Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию фракталов. Математические аспекты и некоторые физические приложения. Учебное издание
.pdf
это связано с эффектом памяти. Частично данный вопрос будет об-
Z
Z
+
суждаться далее.
Рассмотренные временные ряды представляют собой фрак-
тальную кривую размерности D = 2 – H.
4.6. Фрактальные поверхности раздела сред
как основа дробных показателей частоты
Входные импедансы конечных электрических цепей, построенных из пассивных элементов с сосредоточенными параметрами,
являются рациональными функциями от частоты (например, для
емкости Z = 1/ωC, дл
я индуктивности Z = ωL). Эта рациональность
является в определенном смысле злом, поскольку характеристический импеданс
линии связи (например, кабеля), необходимый
0
для согласованного (безэхового) соединения, не является рацио-
1/ 2
нальной функцией частоты, обычно
0
.Z−ω∼ Бесконечные же
цепи способны порождать иррациональную зависимость от частоты. Например, бесконечная цепь лестничного типа, представленная
на рис. 13, имеет входной импеданс
,
представимый в виде не-
0
прерывной дроби
ZR
=+
0
G
1
+
R
+
G
. (6)
1
1
...
R R R
G
Рис. 13
G
21
Конечное значение
Z
Z
Z
Z
)
−
−
можно получить, если воспользоваться
0
периодичностью этой непрерывной дроби, которая позволяет записать ее в виде
ZR
=+
0
1
.
1
G
+
0
Отсюда
⎛⎞⎛⎞
При
11
ZRR
=++ =++
⎜⎟⎜⎟
0
⎜⎟⎜⎟
22
⎝⎠⎝⎠
1
−
==Ом и конечном числе элементов импеданс
1RG
RR
2
4114
. (7)
GGR
0
равен рациональному числу (6), а именно, отношению двух последовательных чисел Фибоначчи: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …. (напомним,
что числа Фибоначчи образуют последовательность, в которой
первые два члена равны единице, а каждый последующий равен
сумме двух предыдущих). Если число элементов бесконечно, то,
как видно из (7),
1521,62Z =+ ≈ – величина, обратная «золотому сечению».
(
0
перестает быть рациональным. В этом случае
0
Чтобы получить иррациональную зависимость от частоты,
можно вместо резистора
При малых частотах
Z
β
ω∼ с дробным показателем β = 1/2.
0
GR
ω << 1/RC получаем степенную зависимость
1
= поставить конденсаторы с G = ωC.
Частотные зависимости, выходящие за рамки простых полуцелых показателей, нередко наблюдаются при прохождении электрического тока через «шероховатые» поверхности, например, через
поверхность раздела между электродом и электролитом в автомобильном аккумуляторе.
Рассмотрим двумерную модель, представляющую токопроводящую поверхность раздела в виде фрактала (рис. 14,а).
В основе этой модели лежит канторово множество с
r = 0,3.
При этом шероховатость поверхности моделируется постоянно
углубляющимися «канавками» в электроде; на каждом этапе
22
построения фрактала их глубина увеличивается на постоянную
величину. На рис. 14,б показана древовидная электрическая цепь,
пластина
Пластина
электролит
а
Электролит
б
Рис. 14
23
моделирующая проводимость такой поверхности раздела. Сопро-
+
Z
Z
ω
ω
−
ω
Drβ
тивление на каждом этапе построения увеличивается в 1/
r раз, по-
скольку заполненные электролитом канавки в поверхности электрода с каждым этапом все больше сужаются.
Входной импеданс при этом определяется непрерывной дробью
/
1
+
ω+
2
,
1
Rr
/ ...
2
2
C
()
ZR
ω= +
C
ω+
Rr
которую можно представить в следующем конечном виде:
C
ω+
1
r
2
(/)
ω
.
r
Отметим, что
()
ZR
ω= +
RZ =∞)( , как и следовало ожидать глядя на схему
(рис. 14,б). Для конечных частот справедливо неравенство
()
Rω> .
