Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в техническую физику. Учебно-методическое пособие
.pdf
Шредингера.
форма электронного облака, определяемая функцией
Причем каждому состоянию будет соответствовать характерная
2
[18]. Примеры
nlm
электронных облаков для различных состояний приведены на рис. 51.
Рис. 51
Рассмотрим s-состояния. Здесь орбитальное и магнитные квантовые
числа равны нулю, значит для каждого n имеется только одна Ψ-функция.
Равенство
l = 0 говорит об отсутствии у электрона момента импульса, а значит
и предпочтительных направлений движения [18]. Следовательно, электронные
облака s-состояний сферически симметричны (см. рис. 51). Совершенно иначе
обстоит дело для p-состояний. Значению
значения магнитного квантового числа
облака для 2
p-состояний представляют собой более или менее вытянутые
l = 0 могут соответствовать три
m = 0, m = –1, m = +1. Электронные
«восьмерки», ориентированные вдоль соответствующей координатной оси (см.
рис. 51). Электронные облака с большим значением орбитального квантового
числа имеют более сложный вид.
3.9. Принцип Паули. Спин электрона
Как мы видели, состояния единственного электрона в атоме водорода
характеризуются тройкой квантовых чисел n, l, m и описываются собственными
волновыми функциями Ψ
Причем каждому состоянию будет соответствовать характерная форма
электронного облака, определяемая функцией
, являющимися решениями уравнения Шредингера.
nlm
2
.
nlm
71
Возникает вопрос — как квантовомеханически описать атомы с большим
числом электронов? Ведь для этого надо было бы решить уравнение
Шредингера, в котором волновая функция и выражение для потенциальной
энергии содержали бы очень большое число переменных. Например, даже для
гелия, у которого всего два электрона пси-функция зависела бы от
6 пространственных координат, а потенциальная энергия включала бы
слагаемые, описывающие взаимодействие каждого электрона с ядром и между
собой. Ясно, что это крайне сложно.
Поэтому был предложен другой подход — так называемое
одноэлектронное приближение. Здесь каждый электрон отдельно описывается
своей волновой функцией Ψ(
x, y, z), а его движение рассматривается в поле ядра
и всех остальных электронов. Это эффективное поле (его называют
самосогласованным, т. к. оно зависит от состояний всех остальных
электронов) считается сферически симметричным и поэтому описание свойств
такого электрона будет не сильно отличаться от описания электрона в атоме
водорода. А именно состояние каждого электрона в многоэлектронном атоме
будет характеризоваться теми же квантовыми числами n, l, m. Однако благодаря
взаимодействию электронов вырождение будет снято и уровни с разными l и m
будут обладать разными энергиями [18].
Решение уравнения Шредингера позволяет найти возможные уровни
энергии в многоэлектронном атоме, но остается открытым вопрос — а как
будут заполняться эти уровни электронами? В классической физике ответ был
бы очевиден — займут самый низший энергетический уровень. Для микромира
этот ответ неверен. В атомах распределение электронов по уровням энергии
подчиняется принципу Паули [18]. Для его пояснения обратимся к таблице
Менделеева.
Как уже было отмечено выше, данному квантовому числу n отвечает n
разных пси-функций. Первые значения n
2
будут равны 1, 2 и 9. Три первых
2
периода таблицы Менделеева завершаются атомами гелия, неона и аргона
2
которые содержат соответственно 2, 8 и 18, т. е. 2n
электронов. Как оказалось,
это не случайность, а очень важная закономерность, согласно которой
одинаковой Ψ-функцией могут обладать только 2 электрона. Иными словами, на
каждом из энергетических уровней могут размещаться не более двух
электронов. Последнее утверждение представляет собой одну из
72
формулировок принципа Паули — одного из важнейших законов квантовой
механики [18].
Используя принцип Паули, можно «разместить» электроны сложного
атома по квантовым числам и, следовательно, по уровням энергии и значениям
вращательного импульса [18]. У гелия 2 электрона и они оба могут занять
уровень. У лития 3 электрона и третьему электрону на
должен занять следующий уровень, т. е. 2
4 электрона. Два из них будут на 1
s-уровне, два других на 2s-уровне. Пятому
электрону атома бора придется размещаться на 2
s-уровень. У атома бериллия
р-уровне. На этом уровне всего
1s-уровне места нет, и он
1s-
6 мест, и они будут заполняться электронами пока, двигаясь по таблице
Менделеева мы не дойдем до неона.
