Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задания для мониторинга знаний студентов по теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.В. ТКАЧЕНКО, И.А. СЕДЫХ, О.А. МИТИНА
ЗАДАНИЯ ДЛЯ МОНИТОРИНГА ЗНАНИЙ
СТУДЕНТОВ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2025
2
УДК 517(07)
ББК 22.1я7
Т 484
Рецензенты:
кафедра математики и физики ФГБОУ ВО «Липецкий государственный
педагогический университет имени П.П. Семенова-Тян-Шанского»;
кандидат технических наук, ведущий архитектор решений ДАТП ПАО
«НЛМК» С.В. Кудинов
Ткаченко, С.В.
Т 484 Задания для мониторинга знаний студентов по теории функций
комплексного переменного: учеб. пособие / С.В. Ткаченко, И.А. Седых, О.А.
Митина. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического
университета, 2025. – 1 электрон. опт. диск. – Системные требования: Pentium
IV и выше, ОС: Windows XP и выше, CD-ROM, SVGA, звуковая карта.
ISBN 978-5-00175-315-5
Пособие содержит справочный материал по теории функций
комплексного переменного, задания для контрольных работ и примеры их
решения.
Данное пособие может быть рекомендовано студентам направлений
01.03.04 «Прикладная математика», 01.03.03 «Механика и математическое
моделирование», 27.03.03 «Системный анализ и управление», а также
аспирантам и преподавателям.
ISBN 978-5-00175-315-5
© ФГБОУ ВО «Липецкий государственный
технический университет, 2025
© Ткаченко С.В., Седых И.А., Митина О.А., 2025
3
Содержание
Введение ........................................................................................................... 4
Понятие комплексного числа и формы его записи. Действия над
комплексными числами .............................................................................................. 5
Понятие функции комплексного переменного (ФКП). Предел и
производная ФКП ........................................................................................................ 7
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера) ................................................ 8
Элементарные и обратные функции комплексного переменного ............. 8
Геометрический смысл модуля и аргумента производной ....................... 10
Гармоническая функция ............................................................................... 10
Простейшие отображения ............................................................................ 11
Интегрирование ФКП ................................................................................... 12
Ряд Тейлора .................................................................................................... 12
Нули аналитической функции. Изолированные особые точки ................ 14
Ряд Лорана. Вычеты ...................................................................................... 14
Алгоритм вычисления контурных интегралов с помощь вычетов .......... 17
Применение вычетов к вычислению интегралов от функций
действительной переменной .................................................................................... 17
Контрольная работа № 1 .............................................................................. 20
Пример решения контрольной работы № 1 ............................................... 20
Контрольная работа № 2 .............................................................................. 29
Пример решения контрольной работы № 2 ............................................... 29
Контрольная работа № 3 .............................................................................. 35
Пример решения контрольной работы № 3 ............................................... 35
Контрольная работа № 4 .............................................................................. 42
Пример решения контрольной работы № 4 ............................................... 42
Библиографический список ......................................................................... 51
4
Введение
Пособие составлено в соответствии с Федеральным государственным
образовательным стандартом высшего образования для студентов
специальностей и направлений, изучающих теорию функций комплексного
переменного.
Теоретическая часть включает справочный материал по основным
темам: понятие комплексного числа, понятие функции комплексного
переменного, предел и производная функции комплексного переменного,
элементарные и обратные функции, интегрирование функции комплексного
переменного, ряд Тейлора, ряд Лорана, применение вычетов к вычислению
интегралов. Также введены понятия аналитической функции, гармонической
функции, нулей аналитической функции, изолированных особых точек,
указаны условия Коши-Римана, разъяснен геометрический смысл модуля и
аргумента производной, рассмотрены некоторые простейшие отображения.
Во второй части представлены задания для контрольных работ, которые
преподаватель может использовать для проверки знаний студентов. Кроме того,
для облегчения понимания материала приведены примеры решения основных
задач теории функции комплексного переменного.
5
Понятие комплексного числа и формы его записи. Действия
iyxz
1
2
i
)Re(zx
)Im(zy
ibaz
);( baM
)Im(),Re( zyzx
iyxz
);( yxOMr
22
|| yxzr
zarg
];(
)2;0[
над комплексными числами
Комплексным числом называют выражение вида
действительные числа, i – мнимая единица,
. Множество комплексных
, где х и у –
чисел обозначается через С (от лат. complex – тесно связанный). При этом
1)
2)
Всякое комплексное число
плоскости Оху такой, что
– действительная часть числа (от англ. real),
– мнимая часть числа (от англ. imaginary).