При
() 1
Z
R
ω
<< <<
2
rC
,
что подразумевает ω << 1/RC, соотношение упрощается до сле-
дующего масштабно-инвариантного вида:
1
()
ZZ
ω=
⎛⎞
⎜⎟
2
rr
⎝⎠
решением которого является степенной закон
()Z
β
ω∼
с показателем
ln 2
11
=− =− ,
ln( 1/ )
D – фрактальная размерность канторова множества, использо-
где
ванного в модели.
24
,
На интуитивном уровне возрастание импеданса при уменьше-
=
x
=
F
xx∂
⎧⎫⎪
⎨⎬⎪
⎧
⎪
⎨
⎪
нии частоты объясняется тем, что электрический ток все глубже
проникает во все более узкие канавки на поверхности раздела,
прежде чем оказаться шунтированным емкостями.
4.7. Фрактальные траектории квантово-механических частиц
Рассмотрим одномерное движение квантово-механической
частицы. Предположим, что время разделено моментами
очень много маленьких отрезков
Δt = ε, или
tt
+ε. В этом
1ii
+
случае траекторию квантово-механической частицы
приближенно задать значениями ()
xt
ii
в моменты .
t Использу-
i
t на
i
x(t) можно
ем известное общее соотношение квантовой механики
iS
∂
2
[]
F
, (8)
⎪
()
,
⎪
=−
∂∂
kk
S – действие, описывающее движение квантово-механической
где
системы;
чений функции
ной
тенциала
F – некоторый функционал от x(t), не зависящий от зна-
x(t) на границе и вне области изменения перемен-
x. В случае одномерного движения частицы под действием по-
()Vxt действие дается выражением
[]
t
2
mx
=−
SVxtdt
∫
2
t
⎩⎭
1
или в дискретном рассмотрении
N
−
SVx
=−ε
∑
i
=
Тогда
⎛⎞
S
∂
−= − + ε
mVx
x
∂εε
⎜⎟
k
⎝⎠
1
()
mx x
ii
+
1
⎩⎭
xxxx
−−
11
kkkk
+−
2
−
1
2
ε
()
i
⎫
⎪
.
⎬
⎪
′
()
k
.
25
Выберем для простоты
Fx=
′
ε
x
ε
i
mx V x x
=−+ε
1()
kkk
=
. Применив соотношение (8), получим
k
xxxx
−−
⎛⎞
11
kkkk
+−
⎜⎟
εε
⎝⎠
′
.
Если предположить, что потенциал
()
деле при
ε → 0 величина
Vx x
V – гладкая функция, то в пре-
станет пренебрежимо малой по
kk
сравнению с другими членами. Тогда можно записать
xx xx
−−
11
kk kk
mx mx
+−
kk
εε
−=
=
1
. (9)
i
Рассмотрим порознь
xx
−
1kk
mx
k
−
ε
и
x
−
11kk
mx
+
k
+
ε
. (10)
Эти члены отличаются на величину порядка ε и при достаточно
малом ε можно подставить (10) вместо второго члена в соотношение (9). В результате получим
xx
−
1
kk
+
mxx
()1
−=
ε
kk
=
1
+
,
i
или
xx
⎛⎞
kk
+
1
⎜⎟
⎝⎠
2
−
=−
im
=
.
1
ε
Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок 1/ε и неограниченно растет, когда ε стремится к нулю. Поэтому
можно заключить, что основные траектории квантово-механической
частицы не имеют вида гладкой кривой с определенным наклоном
(т. е. с определенной скоростью), а изображаются линией с очень
мелкими хаотическими изломами, как показано на рис. 15.
26
t
x
x
x
(,)
t
bb
(,)
t
aa
Рис. 15
Таким образом, траектория квантово-механической частицы является фрактальной кривой. Найдено, что ее фрактальная размерность равна 2.
5. ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
ВО ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в
различные области естествознания привело к необходимости систематического изучения динамических явлений на фрактальных
объектах, таких например, как перенос массы и энергии во фрактальных средах. Это в свою очередь способствовало созданию соответствующего математического аппарата для описания эволюции
таких систем, а именно построению теории дробного интегродифференцирования. Удивительно, но первый шаг был с
делан Лейбницем, который размышлял о дробных производных еще триста лет
назад, едва успев заложить основы традиционного интегродифференциального исчисления.