Обозначение
оболочки
Атомный
номер
элемента Z
1 H 1 – – – – – – –
2 He 2 – – – – – – –
Обозначение
подоболочки
Символ
химического
элемента
K L M N
1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p
Число электронов на подоболочке
3 Li 2 1 – – – – – –
4 Be 2 2 – – – – – –
5 B 2 2 1 – – – – –
6 C 2 2 2 – – – – –
7 N 2 2 3 – – – – –
8 O 2 2 4 – – – – –
9 F 2 2 5 – – – – –
10 Ne 2 2 6 – – – – –
11 Na 2 2 6 1 – – – –
12 Mg 2 2 6 2 – – – –
13 Al 2 2 6 2 1 – – –
14 Si 2 2 6 2 2 – – –
15 P 2 2 6 2 3 – – –
16 S 2 2 6 2 4 – – –
17 Cl 2 2 6 2 5 – – –
18 Ar 2 2 6 2 6 – – –
19 K 2 2 6 2 6 – 1 –
20 Ca 2 2 6 2 6 – 2 –
21 Sc 2 2 6 2 6 1 2 –
22 Ti 2 2 6 2 6 2 2 –
73
23 V 2 2 6 2 6 3 2 –
24 Cr 2 2 6 2 6 5 1 –
25 Mn 2 2 6 2 6 5 2 –
26 Fe 2 2 6 2 6 6 2 –
27 Co 2 2 6 2 6 7 2 –
28 Ni 2 2 6 2 6 8 2 –
Таким образом, принцип Паули разрешает двум электронам занимать
уровень с одинаковой тройкой квантовых чисел n, l, m. Возникает вопрос,
а отличаются ли чем-то эти два электрона? Ответ — да, они отличаются
направлением собственного момента импульса электрона — направлением
спина.
Представления о спине ввели американские физики Д. Уленбек
и С. Гаудсмит в 1925 году. Они предположили, что электрон обладает
собственным механическим моментом импульса, не связанным с орбитальным
движением электрона в пространстве. Первоначально предполагалось, что спин
есть следствие вращения электрона вокруг своей оси. Отсюда и термин — спин
(от английского “to spin” —вращаться). Однако такая трактовка спина при
помощи понятий классической физики неверна. Спин электрона (и всех
других микрочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического
аналога. Это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его
заряду и массе [30].
Итак, в настоящее время доказано, что кроме орбитального
механического момента электрон обладает собственным моментом импульса —
спином. Наличие собственного момента импульса электрона было обнаружено
экспериментально в опытах Штерна и Герлаха. Целью опытов являлось
измерение магнитных моментов атомов. Сущность опыта заключалась
в следующем. Узкий пучок атомов пропускался через неоднородное магнитное
поле. Для атомов с одним валентным электроном в
s-состоянии собственный
орбитальный механический и магнитный моменты раны нулю, следовательно,
такой пучок атомов не должен испытывать отклонения в неоднородном
магнитном поле. Но в опытах наблюдалось расщепление пучка на два,
обусловленное пространственным квантованием спинового магнитного
момента [34].
Спиновый момент импульса электрона определяется формулой [34]
74
0,5
s
L
Lss
s
1.
(66)
Здесь
s-спиновое квантовое число. Спиновое квантовое число имеет
1
только одно значение
s
. Проекция спина на направление внешнего
2
магнитного поля может принимать значения [34]
,
m
zs
m
где
— магнитное спиновое число. Так как существует всего 2 ориентации
s
спинового момента на направление внешнего поля, то
В связи с существованием спина электрона к квантовым числам
нужно добавить еще и квантовое число
m
(67)
m
1
s
.
2
n, l, m
. Таким образом, состояние каждого
s
электрона в атоме характеризуется набором четырех квантовых чисел: n, l, m
[34].
и m
s
Наличие у электрона спина позволяет дать еще одну формулировку
принципа Паули [32]. В каждом квантовом состоянии не может быть более
одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел n, l, m и m
s
Другими словами, если в состоянии с числами n, l, m находятся два электрона,
то они обладают противоположно направленными спинами.