можно изобразить точкой
(рисунок 1).
Рисунок 1. Геометрическое изображение комплексного числа
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью. Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая ось.
вектора
Комплексное число
. В этом случае
1)
2)
– аргумент комплексного числа – величина угла между
– модуль комплексного числа – длина вектора r
также изображают с помощью радиус-
положительным направлением действительной оси и вектором r. При этом
или
.
Комплексные числа могут быть представлены в алгебраической,
показательной, тригонометрической форме (таблица 1).
6
Таблица 1
Алгебраическая форма
iyxz
Тригонометрическая форма
)sin(cos
irz
, где
22
|| yxzr
,
x
y
yx
y
yx
x
tg,sin,cos
2222
,
0,0,2arctg0,0,arctg
0,0,arctg0,0,arctg
yx
x
y
yx
x
y
yx
x
y
yx
x
y
Показательная форма
i
rez
Формула Эйлера
sincos ie
i
111
iyxz
222
iyxz
1. Сложение
)(
212121
yyixxzz
2. Вычитание
)(
212121
yyixxzz
3. Умножение
)()(
1221212121
yxyxiyyxxzz
;
1)00()10()10)(10( iiiii
4. Деление
)0(,
2
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
z
yx
yxyx
i
yx
yyxx
z
z
.
)sin(cos),sin(cos
22221111
irzirz
1. Умножение
)]sin()[cos(
21212121
irrzz
2. Деление
)]sin()[cos(
2121
2
1
2
1
i
r
r
z
z
3. Возведение в степень. Формула Муавра
),sin(cos
)]sin(cos[
ninr
irz
n
nn
п – целое число
4. Извлечение корня
n
k
i
n
k
r
irz
n
n
n
2
sin
2
cos
)sin(cos
k=0,1,2,…, n – 1
Различные формы представления комплексного числа
Операции над комплексными числами представлен в таблицах 2 и 3.
Таблица 2
Арифметические операции над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме
,
Таблица 3
Арифметические операции над комплексными числами, заданными в
тригонометрической форме
7
Понятие функции комплексного переменного (ФКП).
Dz
Gw
)( zfw
)(zf
GDf :
Gw
Dz
)( zfw
iyxz
ivuw
)(Re zfu
)(zf
)(Im zfv
)(zf
),( yxuu
),( yxvv
),(),()( yxivyxuzfw
0
z
Azf
zz
)(lim
0
)( zfw
)(zf
z
w
z
zfzzf
zf
zz
00
lim
)()(
lim)(
)( zfw
Предел и производная ФКП
Пусть заданы два множества D и G комплексных чисел. Если каждому
значению
множестве D задана функция
ставится в соответствие число
комплексного переменного (рисунок 2).
, то говорят, что на
Рисунок 2. Отображение множества D на множество G
Другими словами, задание функции комплексного переменного
с
областью определения D и областью значений G есть отображение
множества D на множество G:
точки z, точка
– прообразом при отображении
. Точка
называется образом
.
Если записать числа z и w в алгебраической форме:
то получаем, что
– мнимая часть функции
– действительная часть функции
. При этом
и
,
–
две функции двух действительных переменных х и у.
Функция
имеет предел в точке
, равный
числу A, если
. (1)
Пусть на области D комплексной плоскости задана функция
производной от функции
в точке z называется предел
. (2)
Функция
называется аналитической на области D комплексной
плоскости, если она имеет непрерывную производную в любой точке этой области.
,
,
.
8
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера)
),(),()( yxivyxuzfw
),( yxu
),( yxv
.