27
Запишем известное тождество, доказательство которого легко
ϕ
провести методом математической индукции
xx x x
... ( ) ( ) ( )
dx dx x dx x t t dt
∫∫ ∫ ∫
aa a a
ϕ= −ϕ
n
1
(1)!
n
−
n
1
−
. (11)
Учитывая, что (n – 1)! = Г(n), где Г(z) – гамма-функция Эйлера:
∞
1
zx
Г()
zxedx
−−
=
∫
0
,
видно, что выражению (11) можно придать смысл и при нецелых
значениях n.
Важную роль в становлении математического аппарата дробного интегродифференцирования сыграло интегральное уравнение
Абеля, а связанная с ним так называемая задача Абеля оказала
большое влияние на развитие вариационного исчисления.
5.1. Интегральное уравнение Абеля
Интегральное уравнение Абеля имеет вид
x
()
t
ϕ
∫
0
α
()
xt
−
где α – постоянная; 0 < α < 1; ( )t
dt f x
=
– искомая функция; ( )fx – не-
()
,
которая заданная функция, имеющая на рассматриваемом отрезке
непрерывную производную. Решение данного уравнения в общем
виде можно найти следующим образом. Заменим в уравнении x
на s, умножим обе части полученного равенства на
ds
1
xs
−
−α
()
и проинтегрируем по s от 0 до x:
xs x
ds t f s
∫∫ ∫
00 0
11
() () ()
−α α −α
xs st xs
−− −
() ()
ϕ
dt ds
=
.
Меняя слева порядок интегрирования, получаем
28
xx
F
α
x
′
f
η
ξ
β η
tdt Fx
() ( )
ϕ=
∫∫
0
()()
t
ds
1
−α α
xs st
−−
,
где
x
()
=
∫
()
xs
0
fs
−
1
()
xds
Во внутреннем интеграле сделаем подстановку s
x
∫∫
()() (1)
t
ds dy
−α α α −α
11
−− −
xs st y y
1
==
0
−α
.
= t + y(x – t), тогда
π
sin( )
.
π
Имеем
x
() ( )
ϕ=
∫
0
sin( )
tdt Fx
απ
π
,
или
x
απ απ
ϕ= =
sin( ) sin( ) ( )
() ()
′
Fx ds
ππ
⎛⎞
fs
⎜⎟
∫
⎜⎟
0
⎝⎠
1
xs
−
−α
()
.
Рассмотрим так называемую задачу Абеля. Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости (ξ, η) по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую
так, чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной
скорости в точке кривой с ординатой x, достигла оси ξ за время
()tfx= , где 1()
1
x – заданная функция (рис. 16).
= x
0
Рис. 16
29
Абсолютная величина скорости движущейся точки 2( ).vgx
=
=
−
β
f
f
x
ϕ
ϕ
β
η
′
η
β
′
Φ
ξ
−η
Обозначим через β угол наклона касательной к оси ξ, тогда
d
η
2( )sin()
gx
−−ηβ.
dt
Отсюда
d
dt
=−
2( )sin()
Интегрируя в пределах от 0 до x и обозначая
gx
η
.
ηβ
ϕη =
()
1
, получа-
sin( )
ем уравнение
x
()
d
где
() 2 ()
xgfx=−
1
ϕη η
∫
x
0
, а ()
=
−η
– искомая функция. Видно, что по-
()
x
,
лученное интегральное уравнение есть частный случай уравнения
Абеля при α = 1/2. Найдя ()
η , можно составить уравнение кри-
вой. Действительно,
()
ϕη =
1
,
sin( )
откуда
()
=Φ β .
Далее,
dd
d
ξ= =
() ()
tg tg
()
Φβ β
β
,
откуда
∫
ββ
()
tg
β
ξ= =Φ β
()
1
,
d
()
и, следовательно, искомая кривая определится параметрическими
уравнениями
();
=Φ β
η=Φ β
1
().
⎫
⎬
⎭
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]