3.10. Молекулы. Химическая связь
Как известно молекула — это устойчивая система, образованная из
нескольких атомов (в простейшем случае двух атомов) соединенных между
собой химическими связями. Устойчивому положению атомов в молекуле
соответствует вполне определенное расстояние между ядрами атомов (r
длина химической связи). Попытки уменьшить или увеличить r
вызывают
0
силы отталкивания или притяжения, соответственно. Так что каждый атом
в молекуле и молекула в целом находятся в своеобразной потенциальной яме.
Наподобие тому, как это было при рассмотрении электрона в потенциальной
яме [18].
0
—
Химические связи обусловлены взаимодействием внешних, валентных
электронов атомов. Это взаимодействие сопровождается изменением
электронной плотности, т. е. перегруппировкой электронов взаимодействующих
атомов, а также изменением энергетического состояния системы. При
75
образовании молекул из атомов энергия выделяется. Для того, чтобы разрушить
N
молекулы, надо разорвать химические связи, т. е. затратить энергию. Эта
энергия называется энергией связи — Е
. Наиболее часто в молекулах
св
встречаются два типа связи: ионная и ковалентная.
Ионная связь (например, в молекулах NаС1, КВr) осуществляется
электростатическим взаимодействием атомов при переходе электрона одного
атома к другому, т. е. при образовании положительного и отрицательного ионов.
Схема образования молекулы NаС1 показана на картинке.
Ионная связь
NaCl — хлорид натрия (поваренная соль)
23 35 23 35
11 17 11 17
00 +1–1
aCl ))) Cl ))) NaCl )) Cl )))
2 8 1
2 8 7
Ион
натрия
2 8
2 8 8
Ион
хлора
–
Cl
Na
+
Cl
+
Na
Рис. 52
Натрий и хлор — это атомы с незавершенными энергетическими
уровнями. Очевидно, для их завершения атому натрия легче отдать один
электрон, чем присоединить семь, а атому хлора легче присоединить один
электрон, чем отдать семь. При химическом взаимодействии атом натрия
полностью отдает один электрон, а атом хлора принимает его [20].
Электростатическое притяжение этих ионов и обеспечивает прочную ионную
связь.
Ковалентная связь (например, в молекулах Н
, С2, СО) осуществляется
2
при обобществлении валентных электронов двумя соседними атомами (спины
валентных электронов должны быть антипараллельны). Такое обобществление
электронов, например, в молекуле водорода H
76
приводит к специфическому
2
взаимодействию между ними, называемому обменным взаимодействием. Это
чисто квантовый эффект, не имеющий классического объяснения, но его
представляют так: электрон каждого из атомов молекулы водорода проводит
некоторое время у ядра другого атома и, следовательно, осуществляется связь
обоих атомов, образующих молекулу. При сближении двух водородных атомов
r
до расстояний
возникает их взаимное притяжение и образуется устойчивая
0
молекула водорода. Качественно образование ковалентной связи можно
пояснить если ответить на вопрос, а появляется ли выигрыш в энергии при
спаривании электронов? Ответ — да, появляется. Вспомним опять
квантовомеханическую задачу об электроне в потенциальной яме. Там было
показано, что чем больше размер ямы (а), тем меньше нулевая энергия
электрона.
2
Ema
h
.
0
8
2
Следовательно, расширение пространства для движения электрона
в молекуле по сравнению с атомом будет приводить к уменьшению энергии,
а значит это энергетически выгодно.
Более последовательное, квантовомеханическое описание строения
молекул получают на основе приближенного решения волнового уравнения
Шредингера. Впервые такой расчет был проведен в 1927 году. Гейтлером
и Лондоном для молекулы водорода. Записанное ими уравнение учитывало
следующие виды взаимодействия: 1) силы притяжения между ядрами
и электронами; 2) силы отталкивания между ядрами и между электронами;
3) собственное движение электронов, т. е. учтены спиновые характеристики.
В результате расчета впервые были получены значения энергии связи, которые
хорошо согласовывались с экспериментальными данными. Качественно
результаты решения волнового уравнения и схема образования молекулы
поясняются следующей картинкой.
77
Рис. 53
При сближении атомов водорода до расстояния r0 происходит
уменьшение потенциальной энергии системы и образуется устойчивая молекула
. Дальнейшее сближение атомов ведет к возрастанию энергии, вследствие
Н
2
возрастания межъядерного отталкивания. Кривая (1) проходит через минимум
r
при
= 0,074 нм, что соответствует равновесной длине связи в молекуле Н2.
