Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию числовых и функциональных рядов. Учебное пособие
.pdf
А.Д. Нахман
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ЧИСЛОВЫХ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2026
УДК 517.52
ББК 22.1
Н34
Автор:
Нахман А.Д. — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики
Тамбовского государственного технического университета
Рецензенты:
Плотникова С.В.— д-р техн. наук, доц.
Тамбовского государственного технического университета;
Мирзаева Т.В.— канд. филол. наук, доц.,
зав. кафедрой общеобразовательных дисциплин
ТОГОАУ ДПО «Институт повышения квалификации работников образования»
Нахман, Александр Давидович.
Н34 Введение в теорию числовых и функциональных рядов : учебное
пособие / А.Д. Нахман. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2026. — 83 с. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-4796-9
Учебное пособие предназначено для первичного ознакомления
с теорией и практикой исследования бесконечных сумм (числовых
и функциональных рядов). Подробно и в доступной форме изложены
основные понятия и факты. Приведен обширный задачный материал.
Активному обучению и росту мотивации к математической деятельности
способствуют методические указания к решению задач, а также обзор
некоторых приложений теории.
Учебное пособие может быть использовано учителями математики
в процессе подготовки и преподавания соответствующего элективного
курса, учащимися школ (классов) с углубленной математической
подготовкой, студентами технических и экономических специальностей
и направлений подготовки при изучении дисциплин «Высшая
математика», «Математический анализ».
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4796-9 © Нахман А.Д., 2017
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2026
Учебное издание
Нахман Александр Давидович
Редактор Ю.Б. Захарова
Технический редактор А.В. Неверова
Корректор Т.И. Баканова
Компьютерная верстка, обложка С.С. Сизиумовой
Подписано к использованию 18.09.2025. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 5
1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СУММЫ ......................................................... 8
1.1. Основные понятия. Простейшие свойства .................................................... 8
1.2. Необходимый признак сходимости и достаточный признак
расходимости ряда. Сумма геометрической прогрессии .................................. 13
1.3. Сходимость рядов с положительными членами: признаки сравнения ..... 15
1.4. Сходимость рядов с положительными членами:
признаки Коши и Даламбера ................................................................................ 19
1.5. Сходимость рядов с положительными членами:
интегральный признак Коши ............................................................................... 22
1.6. Знакочередующиеся ряды ............................................................................. 25
1.7. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда ................... 29
2. БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ ФУНКЦИЙ ......................................................... 33
2.1. Функциональные ряды. Равномерная сходимость ..................................... 33
2.2. Степенные ряды ............................................................................................. 36
2.3. Разложения функций в степенные ряды ...................................................... 42
2.4. Ряды по тригонометрическим функциям..................................................... 46
3. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ТЕМУ «РЯДЫ» ............................. 51
3.1. Вычисление суммы ряда ................................................................................ 51
3.2. Исследование сходимости знакоположительных рядов ............................ 56
3.3. Исследование сходимости знакопеременных рядов .................................. 63
3.4. Степенные ряды .............................................................................................. 67
3.5. Разложения функций в степенные ряды ...................................................... 70
3.6. Разложение функции в тригонометрический ряд ....................................... 77
4. ТРЕНИНГ ........................................................................................................... 80
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................. 84
5
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие имеет целью первичное ознакомление учащихся с
бесконечными суммами. Речь идет о таких абстрактных и в то же время весьма
полезных в приложениях математических объектах, как числовые и
функциональные ряды. Понятие ряда возникает и используется в самых
различных областях математики: в элементарной алгебре (сумма бесконечной
прогрессии), в интегральном исчислении (определенный интеграл может быть
построен как сумма сходящегося ряда при разбиении промежутка
интегрирования на равные части и устремлении к бесконечности количества
частичных интервалов), в вопросах приближенных вычислений значений
трансцендентных функций, при решении дифференциальных уравнений, в том
числе уравнений в частных производных (метод Фурье), в комплексном
анализе, в теории случайных величин и др.
