Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задания для мониторинга знаний студентов по теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
41
.
)!2(
)2()1(
!4
16
)!2(
)2()1(
21
)!2(
)2()1(
2
4
1
21
)!2(
)2()1(
)!12(
)2()1(
)!02(
)2()1(
21
)!2(
)2()1(
212cos)(
3
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
121
0
020
0
2
2
2
2
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
nn
nn
n
nn
n
zz
n
z
z
n
zz
z
n
zzz
z
n
z
zzzf
0
0
z
3k
)(1zf
4m
)(2zf
km
134)( km
)(
)(
)(
2
1
zf
zf
zf
0
0
z
Так как точка
нулѐм порядка
порядка
Ответ: точка
функции
функции
– П(1).
является нулѐм порядка
, причѐм
, то она является полюсом
.
функции
и
42
Контрольная работа № 4
Вариант № 1
Вариант № 2
1. Вычислить контурный интеграл
2
1
||
3
32
4
32
z
dz
z
zz
2
1
||
5
43
532
z
dz
z
zz
2. Вычислить интеграл
2
0
sin324 t
dt
2
0
sin625 t
dt
3. Вычислить интеграл
222
)4)(9( xx
dx
)16()4(
222
xx
dx
4. Вычислить интеграл
dx
x
xx
22
)1(
sin
dx
x
x
22
)1(
2cos
1||
4
23
2
13
z
dz
z
zz
002
4
zz
1|| z
0z
Пример решения контрольной работы № 4
1. Вычислить контурный интеграл
.
Решение:
1. Найдем изолированные особые точки подынтегральной функции
.
2. Построим область D, ограниченную контуром
(рисунок 12)
, и отметим точку
43
1|| z
0z
z
zzzz
z
z
z
z
zz 1
2
11
2
31
2
1
2
1
2
3
22
13
2444
2
4
3
4
23
0
2
1
4
c
0z
1
z
2
1
1
c
2
1
)(res
0zfz
iizfidz
z
zz
z
z
2
1
2)(res2
2
13
0
1||
4
23
i
2
0
sin154 t
dt
iz
dz
ie
dz
dt
iz
z
tdtiedzez
it
itit
2
1
sin;
2
]2;0[
2arg0,1|| zz
Особая точка
Рисунок 12. Область D, ограниченная контуром
попадает в область D.
3. Разложим подынтегральную функцию в ряд Лорана
;
количество членов главной части ограничено (всего три), коэффициент
, следовательно, точка
коэффициент при
4. По формуле (24)
Ответ:
.
равен
является полюсом четвертого порядка.
, поэтому вычет
, согласно (22).
.
2. Вычислить интеграл
.
Решение:
воспользуемся заменой
Такая замена переводит отрезок
в окружность
.
Подставим в интеграл
44
1||
2
1||
2
1||
15815
2
2
)1(158
1
2
1
154
zzz
izz
dz
iz
ziz
iz
dz
z
z
i
iz
dz
Выпишем подынтегральную функцию
15815
2
)(
2
izz
zf
;77,0
15
3
152
28
;29,1
15
5
152
28
,44064)15(154)8(,015815
21
222
ii
ii
zii
ii
z
iiDizz
1|| z
21
, zz
21
, zz
iz
15
5
1
iz
15
3
2
2
z
)(
2
zz
rzz ||0
2
15
2
15
3
15
5
||
21
iizzr
найдем особые точки
.
;
2. Построим область D, ограниченную контуром
(рисунок 13)
Рисунок 13. Область D и точки
, и отметим точки
Точка
не попадает в область D, точка
попадает в
область D.
Определим тип особой точки
степеням
в кольце
, используя разложение в ряд Лорана по
, где
.
Разложим функцию f(z) в сумму простейших дробей
45
21
21
2
15
1
))((15
2
15815
2
)(
zz
B
zz
A
zzzz
izz
zf
,
0,0 BA
1
1
)(
zz
A
zf
2
2
)(
zz
B
zf
2
z
)(2zf
0
1
Bc
2
z
)(1zf
2
z
2
z
iz
15
3
2
.
1
15
2
1
15
2
15
5
15
3
1
15
2
)(15
2
)(15
2
lim
)(
))((15
2
lim
))((15
2
res)(res
121
2
2121
2
2
22
i
iii
zzzz
zz
zzzzzzzz
zf
zz
zz
zz
2
1
2)(res2
sin154
2
2
0
i
izfi
t
dt
z
2
где А и В – неопределенные коэффициенты, при этом
.
Обозначим
Точка
,
является особой для функции
.
, следовательно, ее
разложение в ряд Лорана представляет его главную часть. Причем количество
членов главной части ограничено и равно одному. Поскольку
, то
– полюс 1-го порядка.
Для функции
точка
не является особой, следовательно,
разложение этой функции в ряд Лорана представляет его правильную часть,
которая не влияет на определение типа особой точки
3. Найдѐм вычет в точке
– П(1) по формуле (27)
.
4. По формуле (30)
Ответ:
.
.
