Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задания для мониторинга знаний студентов по теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
31
Линейное отображение задается формулой
bazw
2211
,,, wzwz
.
24
2
,
2
3
1)23(
2
;24
),23(
;)2327(02
),23(
;)27(2
,)23(0
ii
a
i
i
i
b
ia
iab
bbaiii
iab
biai
bia
iz
i
w
2
3
1
2
3
z
3
1
2
22
2
3245
2
3
1)45(
2
wi
iii
ii
i
w
iz
i
w
2
3
1
2
)(zw
1)1(,0)(,1)1( wiww
23
13
2
1
23
13
2
1
::
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
.
1
;
11
11
;1
11
;
11
1;
)1)(1(1
;
2
)1(1
2
11
;
1
11
:
1
01
)1(1
:
0
)1(
iz
iz
w
iz
iz
w
iz
iziizz
wiz
iizz
w
iz
iizz
wiz
iz
w
w
i
iz
z
w
w
iiz
z
w
w
.
Для нахождения параметров a и b, подставим точки
Таким образом, получаем отображение
Для проверки подставим точку
:
.
:
– верно.
Ответ:
3. Найти дробно-линейное отображение
условию
воспользуемся формулой (4)
В нашем случае
, удовлетворяющее
.
Решение:
.
Сделаем проверку:
32
.1
1
1
1
1
)1(;0
2
0
1
)(;1
)1(
1
1
1
)1(
2
i
i
i
i
w
i
ii
iw
i
i
i
i
w
1
iz
iz
w
.2,1,0,,)(sin
5
izzzломанаяABCdzzz
CBA
ABC
zzf sin)(1
5
2
)( zzf
5
sin)( zzzf
.2ch
3
29
2cos
3
29
6
64
2cos1
6
1
1cos
6
)2(
2cos00cos
6
1
1cos
1
2
6
cos
0
1
6
cos)(sin)(sin
)(sin)(sin)(sin
6
66
2
1
5
1
0
5
555
ii
i
i
i
z
z
z
zdzzzdzzz
dzzzdzzzdzzz
i
BCABABC
Ответ:
.
4. Вычислить интеграл от аналитической функции комплексного
переменного по данной кривой:
Построим чертеж, на котором отметим точки ломаной АВС (рисунок 9)
Решение:
Рисунок 9. Ломаная АВС
Функции
и
являются аналитическими, тогда и их сумма
тоже является аналитической функций. Следовательно, функция
может быть проинтегрирована по z без замены переменной (6).
33
Ответ:
2ch
3
29
},0Re,1|{|:,)1(
zzLdzez
L
z
i
rez
i
rez
1|| z
1r
i
ez
diedzi
0Re z
2
;
2
.
5. Вычислить интеграл от аналитической функции комплексного
переменного по данной кривой:
Построим чертеж, на котором отметим кривую L (рисунок 10)
Воспользуемся заменой
, так как
используя замену
Решение:
Рисунок 10. Кривая L
, то радиус
, следовательно,
.
,
тогда
;
так как по условию интегрирование происходит по окружности, лежащей
правее оси Оу (
), то аргумент
.
Вычислим интеграл
34
.1cos2
2
2)1()1(
1
1
)1()1(
1
1
11
2
11
2
1
1)1(
11
11111
1
1
11
1
1
1
1
1
2/
22
2/
11
2/
2/
i
ee
iieieeeeiei
i
i
eeieidte
i
i
te
evdtdu
dtedvtu
dtte
ietdtdie
iette
dieeedzez
ii
iiiiii
tii
i
i
tt
t
t
i
i
t
ii
ii
iei
L
z
i
1cos2i
Ответ:
.
