Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задания для мониторинга знаний студентов по теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
11
части аналитической функции
)(zf
0:0
2
2
2
2
y
u
x
u
u
0:0
2
2
2
2
y
v
x
v
v
bazw
ba ,
0a
bazw
|| ak
aarg
dcz
baz
w
dcba ,,,
0c
1|| z
c
d
z
321
,, zzz
321
,, www
dcz
baz
w
3,2,1,)( kwzw
kk
удовлетворяют уравнению Лапласа
являются гармоническими функциями, т.е.
и
.
Простейшие отображения
Линейное отображение – отображение с помощью функции
где
плоскости в
начала координат и смещает ее в направлении вектора b на его величину.
окружности плоскости z в окружности плоскости w (и обратно), прямые
переводит в прямые.
С,
1. Отображение
. При этом
изменяет линейные размеры любой фигуры
раз, поворачивает эту фигуру на угол
вокруг
2. Линейное отображение обладает круговым свойством, т.е. переводит
Дробно-линейное отображение – отображение с помощью функции
,
, где
С,
. При этом
1. Дробно-линейное отображение геометрически сводится к
преобразованиям растяжения, поворота, сдвига, симметрии относительно
окружности
и симметрии относительно действительной оси.
2. Круговое свойство. Окружности и прямые, не проходящие через
особую точку
, отображаются в окружности, а окружности и прямые,
проходящие через эту точку, отображаются в прямые.
Условие, определяющее дробно-линейное отображение
Каковы бы ни были три различные точки
различные точки
линейное отображение
плоскости w, существует единственное дробно-
такое, что
плоскости z и три
. При этом
справедливо соотношение, называемое ангармоническим соотношением
12
23
13
2
1
23
13
2
1
::
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
. (4)
3,2,1, kz
k
3,2,1, kw
k
ivuzfw )(
)(zf
LLLL
udyvdxivdyudxidydxivudzzf )()())(()(
)(zf
)()()()(
12
1
2
2
1
zFzF
z
z
zFdzzf
z
z
)(zF
)(zf
)()( zfzF
)(zf
0
z
0
z
0
0
)(
2
1
)(
zz
dzzf
i
zf
)(zf
0
z
)(zf
Rzz ||
0
Дробно-линейное отображение переводит круг, граница которого проходит
через три данные точки
которого проходит через три точки
, в круг (или во внешность круга), граница
. Это следует из того, что положение
любой окружности на плоскости однозначно определяется тремя точками.
Интегрирование ФКП
Пусть
L – гладкая кривая, лежащая в D. Тогда криволинейный интеграл от функции
вдоль кривой L определяется по формуле
Если
является аналитической функцией в односвязной области, то
– непрерывная ФКП, определенная в области D,
. (5)
, (6)
где
– первообразная для функции
, т.е.
.
Интеграл Коши
Пусть функция
является аналитической функцией в односвязной
области D, ограниченной контуром L. Возьмем произвольную внутреннюю точку
построим замкнутый контур Г, целиком лежащий в D и содержащий точку
. Тогда
– интеграл Коши, (7)
т.е. значение аналитической функции
в любой точке
внутри области
можно определить, зная значения на еѐ границе.
Ряд Тейлора
Теорема Тейлора. Функция
, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом
, аналитическая внутри круга
и
13
0
0
)()(
n
n
n
zzczf
. (8)
...,2,1,0,
!
)(
0
)(
n
n
zf
c
n
n
)(
0
)(zfn
)(zf
0
z
n
n
n
cR||lim
1
n
n
n
c ||lim
}||{
n
n
c
Ряд
Радиус
сходи-
мости
Ряд
Радиус
сходи-
мости
0!n
n
z
n
z
e
R
0
1
1
1
1
)1(
)1(
)1(
)1ln(
k
k
k
n
n
n
z
k
nk
z
n
z
1R
0
12
)!12(
)1(
sin
n
n
n
z
n
z
R
0
2
)!2(
)1(
cos
n
n
n
z
n
z
R
0
12
)!12(
1
sh
n
n
z
n
z
R
0
2
)!2(
1
ch
n
n
z
n
z
R
0
1
1
n
n
z
z
1R
1
1
2
)1(
1
n
n
nz
z
1R
0
1
1
n
nn
za
az
||1a
R
0
1
11
n
n
n
z
a
za
aR
Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле
, (9)
где
– производная п-го порядка функции
в точке
.
Радиус сходимости R степенного ряда определяется формулой Коши-Адамара
, (10)
где
– верхний предел последовательности
.
В таблице 8 указаны некоторые функции, представленные в виде
разложения в ряд Тейлора.
