Задания для мониторинга знаний студентов по теории функций комплексного переменного. Учебное пособие

21

 

.42)01(2

2

)3sin3(cos2

2

4

12

sin

4

12

cos2

2

)1(

246

4

6

4

12

4

12









 



 











i



4

iz 66 

26362)6(6||

22

z

06,06  yx

.

4

7

2

4

212

6









 arctgarctg

 



 





4

7

sin

4

7

cos26)sin(cos||





iizz

 



 





4

7

sin

4

7

cos26



iz

04

66

z

6666

404  zz

6

4

~

z

6

4

~

z

62626

4)4(0)4(|

~

| z

Ответ:

.

2. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

Решение:

найдем модуль и аргумент комплексного числа

так как

, то угол  расположен в IV четверти, поэтому

Тогда

Ответ:

.

3. Решить уравнение и изобразить корни на чертеже:

Найдем модуль и аргумент числа

Рисунок 3. Изображение комплексного числа

.

Решение:

.

(рисунок 3):

.

22

Так для числа

6

4

~

z

04

~

Re

6

z

0

~

Im z





)sin(cos4

~

6



iz 

5,4,3,2,1,0,

6

2

sin

6

2

cos4

~

6



 



 





 k

k

i

k

zz



iiizk 232

2

1

2

3

4

6

sin

6

cos4:0

0





 





 





 



 







 

iiiizk 404

2

sin

2

cos4

6

2

sin

6

2

cos4:1

1



 



 





 



 









;232

2

1

2

3

4

6

5

sin

6

5

cos4

6

4

sin

6

4

cos4:2

2

ii

iizk





 





 







 



 





 



 









;232

2

1

2

3

4

6

7

sin

6

7

cos4

6

sin

6

cos4:3

3

ii

iizk





 





 







 



 





 



 









 

iiiizk 404

2

3

sin

2

3

cos4

6

8

sin

6

8

cos4:4

4



 



 





 



 









.232

2

1

2

3

4

6

11

sin

6

11

cos4

6

10

sin

6

10

cos4:5

5

ii

iizk





 





 







 



 





 



 









4r

действительная часть

, а мнимая часть

, то аргумент

.

Тригонометрическая форма:

.

Воспользуемся формулой извлечения корня из комплексного числа

;

Изобразим корни на окружности с центром в точке О (0; 0) и радиусом (рисунок 4).

23

Рисунок 4. Корни уравнения

,232,232,4,232

3210

iziziziz 

iziz 232,4

54



4||||  iziz

iyxz 

;)1(|)1(|||||

,)1(|)1(|||||

22





yxyixiiyxiz

4)1()1(

2222

 yxyx





;221412222

;1612222

222

;16)1()1()1(2)1(

;4)1()1(

22242224

24222222224

22

22222222

2

2222

yxyyxyxx

yyxyxyxxyxyxx

yx

yxyxyxyx

yxyx











Ответ:

.

4. Выяснить, какая линия определяется уравнением:

.

Решение:

так как в алгебраической форме комплексное число записывается в виде

, то

;

возведем обе части уравнения во вторую степень

разделим обе части уравнения на 2 и возведем во вторую степень

24





 

;777749

1222

;71222

4222224222

242224

2

22

2

242224

yyxyyxxxyx

yyxyxx

yxyyxyxx







481216

22

 yx

1

43

22



yx

1

2)3(

2



yx

3a

2b

1

2)3(

2



yx

22

5),(

yx

y

yxyxyxu





после упрощения получаем

;

разделим обе части уравнения на 48

или

.

Данное уравнение описывает эллипс с центром в точке О (0; 0) с полуосями по

оси Ох

Ответ: эллипс

5. а) Дана действительная часть дифференцируемой функции. Найти эту функцию:

и по оси Оу

(рисунок 5).

Рисунок 5. Эллипс

.

Решение:

запишем условия Коши-Римана (3)

25



 



 













)(.

)(,

II

x

v

y

u

I

y

v

x

u

;

)(

2

522)()1(52

222

yx

xy

xxyxyx

x

u









.

)(

2

52

222

yx

xy

x

y

v







);(

1

)(

52

)(

52

)(

2

52

1222

222

22

222

x

xy

xyxy

xy

xyd

xyxydy

yx

xy

xv



















 





 











)(52

22

x

yx

x

yxyv







222

22

222

)(

12

)(

2

12

yx

y

yx

yyx

y

u















)(

2)(

)(

2

222

22

222

x

yx

xyx

y

x

v





















);(

)(

2

)(

12

;)(

)(

2

)(

12

222

22

222

22

222

22

222

22

x

yx

y

yx

y

x

yx

y

yx

y





















 





 

















1)( 



x



)(x



1. Используя условие (I), получим

тогда и

(*)

2. Проинтегрируем уравнение (*) по переменной у и найдем v

. (**)

3. Используя условие (II), получим

Продифференцируем уравнение (**) по переменной х

Тогда

.