0
Ясно, что такая картина возможна лишь для двух электронов
с противоположными спинами.
Представим себе, что к образовавшейся молекуле водорода приближается
третий атом. Аргументы, использованные выше, уже неприменимы. Третий
электрон не может объединить свою область с областью движения электронов
в молекуле водорода, этого не разрешает принцип Паули. В молекуле водорода
оба свободных места уже заняты двумя электронами с противоположными
спинами [18].
Итак, ковалентная химическая связь обеспечивается парой электронов
с противоположными спинами. Если в ионной связи речь шла о передаче
электронов одного атома другому, то здесь связь осуществляется обобщением
электронов, как бы созданием ими общего пространства для движения.
Расширение пространства, в котором электрон может двигаться, ведет
к уменьшению энергии и объясняет, таким образом, образование
потенциальной ямы [18].
78
Образование молекул путем объединения электронных облаков
электронов с противоположными спинами является основным типом связи,
осуществляющимся в органических молекулах [18].
Каждый атом способен образовать ограниченное число гомеополярных
связей, при этом в создании каждой связи участвует пара электронов
с противоположными спинами, имеющая общее «жизненное пространство»
в виде перекрывающихся облаков их волновых функций [18].
Как мы знаем,
р- и d-электроны имеют Ψ-функции, вытянутые в определенных
но
направлениях. Отсюда следует, что ковалентная связь, образованная всеми
электронами, кроме
Обе схемы химической связи до известной степени идеальны. На
практике мы сталкиваемся со случаями, в которых физические и химические
свойства молекулы приводят нас к необходимости принять промежуточный
механизм связи. Если при ионной связи электрон целиком отдается одним
атомом другому, а в ковалентной связи каждый электрон принадлежит поровну
обоим связанным атомам, то в промежуточных случаях электроны,
осуществляющие связь, могут больше времени проводить около одного атома,
чем у другого [18].
Такая модель допускает, например, существование примерно ионной
связи, при которой электроны основное время принадлежат отрицательному
s-электроны имеют сферически-симметричные Ψ-функции,
s, будет направленной связью [18].
иону, или примерно ковалентной связи, при которой электроны проводят почти
одинаковое время у обоих связанных атомов. Возможны любые промежуточные
связи, любого процента «ионности» [18].
79
Глава 4. Электрофизические свойства материалов МСТ
4.1. Элементы зонной теории кристаллических твердых тел
В первой части нашего курса мы установили, что при достаточном
сближении атомов (молекул) между ними возникает взаимодействие,
проявляющееся в появлении сил притяжения и отталкивания. В результате, при
некоторых вполне определенных расстояниях (обычно порядка 0,2–0,4 нм)
между этими силами устанавливается равновесие и если это энергетически
выгодно, то система из таких атомов (молекул) образует кристаллическое
твердое тело.
Природа сил связи в кристаллических твердых телах может различаться
(ионная, ковалентная, металлическая, Ван-дер-Ваальсова), но главное — это то,
что в кристаллах реализуется дальний порядок — строгая периодичность
образующих его элементов структуры в пространстве.
До сих пор, говоря о строении твердых тел, мы не останавливались
специально на роли электронов в создании свойств и структуры этих тел.
Между тем
по-сути центральный вопрос современной электроники и ее практического
приложения в МСТ.
тем, связанных с электронным строением кристаллов.
При этом сразу подчеркнем, что электроны в твердом теле, так же, как
и электроны в атоме, подчиняются законам квантовой механики.
Следовательно, описание электронного строения твердого тела будет
заключаться, прежде всего, в указании распределения электронов по
энергиям.
Энергетическая диаграмма изолированного атома представляет собой
набор дискретных энергетических уровней. Твердое тело, кристалл, является
единой системой множества взаимодействующих атомов.
вопрос о том, как ведут себя электроны в твердых телах — это
Поэтому нам необходимо ознакомиться с рядом ключевых
Потенциальная энергия (далее для краткости просто — поле)
кристаллической решетки обладает пространственной периодичностью.
Ограниченность размеров кристалла и периодичность поля внутри кристалла
приводят к тому, что энергетические уровни, соответствующие
изолированному атому (рис. 54), вследствие взаимодействия атомов,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]