Таблица 8
Разложение некоторых функций в ряд Тейлора по степеням z
14
Нули аналитической функции. Изолированные особые точки
)(zf
Dz
0
)(zf
0)(
0
zf
0
z
)(zf
0
k
c
0)(
0
)(
zf
k
)(zf
0
z
}{
)(lim
0
zf
zz
)(lim
0
zf
zz
)(lim
0
zf
zz
)(zf
Rzzr ||
0
0r
R
1
0
0
00
)(
)()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zz
c
zzczzczf
0
0
1
00
)()()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzczzczzczf
...,2,1,0,
)(
)(
2
1
1
0
ndz
zz
zf
i
c
n
n
0
z
Rrzz
,||
0
0
0
)(
n
n
n
zzc
Пусть
называется нулем функции
Порядок k нуля
равного нулю коэффициента в разложении в ряд Тейлора (
не равной нулю производной в точке
Рассмотрим поведение ФКП
является аналитической функцией в области D. Точка
функции
, если
определяется порядком первого, не
.
), или первой,
.
в особых точках, где нарушается
аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.
Изолированная особая точки
– устранимой особой точкой, если
– полюсом, если
– существенно особой, если
C
называется
существует и конечен;
;
не существует.
Ряд Лорана. Вычеты
Теорема Лорана. Функция
,
, представляется в этом кольце сходящимся рядом
или
Коэффициенты ряда Лорана вычисляются по формуле
где – произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку
, в частности, – окружность
, аналитическая в кольце
(11)
(12)
, (13)
.
,
Ряд
называется правильной частью ряда Лорана,
15
ряд
1
0
)(
n
n
n
zz
c
1
0
)(
n
n
n
zzc
}|{|
01
RzzK
n
n
n
cR||lim
1
}|{|
02
rzzK
n
n
n
cr||lim
1
rzzzzczf
n
n
n
||0,)()(
0
0
0
||,)(
0
zRzczf
n
n
n
rzzzzczzczf
k
k
k
nk
k
k
||0,)()()(
0
0
0
1
0
||,)(
1
0
zRzczczf
n
k
k
k
k
k
k
0
z
)(zf
0
n
c
0
k
c
nk
0
z
)(zf
0
n
c
0
k
c
nk
или
называется главной частью ряда Лорана.
Ряд Лорана сходится
сходится правильная и главная части. Кольцо
сходимости ряда Лорана можно найти с помощью радиусов сходимости рядов.
Правильная часть сходится на множестве
главная часть сходится на множестве
, где
, где
.
Утверждение. 1. Для того чтобы особая точка функции была ее
устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении
функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть, т.е.
, (14)
. (15)
,
2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и
достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой
точки содержала конечное число членов, т.е.
, (16)
. (17)
Порядок полюса – номер старшего члена главной части ряда Лорана
функции в ее разложении в окрестности полюса называется.
Точка
разложении (16)
Точка
С является полюсом порядка п функции
, а все
при
.
является полюсом порядка п функции
, если в
, если в
разложении (17)
, а все
при
.
16
3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой
rzzzzczf
n
n
n
||0,)()(
00
||,)( zRzczf
n
n
n
)(res0zf
z
)(zf
0
z
}{
RzzzzOdzzf
i
zf
z
||0:\)(,)(
2
1
)(res
000
0
||:\)(,)(
2
1
)(res zROdzzf
i
zf
01
,)(res
0
zczf
z
01
,)(res zczf
)(zf
CDD
Dzk
n
k
z
C
zfidzzf
k
1
)(res2)(
0)(res)(res
1
zfzf
n
k
z
k
0
z
точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в
окрестности этой точки содержала бесконечное число членов, т.е.
, (18)
. (19)
Вычетом (
изолированной особой точке
, res – residu (фр.) – вычитать) функции
C
Утверждение. Так как в окрестности изолированной особой точки
функция разлагается в ряд Лорана, то
Основная теорема о вычетах. Если функция
в
называется интеграл
, (20)
. (21)
С, (22)
. (23)
является
аналитической в
, то справедливо равенство
Обобщенная теорема о вычетах.
1. Если конечная особая точка
за исключением конечного числа особых точек
. (24)
. (25)
Вычисление вычетов в изолированных особых точках
является устранимой особой точкой, то
17
0)(res
0
zf
z
. (26)
0
z
]))(([lim
)!1(
1
)(res
0
1
1
0
0
n
n
n
zz
z
zzzf
dz
d
n
zf
0
z
)])(([lim)(res
0
0
0
zzzfzf
zz
z
0
z
)(
)(
)(
z
z
zf
)(),( zz
0
z
0)(,0)(,0)(
000
zzz
)(
)(
)(
)(
res
0
0
0
z
z
z
z
z
0
z
1
)(res
0
czf
z
)(zf
2
0
)sin,(cos dxxxR
),()sin,(cos vuRxxR
ix
ez
]2;0[
1|| z
2arg0 z
z
z
ii
ee
x
z
z
ee
x
ixixixix
1
2
1
2
sin,
1
2
1
2
cos
2.1. Если
В частности, если
2.2. Если
– аналитические в точке
3. Если
– полюс порядка n, то
– П(1), т.е. полюс первого порядка, то
.