(***)

Найдем функцию

, проинтегрировав уравнение (***) по переменной х

26

Cxdxx 



1)(



Запишем функцию v

Cx

yx

x

yxyv 





22

52

ivuzf )(





 





 











 Cx

yx

x

yxyi

yx

y

yxyxzf

2222

22

525)(









 iC

yx

xi

yx

y

xiyiyxiyiyxx

2222

22

)()(5))(2(







 ),()()(5)(

22

2

yxzziyxz

yx

iyx

iiyxiiyxiyx

.55

22

iC

z

i

izzziC

zz

z

iizzz 





.5)(

2

iC

z

i

izzzzf 

)(2

3),(

22

yx

y

yxyxv







 



 













)(.

)(,

II

x

v

y

u

I

y

v

x

u

;

)(

22)()1(

2

1

2

222

yx

xy

xxyxyx

x

v









.

)(

2

222

yx

xy

x

y

u







.

4. Запишем функцию

Ответ:

б) Дана мнимая часть дифференцируемой функции. Найти эту функцию:

запишем условия Коши-Римана (3)

1. Используя условие (II), получим

тогда

.

Решение:

(*)

27

2. Проинтегрируем уравнение (*) по переменной у и найдем u

);(

1

)(

2

1

2

)(

2

1

2

)(

2

1222

222

22

222

x

xy

xxy

xy

xyd

xxydy

yx

xy

xu



















 





 











)(

)(2

2

22

x

yx

x

xyu







222

22

222

)(

2

1

2

)(

2

1

2

yx

y

yx

yyx

y

v















)(

2

1

2)(

)(

2

1

2

222

22

222

x

yx

xyx

y

x

u





















;

)(

2

1

2)(

)(

2

1

2

222

22

222

22

yx

y

















0)( 



x



)(x



Cx )(



C

yx

x

xyu 





)(2

2

22

ivuzf )(

. (**)

3. Используя условие (I), получим

Продифференцируем уравнение (**) по переменной х

.

Тогда

Найдем функцию

Запишем функцию u

4. Запишем функцию

(***)

, проинтегрировав уравнение (***) по переменной х

.

28

.3

2

1

3

2

1

),(3

2

1

))(2(

)(2

3

)(2

2

)(2

3

)(2

2)(

22

Ci

z

izCi

zz

z

iz

yxzziyxzCi

yx

iyx

iyiyxxi

yx

y

iiyixiC

yx

x

xy

yx

y

yxiC

yx

x

xyzf





























 





 











Ci

z

izzf  3

2

1

)(

2

Ответ:

.

29

Контрольная работа № 2

Вариант № 1

Вариант № 2

1. При отображении

iizw 21

найти образ прямой

1Re z

1. При отображении

iizw 21

найти образ прямой

1Im z

2. Найти линейную функцию, преобразующую треугольник с вершинами в точках

321

,, zzz

плоскости z в подобный ему треугольник с вершинами

321

,, www

плоскости w

iziziz  5,44,21

321

;

iwiwiw 65,411,27

321



.

iziziz 34,1,22

321



;

iwiwiw 144,2,811

321



.

3. Найти дробно-линейное отображение

)(zw

, удовлетворяющее условию

0)(,1)1(,1)1(  iwww

2)1(,1)(,0)1(  wiww

4. Вычислить интеграл от аналитической функции комплексного переменного по данной кривой

.,1,0,

,)cos(

2

izzzломанаяABC

dzzz

CBA

ABC







.,1,0,

,)cosch(

izzzломанаяABC

dzizz

CBA

ABC







5. Вычислить интеграл от аналитической функции комплексного переменного

по данной кривой, используя замену



i

rez 

}0Im,1|{|:,)ch( 



zzLdzzz

L

}0Re,1|{|:,)(sin 



zzLdzziz

L

iizw 34 

2Re z

xiyxz  )Re(Re

2x

iz  02

1

iz  12

2

Пример решения контрольной работы № 2

1. При отображении

1 способ. Изобразим прямую необходимо построить прямую

(рисунок 6).

Рисунок 6. Изображение заданной прямой

найти образ прямой

.

Решение:

. Так как

. Данная прямая параллельна оси Оу

, то

Возьмем на прямой две точки

,

образы при заданном отображении

. Найдем их

30

iiiiiizww  434234)02()(

11

;

iiiiiizww  5341234)2()(

22

2Re z

1Im w

)4(334)34(

34

2





 wiiiiwiwi

i

iw

z

zRe

.3))4(3Re(

)43Re())4(3Re())4(3Re(Re

vuiv

iviuivuiwiz





2Re z

13223  vv

wv Im

1Im w

iziziz 45,27,23

321



iwiww  1,2,0

321

w = az + b

.

Следовательно, можно сделать вывод, что прямая

прямую

(рисунок 7).

2 способ. Выразим z

Найдем

Так как по условию

перейдет в

Рисунок 7. Образ прямой

.

, то

Ответ:

Так как

.

, то

.

2. Найти линейную функцию, преобразующую треугольник с

вершинами в точках

подобный ему треугольник с вершинами

плоскости w (рисунок 8).

Решение:

.

, лежащий в плоскости z, в

, лежащий в

Рисунок 8. Отображение точек плоскости с помощью функции w = az + b