35
Контрольная работа № 3
Вариант № 1
Вариант № 2
1. Разложить функции в ряд Тейлора
а)
0,5cos)(
0
zzzf
б)
2,
6
5
)(
0
z
z
zf
а)
0,7sin)(
0
zzzf
б)
5,
4
3
)(
0
z
z
zf
2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням
)(
0
zz
3,
152
31
)(
0
2
z
zz
z
zf
4,
76
13
)(
0
2
z
zz
z
zf
3. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки
0
0
z
234
183
363
)(
zzz
z
zf
234
324
644
)(
zzz
z
zf
4. Определить тип особой точки
0
0
z
функции
6
sh
12ch
)(
3
z
zz
z
zf
2
1ch
66sh
)(
2
z
z
zz
zf
0,3sh9)(
0
zzzf
3,
7
8
)(
0
z
z
zf
zzf sh)(
0
12
)!12(
1
sh
n
n
z
n
z
0
12
32
0
122
)!12(
3
)3(
)!12(
1
33sh9)(
n
n
n
n
n
z
n
z
n
zzf
0
1
11
n
n
n
z
a
za
)(4
8
4
8
37
8
3
)3(
7
8
)(
ttt
tz
tz
z
zf
1. Разложить функции в ряд Тейлора
а) воспользуемся известным разложением функции
Тейлора
тогда
Пример решения контрольной работы № 3
а)
; б)
Решение:
,
.
в ряд
.
б) воспользуемся разложением
36
0
12
1
0
)1(2
31
0
1
)3(
2
)1(
2
2)1(
)(
4
1
8
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ztt
.
0
12
32
)!12(
3
)(
n
n
n
z
n
zf
0
12
1
)3(
2
)1(
)(
n
n
n
n
zzf
)(
0
zz
1,
2
2
)(
0
2
z
zz
z
zf
.1
2
31
,2
2
31
,981
,02
21
2
zzD
zz
1,2
21
zz
1
0
z
,
)1)(2(
)2()(
)1)(2(
2
)1)(2(
)2()1(
12)1)(2(
2
2
2
2
zz
BAzBA
zz
BBzAAz
zz
zBzA
z
B
z
A
zz
z
zz
z
)2()(2 BAzBAz
.
3
1
,
3
4
;13
,1
;22
,1
B
A
B
BA
BA
BA
1
1
3
1
2
1
3
4
2
2
)(
2
zz
zz
z
zf
2
1
)(
1
z
zf
1
1
)(
2
z
zf
Ответ: а)
; б)
2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням
.
Решение:
Найдем особые точки функции
Функция является аналитической всюду, кроме точек
Следовательно, точка
не является особой.
Разложим данную функцию в сумму простейших дробей.
.
.
так как
из системы
Таким образом,
Пусть
, то найдем неопределенные коэффициенты
.
,
.
37
Построим чертѐж (рисунок 11).
Rzzr ||
0
1|)2(1|||
10
zz
1r
2|11|||
20
zz
2R
1
0
z
rzz ||
0
Rzzr ||
0
Rzz ||
0
0,,
)(
1
1
)(
1
0
0
0
0
0
1
aazz
a
zz
a
zz
a
zza
n
n
n
.,1,)(
1
)(
1
)(
1,0
1
)(
1
1
)(
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
11
1
1
azz
zz
a
zz
a
zz
a
zz
a
kn
kn
zz
a
zz
a
zz
zza
n
n
n
n
k
k
n
n
nn
kn
1|1| z
Рисунок 11. Кольцо
Так как
Поскольку точка
не является особой, то разложение в ряд Лорана будем
, то
искать, рассматривая три случая:
1) в круге
, 2) в кольце
При этом
- для получения правильной части разложение записывается в виде
- для получения главной части разложение записывается в виде
, так как
, 3) вне круга
, то
.
.
1) в круге
функция является аналитической, следовательно,
главная часть в разложении в ряд Лорана отсутствует, поэтому обе простейшие
дроби раскладываем в ряд Тейлора.
38
0
1
)1()1(
))1((1
1
)1(1
1
2
1
)(
n
nn
z
zzz
zf
0
1
2
)1(
2
1
)1(2
1
)1(2
1
1
1
)(
n
n
n
z
zzz
zf
Окончательно получаем
.)1(
2
1
4)1(
3
1
)1(
2
1
3
1
)1()1(
3
4
)(
0
1
0
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
zzzzf
2|1|1 z
)(1zf
)(2zf
1
1
1
1
)1()1()1()1(
))1((1
1
2
1
)(
n
nn
n
nn
zz
zz
zf
.)1(
23
1
)1(
3
4)1(
)(
0
1
1
1
частьправильная
n
n
n
частьг лавная
n
n
n
zzzf
2|1| z
)(1zf
)(2zf
1
1
1
1
2
)1(
2
1
)1(
2
1
)1(2
1
1
1
)(
n
n
n
n
n
n
zz
zz
zf
1
1
1
1
1
1
1
)1(
2
1
4)1(
3
1
)1(
2
1
3
1
)1(
3
4)1(
)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzzzf
1|1| z
0
1
)1(
2
1
4)1(
3
1
)(
n
n
n
n
zzf
2|1|1 z
частьправильная
n
n
n
частьг лавная
n
n
n
zzzf
0
1
1
1
)1(
23
1
)1(
3
4)1(
)(
2|1| z
1
1
1
)1(
2
1
4)1(
3
1
)(
n
n
n
n
zzf
;
.
