Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в теорию фракталов. Математические аспекты и некоторые физические приложения. Учебное издание

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ФГУП «РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР – ВНИИЭФ»

А. А. Тренькин

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФРАКТАЛОВ:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

И НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебное издание

Саров

2007

ББК 22.15я73 Т66 УДК 514 (075.8)

Тренькин А. А.

Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некото-

рые физические приложения. Учебное издание. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ,

2007. – 39 с.: ил.

ISBN 978-5-9515-0088-5

В данном издании представлены основные идеи и понятия фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, дает тематическом аппарате дробного интегро-дифференцирования и его физической трактовке.

Для студентов инженерно-физических специальностей.

ся представ-ление о ма-

ISBN 978-5-9515-0088-5 © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2007

ПРЕДИСЛОВИЕ

Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в различные области естествознания приводит к необходимости давать начальные сведения по теории фракталов студентам инженерно-физических специальностей. В настоящее время поток научных публикаций, связанных с фракталами, лавинообразно растет. Однако большая часть литературы представляет собой статьи в научных журналах, а также специальные мо первоначального ознакомления, остальная литература – научнопопулярная и не дает представления о математическом аппарате дробного интегродифференцирования и его физической трактовке. Пособие ставит своей целью дать первоначальное представление о фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, а также дается пред матическом аппарате дробного интегродифференцирования и его физической трактовке.

нографии и не подходит для

ставление о мате-

1. ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА

Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров – от атомарных масштабов до Вселенной – занимает центральное место в моделях, которые мы строим, чтобы «понять» природу. До недавнего времени геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур (геометрия Евклида): прямых, многоугольников, окр

ужностей, сфер и т. д. Однако очевидно, что этот классический набор плохо применим для характеристики таких сложных объектов, как береговые линии материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры деревьев, кровеносно-сосудистая система человека и т. п. В последн

ее время для описания этих и им подобных образований используют новые геометрические понятия. Одним из таких понятий является понятие фрактала. Оно было введено в обращение выдающимся французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных стру

ктур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их в микроскоп с различным увеличением (так называемая масштабная инвариантность или скейлинг). В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших. Отметим, что для реального природного фрактала существуют некоторые минимальный

что при

ll< и

min

и максимальный

min

ll> самоподобие пропадает. Поэтому свойст-

max

масштабы длины такие,

max

ва природных фракталов имеет смысл рассматривать на масштабах

.lll<<

min max

Понятие точного самоподобия характерно лишь для так назы-

ваемых регулярных фракталов. Если вместо детерминированного

способа построения включить в алгоритм их создания некоторый

элемент случайности, то возникают случайные фракталы. Увеличенная часть такого фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают. Большая часть природных фрактальных объектов – случайные фракталы.

Размерность евклидова пространства, в котором располагается рассматриваемое фрактальное множество, называется размерностью пространства вложения.

2. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Понятие фрактальной размерности введем на примере измерения длины береговой линии – типичного фрактального объекта – от точки А до точки В (рис. 1).

Рис. 1

Покроем наш объект целиком квадратами со стороной l (если фрактал находится не в плоскости, а в n-мерном пространстве, его следует покрывать n-мерными кубами). Отметим, что вместо квадратов можно использовать любые другие фигуры, скажем, окружности. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N(l) квадратов. Тогда, ес

ли при достаточно малых l величина

N(l) меняется с l по степенному закону

()

Nll∝ , (1)

то D называется фрактальной размерностью этого объекта и явля-

⋅

′

NlN

′

ется его локальной характеристикой. Когда l стремится к нулю, мы учитываем все более мелкие извивы фрактала, при этом длина береговой линии () ()Ll Nl l≈⋅ обращается в бесконечность. Рассмот-

рим произведение

()

. (2)

При показателях d

< D произведение расходится, а при d > D стре-

мится к нулю. Мы приходим к более строгому определению фрактальной размерности D (называемой также размерностью Хаусдорфа – Безиковича): фрактальная размерность D множества есть критическая размерность, при которой произведение (2) меняет свое значение с нуля на бесконечность. Значение выражения (2) при d

= D часто конечно, но может быть равно нулю или бесконеч-

ности. Здесь существенно, при каком именно значении d величина (2) меняется скачком.

Формулу (1) можно переписать в виде

ln ( )

lim

=− . (3)

→

Для нахождения размерности регулярных фракталов можно пользоваться альтернативной (формулой 3). Пусть на некотором этапе покрытия регулярного фрактала нам пришлось использовать

()Nl

N(l) элементов характерного размера l, а на другом –

′

тов размера

Тогда фрактальная размерность может быть вычис-

элемен-

лена по формуле

⎛⎞

()

⎜⎟

()

⎛⎞

⎜⎟ ⎝⎠

⎝⎠

=−

, (4)

которая является следствием (1).

Вычислим фрактальную размерность для некоторых известных множеств.