Основные положения теории числовых и функциональных рядов являются
важнейшей составляющей математической подготовки студентов инженерных,
экономических и других специальностей. В то же время изучение теории рядов
сопровождается значительными затруднениями у многих учащихся: незнание
(непонимание) отличительных признаков изучаемых объектов (отличие ряда от
его частичной суммы), формальный (без должного понимания) подход при
воспроизведении формулировок основных понятий, использование
необходимого признака сходимости в качестве достаточного, неумение выбрать
соответствующий достаточный признак сходимости для исследования
поведения данного ряда и др. Ряды представляются большинству учащихся
чисто абстрактными, необычными объектами, не имеющими никакой
прикладной значимости; возникают типичные недоумения, например: «почему
мы исследуем вопрос о сходимости ряда, а не ищем значение суммы?»,
«почему признаков сходимости так много?», «зачем функции весьма простого
вида требуется раскладывать в бесконечную сумму (по степеням х)?» и т. п.
6
Одну из причин затруднений на начальном этапе изучения мы видим в
том, что целью решения задач на исследование рядов является, как правило,
получение качественной, а не количественной характеристики объекта («ряд
сходится/расходится» вместо привычного ответа в виде числа, интервала,
функции).
Преодолению указанных и других трудностей, профилактике типичных
ошибок способствовала бы пропедевтика основных понятий путем выделения
линии последовательностей и рядов во всем предшествующем (изучению
числовых и функциональных рядов) математическом материале.
«Возвращение» в школьный курс определения предела
последовательности, вопроса о суммировании бесконечно-убывающей
геометрической прогрессии и вновь вводимая вероятностно-статистическая
линия создают объективные предпосылки для соответствующей
пропедевтической деятельности. Ее содержательный компонент, по нашему
мнению, может быть выстроен следующим образом.
Прежде всего следует выделить цепочку уже имеющихся в школьном
курсе математики понятий/операций, конечным звеном которой и является
понятие ряда. Здесь можно назвать как минимум следующее: упорядоченные
наборы чисел, построенные на основании некоторой закономерности (такие
«ряды» чисел рассматриваются уже начальной школе), набор вариант и набор
соответствующих им частот в задачах статистики, суммы многих слагаемых
(поиск среднего арифметического чисел, поиск выборочных средних),
произведения многих множителей (факториалы — в задачах комбинаторики),
понятия числовой последовательности как функции натурального аргумента,
прогрессии и ее суммы, бесконечно-убывающей геометрической прогрессии.
Новые для школьников виды последовательностей, бесконечных «в обе
стороны», возникают при записи множества всех решений тригонометрических
уравнений, задача отбора корней приводит к выделению
подпоследовательностей с определенными характеристиками. Обзор указанных
7
понятий предшествует введению бесконечных сумм (термин, который, с нашей
точки зрения, на начальном этапе предпочтительнее, нежели «числовой ряд»).
В общем случае ряд вводится как процесс и результат «разворачивания»
конечной суммы в бесконечную при неограниченном росте числа слагаемых:
)....(lim=
21
1=
n
n
n
n
aaaa
Существование этого предела и означает сходимость (а в противном
случае — расходимость) ряда. Примерами расходящихся рядов могут служить
как гармонический ряд, так и сумма любой бесконечной арифметической
прогрессии.
Формулировка и доказательство необходимого признака сходимости ряда
способствуют, с нашей точки зрения, лучшему пониманию вводимых понятий.
Здесь же (что согласуется с технологией укрупненных дидактических единиц)
вводится достаточный признак расходимости ряда, который дает, в частности,
возможность проанализировать все случаи поведения суммы бесконечной
геометрической прогрессии (а не только бесконечно-убывающей).
Полезными являются следующие соображения, на которые следует
обратить внимание учащихся: для числовых рядов вопрос сходимости имеет
первостепенное значение, поскольку, установив факт сходимости, мы вправе
приближенно вычислить сумму ряда, выбирая в качестве аппроксимаций
отрезки ряда достаточно большой длины. Здесь (без доказательства) можно
привести признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов и
предложить примеры на вычисление суммы с наперед заданной точностью.
Настоящее пособие может быть использовано учителями математики в
процессе подготовки и преподавания соответствующего элективного курса,
учащимися школ (классов) с углубленной математической подготовкой,
студентами технических и экономических вузов при изучении математического
анализа.