2) в кольце
разложение функции
главную часть, а разложение функции
Окончательно получаем
3) вне круга
разложение обеих функций
представлять главную часть ряда Лорана.
будет представлять
– правильную часть ряда Лорана.
и
будет
Окончательно получаем
.
Ответ:
1) в круге
2) в кольце
3) вне круга
:
:
:
;
;
.
39
3. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки
0
0
z
234
65
84
)(
zzz
z
zf
.3
2
15
,2
2
15
,12425,065
;0,0)65(065
21
2
0
22234
zzDzz
zzzzzzz
0
0
z
rzz ||0
0
|}||,min{|
2010
zzzzr
2}3,2min{|}30||,20min{| r
32
)3)(2(
84
65
84
)(
22234
z
D
z
C
z
B
z
A
zzz
z
zzz
z
zf
)3)(2(
)2()3()3)(2()3)(2(
2
22
zzz
zDzzCzzzBzzAz
)3)(2(
)2()3()65()65(
2
2323223
zzz
zzDzzCzzBzzzA
;
3
4
6
8
,
9
16
18
32
3
20
4
6
1
)54(
6
1
,
9
68
3
4
9
80
523
,
9
16
;86
,456
,0235
,0
B
BA
BADC
ADC
B
BA
DCBA
DCA
.
9
20
9
48
9
68
,4
9
20
9
16
;
9
68
23
9
48
,
9
16
;
9
68
23
,
9
16
D
C
DD
DC
DC
DC
.
Решение:
Найдем особые точки функции
Так как
является особой точкой функции, то разложение в ряд Лорана
будем искать в кольце
В нашем случае
Разложим функцию в сумму простейших дробей.
Найдем коэффициенты
, где
.
.
.
40
Тогда
3
1
9
20
2
1
4
1
3
41
9
16
)(
2
zz
z
z
zf
0
0
z
0
1
2
2
1
2
1
n
n
n
z
zz
0
1
3
3
1
3
1
n
n
n
z
zz
0
312
0
12
0
1
2
2
0
1
0
12
3
20
2
11
9
161
3
4
33
20
2
21
9
161
3
4
3
9
20
2
4
1
3
41
9
16
)(
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
zz
z
z
zz
z
z
zf
0
312
3
20
2
11
9
161
3
4
)(
n
n
nn
z
z
z
zf
2||0 z
0
0
z
2
212cos
33sin
)(
zz
zz
zf
zzzf 33sin)(
1
2
2
212cos)( zzzf
0
0
z
00003)03(sin)0(
1
f
0011021)02(cos)0(
2
2
f
,
)!12(
)3()1(
!3
27
)!12(
)3()1(
3
)!12(
)3()1(
3
3
)!12(
)3()1(
)!102(
)3()1(
3
)!12(
)3()1(
33sin)(
2
12
1
3
1
12
1
12
1
12
0
1020
0
12
1
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
zz
n
z
z
n
z
z
z
n
zz
z
n
z
zzzf
.
Первые два слагаемые функции уже разложены в ряд Лорана по степеням z и
составляют два члена его главной части. Третье и четвертое слагаемые
представляют собой функции, которые являются аналитическими в
окрестности точки
. Поэтому эти дроби разложим в ряд Тейлора и, тем
самым, получим правильную часть ряда Лорана.
;
Окончательно получаем
Ответ:
4. Определить тип особой точки
функции
.
,
.
.
Решение:
Пусть
является нулем для обеих этих точек, так как
,
. При этом точка
,
.
Разложим эти функции в ряд по степеням z:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]