1. Множество

N изолированных точек. Минимальное число

элементов, с помощью которого можно покрыть это множество,

равно, очевидно, N(l) = N и не зависит от размера элементов l. То-

гда по формуле (3) фрактальная размерность этого множества

D = 0. Это значение совпадает с обычной евклидовой размерностью

изолированной точки: точка – нульмерный объект.

2. Отрезок прямой линии длиной мерных отрезков длиной зок целиком, равно

l, которыми можно покрыть данный отре-

N(l) = L/l. Из (3) получаем D = 1, т. е. совпадает

L. Минимальное число одно-

с евклидовой размерностью прямого отрезка.

3. Область гладкой двумерной поверхности площадью ее покрытия необходимо

() /

lSl= квадратов (при достаточно

S. Для

малом их размере l). Тогда из (3) получаем D = 2.

Как видно из (1), «источником» самоподобия является степенная зависимость (с целочисленным или дробным показателем). Справедливо и обратное утверждение: если исследуемое явление проявляет степенную зависимость, мы имеем дело с фрактальным объектом. Часто дробные показатели законов, описывающих совершенно разные явления, оказываются похож

и, что может служить указанием на существование аналогичных универсальных закономерностей, лежащих в основе этих явлений.

3. ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА

Рассмотрим далее некоторые классические примеры регуляр-

ных фракталов.

3.1. Канторово множество

Алгоритм его построения следующий. Отрезок прямой единичной длины делится на три равные части и удаляется средний отрезок между точками 1/3 и 2/3 (при этом сами точки 1/3 и 2/3 остаются). Далее процедуре деления на три части подвергается каждый из двух оставшихся отрезков, и так продолжается до бесконечности (рис. 2).

∞

1/9

1/3

1/9

1/3

1/9 1/9

Рис. 2

Суммарная длина оставшегося множества равна нулю, так как

мы исключили в результате длину, равную 1:

12 4 1 24 11

++ += +++ = =

3927 3 39 3

Следовательно, возникшее множество представляет собой бесконечное число изолированных точек, которое и называется канторовым множеством, или канторовой пылью, и обозначается

Вычислим фрактальную размерность этого множества. Очевидно, что на

длиной

l = каждый. Пределу

n-м шаге построения мы имеем () 2

1/ 3

этому из (3) имеем

=− = ≈

⎛⎞

... 1 ... 1

⎜⎟ ⎝⎠

−

соответствует n →∞. По-

0l →

ln 2 ln 2

lim 0,63

→∞

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

ln3

С.

отрезков

Фрактальная размерность не является целым числом (точнее, это число трансцендентное) и принимает значение между нулем и единицей: она меньше евклидовой размерности пространства вложения (n

= 1), но больше топологической размерности элементов (то-

чек) этого множества. Это несчетное множество точек, обладающее мощностью континуума.

В общем случае, когда после первой итерации остается N от-

резков длиной r каждый, выражение для фрактальной размерности канторова множества имеет вид

= .

ln 1

()

Отсюда видно, что можно построить канторово множество с любой заданной размерностью из интервала 0

< D < 1.

Одномерное канторово множество может быть обобщено для случая двух и более измерений. Рассмотрим множество всех точек единичного квадрата, для которых как абсцисса, так и ордината принадлежат канторову множеству С (это так называемое умножение канторова множества само на себя, обозначаемое С

× С). Вы-

числим фрактальную размерность такого канторова множества, вложенного в двумерное пространство (рис. 3).

Рис. 3

() 4

Множество может быть покрыто

1/ 3 .

стороны

l =

Следовательно, из (3) получаем

lim 1 ,26

=− = ≈

→∞

ln 4 ln 4

⎛⎞ ⎜⎟

⎝⎠

ln3

квадратами с длиной

т. е. вдвое больше размерности одномерного множества С. Аналогично, для трехмерного произведения С

ln8

=≈.

× С × С можно получить

1,89

ln3

Отметим, что канторова пыль С × С × С, взвешенная в трехмерном

′

пространстве, настолько «разрежена», что ее фрактальная размерность не достигает даже значения 2.

3.2. Снежинка Кох

Возьмем равносторонний треугольник и каждую из сторон разделим на три равные части, уберем средние части и достроим равносторонние треугольники, как показано на рис. 4. Продолжая процедуру для каждой вновь образованной стороны, после бесконечно больш

ого числа итераций получим симметричную, похожую на снежинку, бесконечно изломанную кривую, называемую снежинкой Кох. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, нигде себя не пересекает.

Рис. 4

Вычислим фрактальную размерность снежинки по формуле (4). Покрытие исходного треугольника осуществляется тремя отрезками N(l) = 3 единичной длины l = 1. На следующем шаге соответственно имеем

() 12,Nl′=

= 1/3. Тогда

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=− = ≈ .

ln 4

1, 26

ln3 ln 3

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]