– полюс 1-го порядка, т.е. П(1), функции
и
. (28)
– существенно особая точка, то
. (29)
. (27)
, где
, то
Алгоритм вычисления контурных интегралов с помощь вычетов
1. Найти особые точки функции
2. Определить, какие из них расположены в области D, ограниченной
контуром С. Сделать чертеж: изобразить контур С и отметить особые точки.
3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области.
4. Записать результат по формуле (24).
.
Применение вычетов к вычислению интегралов от
функций действительной переменной
1. Интегралы вида
Здесь
Замена
переводит отрезок
– рациональная функция аргументов u и v.
.
в окружность
,
. При этом
.
18
Из
zeix
iz
dz
ie
dz
dxdzdxie
ix
ix
1||
2
0
1
2
1
,
1
2
1
)sin,(cos
z
iz
dz
z
z
iz
zRdxxxR
dxxf )(
R
R
R
dxxfdxxf )(lim)(
];[ RR
RR
CC
R
RC
R
RC
dzzfdzzfdxxfdzzfdxxfdzzf )()()()()()(
R
C
0Im,|| zRz
,)()(lim)(lim
R
CC
R
R
R
R
dzzfdzzfdxxf
.)(lim)()(
R
C
R
C
dzzfdzzfdxxf
dxxR )(
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
m
n
)(xP
n
)(xQ
m
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
m
n
2 nm
получаем
. Таким образом,
В этой формуле интеграл справа – это интеграл от рациональной
функции, особыми точками которой являются только полюсы.
. (30)
2. Интегралы вида
.
Здесь интеграл понимается в смысле главного значения, т.е
. Отрезок
действительной оси рассматривается
как часть замкнутого контура С, состоящего из отрезка и дуги окружности.
Тогда интеграл по контуру записывается по формуле
,
где
– дуга окружности
. Найдем предел
(31)
3. Интегралы вида
Здесь
– рациональная функция переменно х,
.
и
– многочлены степени п и т соответственно.
Утверждение. Пусть функция
a)
;
удовлетворяет условиям
19
b)
0)( xQ
m
0Im,)(res2)(
1
k
p
k
z
zzRidxxR
k
0Im,)(res2)(
1
k
p
k
z
zzRidxxR
k
)(xR
0
)(2)( dxxRdxxR
dxexR
xi
)(
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
m
n
1nm
0)( xQ
m
0
0Im,])([res2)(
1
k
p
k
zi
z
xi
zezRidxexR
k
0
0Im,])([res2)(
1
k
p
k
zi
z
xi
zezRidxexR
k
0
0Im,])([resIm2cos)(
1
k
p
k
zi
z
zezRxdxxR
k
0Im,])([resRe2sin)(
1
k
p
k
zi
z
zezRxdxxR
k
Тогда
для действительных х.
, (32)
. (33)
Замечание. Если
– четная функция, то
4. Интегралы вида
Утверждение. Пусть функция
a)
b)
;
для действительных х.
Тогда
1) при
. (34)
.
удовлетворяет условиям
; (35)
2) при
; (36)
3) при
, (37)
. (38)
20
Контрольная работа № 1
Вариант № 1
Вариант № 2
1. Вычислить:
6
10
)1(
)1(ii
5
7
)1(
)1(ii
2. Записать комплексное число в тригонометрической форме:
iz 33
iz 55
3. Решить уравнение и изобразить корни на чертеже:
01
6
z
064
6
z
4. Выяснить, какая линия определяется уравнением:
6Im3|| zz
12Re||3 zz
5. Дана мнимая часть дифференцируемой функции. Найти эту функцию:
22
),(
yx
y
yyxv
22
1),(
yx
y
yxv
4
8
)1(
)1(ii
4
12
4
12
42
12
44
48
4
8
2
)1(
)11(
)1(
)1(
)1(
)1()1(
)1()1(
)1(
)1( ii
i
i
ii
ii
i
i
iz 1
211|| z
4
1
1
1
arctgarctg
4
sin
4
cos2
iz
Пример решения контрольной работы № 1
1. Вычислить:
.
Решение:
умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю
.
Приведем комплексное число
к тригонометрическому виду. Для этого
найдем модуль и аргумент числа:
Таким образом,
,
.
.
Продолжим вычисления, воспользовавшись формулой Муавра
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]