46
3. Вычислить интеграл
2222
)15()3( xx
dx
)(
)(
)15()3(
1
)(
2222
xQ
xP
xx
xR
m
n
1)(
0
xP
2222
8
)15()3()( xxxQ
2808 nm
15,30)15()3(
222222
xxxx
0)()(
8
xQxQ
m
2222
)15()3(
1
)(
zz
zR
.15,151515015
;3,33303
43
222
21
222
izizizz
izizizz
,
)()()()(
)()()()(
1
)15()3(
1
)(
2
4
4
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
4
2
3
2
2
2
1
2222
zz
H
zz
G
zz
F
zz
E
zz
D
zz
C
zz
B
zz
A
zzzzzzzzzz
zR
0,0,0,0 HFDB
4321
,,, zzzz
Решение:
1. Рассмотрим подынтегральную функцию
.
;
числитель представляет собой полином степени п = 0:
представляет собой полином степени т = 8:
Проверим условия:
a)
– верно;
b) найдем корни знаменателя:
следовательно,
2. Найдем особые точки функции
для действительных х.
Представим функцию R(z) в виде суммы простейших дробей
, знаменатель
.
,
причем
точки
являются полюсами второго порядка.
. Тогда можно сделать вывод, что особые
47
3. Отметим на плоскости z особые точки (рисунок 14)
4321
,,, zzzz
0Im z
iz 3
2
iz 15
4
2
2
2
4
2
3
2
2
2
1
)(
)()()()(
1
lim
)!12(
1
)(res
2
2
zz
zzzzzzzz
zR
zz
z
;0
12)32(
2424
)153()32(
3234)153(2
)15()3(
)3(4)15(2
lim
)15()3(22)15()3(2lim
)15()3(lim
)()()(
1
lim
3333323
2
322223
222
2
4
2
3
2
1
2
2
22
ii
ii
ziz
izzz
zizzziz
ziz
zzzzzz
zz
zz
zzzz
2
4
2
4
2
3
2
2
2
1
)(
)()()()(
1
lim
)!12(
1
)(res
4
4
zz
zzzzzzzz
zR
zz
z
1)
Рисунок 14. Особые точки
Выберем точки, расположенные выше оси Ох, т.е. те, для которых
:
,
.
Найдем вычеты по формуле (27)
2)
48
.
151440
1
1515812144
144
)(1515812
22120
)152()315(
)415(2152154
)15()3(
)3(2)15(4
lim
)15()3(2)15()3(22lim
)15()3(lim
)()()(
1
lim
3
33332
2
322232
222
2
3
2
2
2
1
4
4
44
ii
i
i
ii
izz
zizz
izzizzz
izz
zzzzzz
zz
zz
zzzz
2
1
2222
)(res2
)15()3(
k
z
zRi
xx
dx
k
.
15720151440
2
151440
1
02)(res)(res2
42
i
i
i
izRzRi
zz
15720
dx
xx
x
x
)9)(1(
2
sin
22
)(
)(
)9)(1(
)(
22
xQ
xP
xx
x
xR
m
n
xxP )(
1
4m
)9)(1()(
22
4
xxxQ
1314 nm
9,10)9)(1(
2222
xxxx
0)()(
4
xQxQ
m
4. По формуле (32)
Ответ:
.
4. Вычислить интеграл
1. Рассмотрим рациональную дробь
.
Решение:
;
числитель представляет собой полином степени п = 1:
представляет собой полином степени
:
, знаменатель
. Проверим
условия:
a)
следовательно,
b) найдем корни знаменателя:
– верно;
для действительных х.
,
49
2. Найдем особые точки функции
)9)(1(
)(
22
zz
z
zR
.3,39909
;,101
43
222
21
222
izizizz
izizizz
,
))()()((
)9)(1(
)(
4321
4321
22
zz
D
zz
C
zz
B
zz
A
zzzzzzzz
z
zz
z
zR
0,0,0,0 DCBA
4321
,,, zzzz
0Im z
iz
2
iz 34
zi
ezR)(
2
1
)(
))()()((
lim))((res
2
4321
2/
2
2
zz
zzzzzzzz
ze
ezR
iz
zz
zi
z
Представим функцию R(z) в виде суммы простейших дробей
причем
. Тогда можно сделать вывод, что особые точки
являются полюсами первого порядка.
3. Отметим на плоскости z особые точки (рисунок 15)
Рисунок 15. Особые точки функции R(z)
Выберем точки, расположенные выше оси Ох, т.е. те, для которых
:
Найдем вычеты функции
1)
,
.
, где
, по формуле (27)
50
;
16
1
82
)9)(()9)((
lim
2/1
2/1
2
2/
2
1
2/
2
2
e
i
ie
iii
ei
zzz
ze
iiz
zz
)(
))()()((
lim))((res
4
4321
2/
4
4
zz
zzzzzzzz
ze
ezR
iz
zz
zi
z
;
16
1
68
3
)33)(19(
3
))(1(
lim
2/3
2/32/3
3
2
2/
2
4
e
i
ie
ii
ei
zzz
ze
iiz
zz
2
1
22
))((resRe2
)9)(1(
2
sin
k
zi
z
ezRdx
xx
x
x
k
2/32/12/32/1
11
8
16
1
16
1
Re2
eeee
2/32/1
11
8
ee
2)
4. По формуле (38)
Ответ:
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]