,
x
v
y
u
y
v
x
u
z
e
0!n
n
n
z
0!n
n
z
n
z
e
zzzz ch,sh,cos,sin
Тригонометрический синус
0
12
)!12(
)1(
sin
n
nn
n
z
z
Гиперболический синус
0
12
)!12(
sh
n
n
n
z
z
Тригонометрический косинус
0
2
)!2(
)1(
cos
n
nn
n
z
z
Гиперболический косинус
0
2
)!2(
ch
n
n
n
z
z
Если функция
этой точке существуют частные производные ее действительной
мнимой
частей и выполняются условия Коши-Римана
дифференцируема в точке, то в
и
(3)
Элементарные и обратные функции комплексного
переменного
Показательной функцией
функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной
в комплексной области называется
плоскости ряда
Функции
, т.е.
.
вводятся аналогично – как суммы
соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов
(таблица 4).
Таблица 4
Формулы разложения в ряды некоторых тригонометрических и
гиперболических функций комплексного переменного
Основные формулы для тригонометрических и гиперболических
функций комплексного переменного приведены в таблице 5.
9
Соотношения для тригонометрических и гиперболических функций
i
ee
z
iziz
2
sin
2
cos
iziz
ee
z
2
sh
zz
ee
z
2
ch
zz
ee
z
iziz
iziz
ee
ee
i
z
1
tg
iziz
iziz
ee
ee
iz
ctg
zz
zz
ee
ee
z
th
zz
zz
ee
ee
z
cth
zize
iz
sincos
zize
iz
sincos
zze
z
shch
zze
z
shch
ziiz shsin
ziz chcos
ziiz sinsh
ziz cosch
1cossin
22
zz
1shch
22
zz
212121
sincoscossin)sin( zzzzzz
212121
shchchsh)sh( zzzzzz
212121
sinsincoscos)cos( zzzzzz
212121
shshchch)ch( zzzzzz
0z
zeA
0,ln zzeAz
A
i
rezivuA ,
reereeree
uiivuiivu
iiv
ee
,...1,0,2,ln kkvru
zzrkkzizz arg|,|,...;2,1,0),2(arg||lnLn
0k
zizz arg||lnln
Степенная функция при любой
степени α
,0,Lnzez
z
С.
Показательная функция с любым
основанием а
aaea
azz
,0,
Ln
С.
zwze
w
Ln
комплексного переменного
Таблица 5
Логарифмом числа
равенство
Пусть
. Следовательно,
, т.е.
называется число А такое, что справедливо
.
. Тогда
Из этого следует, что
и
логарифм комплексного числа определяется неоднозначно, т.е. получаем
множество значений логарифма данного числа
.
При
получаем главное значение логарифма
.
Формулы для степенных и показательных функций представлены в
таблице 6.
Таблица 6
Формулы для степенной и показательной функций
Логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к
показательной, т.е. как решение уравнения
.
10
С помощью многозначного логарифма могут быть выражены обратные
Арксинус
)1Ln(
1
Arcsin
2
ziz
i
z
Гиперболический арксинус (ареасинус)
)1Ln(Arsh
2
zzz
Арккосинус
)1Ln(
1
Arccos
2
zz
i
z
Гиперболический арккосинус (ареакосинус)
)1Ln(Arch
2
zzz
Арктангенс
iz
izi
z
1
1
Ln
2
Arctg
Гиперболический арктангенс (ареатангенс)
z
z
z
1
1
Ln
2
1
Arth
Арккотангенс
iz
izi
z
Ln
2
Arcctg
Гиперболический арккотангенс (ареакотангенс)
1
1
Ln
2
1
Arcth
z
z
z
|)(|
0
zfk
)(zf
0
z
1k
1k
0
z
)( zfw
)(arg
0
zf
)(zf
0
z
)( zfw
0
z
)(zf
0)(
0
zf
0
z
),(),()( yxivyxuzf
),( yxuu
),( yxvv
тригонометрические и гиперболические функции (таблица 7).
Обратные тригонометрические и гиперболические функции
Таблица 7
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
1. Модуль
окрестности точки
сжатия (
) в точке
, есть коэффициент линейного растяжения (
2. Аргумент
угол поворота кривой в этой точке при отображении
3. Отображение с помощью дифференцируемой в окрестности точки
функции
точке
. Оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения
, удовлетворяющей условию
углов. Причем углы сохраняются как по величине, так и по направлению отсчета.
производной функции
при отображении
производной функции
, дифференцируемой в
) или
.
в точке
.
, является конформным в
есть
Гармоническая функция
Пусть на области D комплексной плоскости задана аналитическая
функция
. Действительная
и мнимая
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]