб-
ражается в прямую (для её построения достаточно взять две точки).
Итак, нужно взять пять точек.
68
Для удобства вычислений выберем
01z, 12z
,
3
z
,
34
zz
и
15
zz
.
Найдем образы этих точек:
1
0
0
1
i
i
w
,
i
i
i
i
w
2
)1(
1
1
2
2
,
13
iz
iz
imwz
,
134 ww
,
115 ww
.
Построим эти точки на плоскости
)(w
. Через точки
1
w
,
2
w
и
3
w
проведем
окружность, а через точки
4
w
и
5
w
проведем прямую. Учитывая, что
направление обхода сохраняется, получим замкнутый контур, ограничивающий искомую область, являющуюся образом данного квадранта
(см. рис. 11.2).
Рис. 11.2
Задача 11.3. 1). Найти образ полукруга
1z
,
0Im z
при отобра-
жении
iz
iz
w
2
2
; 2). Найти образ полукруга
1z
,
0Im z
при отобра-
жении
iz
iz
w
2
2
; 3). Найти образ угла
4
0
при отображении
1z
z
w
; 4). Найти образ угла
04
при отображении
1z
z
w
;
5). Найти образ полосы
1Re0 z
при отображении
z
zw1
; 6).
Найти образ полосы
1Re0 z
при отображении
21
z
z
w
.
-
69
Пример 11.4. Найти функцию, отображающую область, заключенную между двумя окружностями
11 z
и
22 z
, на полосу
1Re0 w
.
Решение. Изобразим данную область и полосу (см. рис. 11.3).
Рис. 11.3
Для того, чтобы получить полосу необходимо, чтобы данные
окружности отобразились в прямые, т.е. они должны проходить через
центр инверсии, который является их общей точкой. Значит, есть
70
центр инверсии искомого отображения. Так как касательная к обеим
окружностям в точке ортогональна оси , проходящей через
этот центр инверсии, то ось отобразится в действительную ось, ор-
тогональную образам (прямым) этих окружностей (сохранение угла).
Чтобы найти образ окружности
22 z
отобразим точку в
точку
0
.
Рассмотрим теперь отображение
z
z 4
.
Оно отображает обе данные окружности, проходящие через
центр инверсии , в прямые. Так как
1)2(
и
0)4(
, то данная
область отображается в полосу
0Re1 w
. Значит, искомое отобра-
жение получается умножением на :
Задача 11.4. 1). Найти дробно-линейную функцию, отображаю-
щую точки
1
, 0, 1 соответственно в точки 1, i, -1;
2). Найти дробно-линейную функцию, отображающую точки 1, -i, -1
соответственно в точки -1, 0, 1;
3). Отобразить верхнюю полуплоскость
0Im z
на единичный круг
1w
так, чтобы выполнялись условия:
0)( iw
,
2
)(arg
iw
;
4). Отобразить круг
1|| z
на круг
1w
так, чтобы выполнялись усло-
вия:
0)2/1( w
,
0)2/1(arg
w
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]