8
1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СУММЫ
1.1. Основные понятия. Простейшие свойства
1.1.1. Пусть дана бесконечная последовательность действительных чисел
... ,,..., , ,
321 n
wwww
Формально составленная бесконечная сумма вида
......
321
n
wwww
или, коротко,
n
n
w
1=
(1.1.1)
называется числовым рядом; общий член последовательности
}{
n
w
называется
общим членом ряда (1.1.1).
Конечную сумму первых п членов
nn
wwwwS ...=
321
(1.1.2)
назовем n-ой частичной суммой ряда (1.1.2); при этом по определению
11
= wS
.
Если существует предел вида
,lim=
n
nSS
то числовой ряд (1.1.1) называется сходящимся, а в противном случае —
расходящимся.
Число S назовем суммой сходящегося ряда; говорят также, что ряд (1.1.1)
сходится к сумме S и применяют запись
n
n
wS
1=
=
.
Главная задача, которая решается в теории числовых рядов, — сходится
или расходится данный ряд; вопрос о его сумме можно ставить лишь тогда,
когда доказана сходимость. Сумму же сходящегося ряда всегда можно
вычислить приближенно, взяв достаточно большое количество n членов в
9
составе его частичной суммы
n
S
; при этом точность вычисления увеличивается
с ростом n.
Пример 1. Доказать сходимость ряда
1)(
1
1=
nn
n
и найти его сумму.
Решение. Воспользуемся определением сходимости ряда и его суммы, для
чего вычислим частичную сумму произвольного (n-го) порядка. Преобразуем
общий член ряда к виду
1
11
=
1)(
1)(
=
1)(
1
nnnn
nn
nn
и сложим первые n членов. При этом мы обнаруживаем, что члены, начиная со
второго и заканчивая предпоследним, будут взаимно уничтожаться:
.
1
1
1=)
1
11
()
1
1
1
(...)
3
1
2
1
()
2
1
(1=
nnnnn
S
n
Теперь вычисляем следующий предел:
1=)
1
1
(1lim=lim
n
S
n
n
n
.
Таким образом, ряд оказался сходящимся и его сумма
1=S
.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
.
1
1=
n
n
Замечание. Указанный ряд называется гармоническим. Ниже будет
рассмотрен более общий случай так называемого ряда Дирихле (иначе
называемого обобщенным гармоническим рядом).
Решение. Исследование разобьем на несколько этапов.
1. Поведение частичных сумм ряда определяется следующей оценкой его
общего члена:
. ln1)(ln>
1
nn
n
10
2. Доказательство этой оценки основано на неравенстве
0,> ,<)(1ln xxx
(1.1.3)
которое мы сейчас установим (читателю рекомендуется изобразить графики
левой и правой части неравенства). Разность левой и правой частей (1.1.3)
xxxy )(1ln=)(
— убывающая функция, поскольку
0<1
1
1
=)(
x
xy
при
0>x
.
Кроме того, очевидно, что
0=(0)y
; значит, разность
)(xy
остается
отрицательной:
0<)(1ln xx
при всех
0>x
. Это и утверждалось в
соотношении (1.1.3).
3. Выбирая
n
x1=
в (1.1.3), имеем неравенство
, ln1)(ln=
1
ln=)
1
(1ln>
1
nn
n
n
nn
для общего члена ряда, которое мы и хотели установить.
4. Теперь частичная сумма n-го порядка
nn
S
n
1
1
1
...
3
1
2
1
1=
имеет оценку снизу
1),(ln=) ln1)(ln()1)(lnln...(2)ln3ln(1)ln2ln(> nnnnnS
n
откуда вытекает, что
n
S
вместе с
1)(ln n
при
n
.
Итак, исследуемый ряд расходится. Интересна следующая интерпретация
полученного результата. Допустим, что человек делает шаг, затем еще полшага,
затем треть, четверть шага и т. д. Как далеко он при этом уйдет?
Ясно, что для ответа на этот вопрос следует сложить числа
,...
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
, т. е найти сумму ряда
...
1
...
3
1
2
1
1
n
,
которая, как мы только что выяснили, оказывается бесконечной.
Следовательно, человек при описанном процессе уйдет как угодно далеко.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]