Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию фракталов. Математические аспекты и некоторые физические приложения. Учебное издание
.pdf
В частности, при f(x) = C задача Абеля переходит в известную
α
α
f
α
[
]
[
]
f
задачу о таутохроне: найти кривую, скользя вдоль которой без трения частица достигает своего самого низкого положения за одно и
то же время, независимо от ее начального положения. Легко показать, что решением задачи Абеля в этом случае является циклоида.
5.2. Дробные операторы Римана – Лиувилля
Для интегрируемой на отрезке [a, b] функции ϕ(x) выражение
x
α
()
ϕ=
Ix dt
()
a
> 0, называется интегралом дробного порядка α или дробным
где α
1()
Г()
α
интегралом Римана – Лиувилля. Оператор
t
ϕ
∫
()
−
xt
a
−α
1
, x > a,
I
называется операто-
a
ром дробного интегрирования.
Справедливо тождество
ββαα+β
II II I
==
aa aa a
Для дифференцируемой на отрезке [
α
Д ()
()
a
1()
xdt
=
Г()
x
dft
∫
α
dx
()
xt
a
−
.
a, b] функции f(x) выражение
, x > a,
α
где 0 < α < 1, называется дробной производной порядка α или про-
изводной Римана – Лиувилля.
Отметим, что дробные интегралы определены для любого порядка α > 0, а дробные производные только для 0 < α < 1. Если
α = 1, 2, 3… – целое число, то под дробной производной порядка α
понимается обычное дифференцирование:
Д
=
a
⎜⎟
⎝⎠
.
dx
d
⎛⎞
α
Если же α – нецелое число, то дробная производная порядка α определяется как
αα+
dd
⎛⎞ ⎛⎞
α
ДД
==
aa a
⎜⎟ ⎜⎟
dx dx
⎝⎠ ⎝⎠
α−α
{}
fIf
1
1
{}
,
31
где [α] – целая, а {α} – дробная часть числа α.
α
f
β
)
f
R
ϕ
[
]
α
α
β
f
−
μ
Имеет место тождество
ββαα+β
==.
ДД ДД Д
aa aa a
Как и для обычных производных, справедливо обобщенное
правило Лейбница
∞
α
αα−
Д ()() Д ()Д ()
xgx f x gx
[] [][]
aaa
⎛⎞
=
∑
⎜⎟
k
0
k
⎝⎠
=
kk
с обобщенными биномиальными коэффициентами
α
⎛⎞
=
⎜⎟
β
Г(1)Г(1)
⎝⎠
α+
Г(1)
,
+α−β+
а также аналог формулы Тейлора
j
α+
Д ()
1
n
−
() ( ) ()
xxaRx
nn
где () ( Д )( )
xI fx
naa
α+ α+
= .
(
=−+
∑
j
0
=
fa
a
Г(1)
j
α+ +
α+
j
,
n
Как и в случае целых показателей, дробное интегрирование
и дифференцирование являются взаимно обратными операциями:
αα
Д
I
=ϕ
aa
αα α−
Д () () Д ()
Ifxfx fx
aa a
=−
α
∑
k
=
1
;
k
−
k
−+
−
.
()
k
xa
Г(1)
xa
=
В качестве упражнения предлагается показать, что для степен-
1
ной функции
() ( )xxa
ϕ=−
−
а для функции
32
Г()
αα+β−
() ( )
ϕ= −
Ix xa
()
a
() ( )
xxa
=−
α
Д ()
()
a
fx
=
β
Г()
α+β
μ
, где 0 < μ < 1,
Г(1 ) 1
−μ
Г(1 )
−μ−α
()
xa
1
,
.
+α
−
6. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДРОБНЫХ
x
=
x
α
x
x
ОПЕРАТОРОВ
6.1. Одномерное движение частицы во фрактальной среде
Рассмотрим движение частицы во фрактальной среде с размерностью 0 < α < 1. Применяя формализм Лагранжа с дробными про-
изводными, т. е. минимизируя обобщенный функционал действия,
приходим к уравнению
mUx
αα
ДД ()
xt
=−
0
T
2
τ
()
∂
, (12)
∂
где x(t) – уравнение движения частицы; m – ее масса; τ – некоторое
характерное время процесса; T – общее время движения. При α = 1
получается классическое уравнение движения. При этом выражение в правой части определяет консервативную силу, действующую на частицу. Рассмотрим простейший случай, соответствующий свободному движению:
αα
ДД () 0
xt
0
T
.
Интегрируя данное уравнение, получаем окончательное решение
() (0)
xT x
() (0)
=+ .
tx t
−
α
T
При α = 1 получаем уравнение для траектории равномерного движения:
().
T Для промежуточных значений 0 < α < 1 реализуется проме-
() (0)
tx vt=+. При α = 0 траектория вырождается в точку
0
жуточная ситуация и для движения частицы: величина x(t) меняется медленнее первой производной. Это означает, что движение
происходит в некоторой диссипативной среде. Кроме того, можно
заметить, что уравнение (12) при α < 1 не является симметричным
относительно замены знака времени, что, как известно из статистической физики, так
же свидетельствует о диссипативном (необра-
тимом) характере движения.
Два рассмотренных предельных случая (α = 1 и α = 0) хорошо
известны в физике и имеют общий характер. Первая ситуация соответствует так называемой «полной памяти» физической системы,
33
т. е. когда в процессе эволюции система проходит через все со-
B
∂
∂
G
G
стояния непрерывным образом без каких-либо потерь. В нашем
случае это непрерывная гладкая траектория.
Второй предельный случай имеет место, когда система теряет
все свои состояния за исключением одного. Это соответствует хорошо известному марковскому процессу с полным отсутствием
памяти. Примером явля
ется броуновское движение, когда частица
имеет ломаную траекторию, а направление движения в каждый
момент времени определяется лишь последним столкновением и не
зависит от предыстории.
А не существуют ли такие физические системы, которые в
процессе эволюции занимают промежуточное положение (траектория движения находится между прямой и точкой). Обыкновенная
евклидова геометрия не дает у
твердительного ответа на этот вопрос, так как не «знает» промежуточного геометрического объекта
между прямой и точкой. Фрактальная геометрия отвечает на этот
вопрос утвердительно, так как такой объект существует – это канторово множество. Отсюда следует, что ряд физических систем, которые могут быть описаны уравнениями в дробных производных,
должны иметь фрактальну
ю природу. Например, процессы переноса
в каналах некоторой ветвящейся фрактальной структуры. Такие
процессы можно классифицировать как процессы с «потерей памяти» или с «остаточной памятью», а дробный показатель совпадает
с фрактальной размерностью структуры и характеризует долю сохраняющихся состояний в процессе эволюции физической системы.
6.2. Уравнение переноса в дробных производных
Рассмотрим простейшее уравнение переноса, описывающее в
частности диффузию,
(,)
где
urt
=Δ
t
Δ
– оператор Лапласа. Известно, что в процессе диффузии
r
(,)
urt
r
, (13)
среднеквадратичное удаление частицы от исходного положения
дается выражением
34
2
G
B
∂
G
G
H
() 2rt Bt=
,
т. е. является линейной функцией времени.
Обобщением уравнения диффузии, происходящей во фрак-
тальной среде, является уравнение
α
(,)
urt
∂
=Δ
α
t
(,)
urt
r
, (14)
где производная по времени является дробной, порядка α (0 < α < 2).
Среднеквадратичное смещение при этом будет
22
() 2 2
rt Bt Bt
α
==G,
где H – показатель Херста. Уравнение (14) описывает обобщенный
броуновский процесс, коэффициент корреляции для которого имеет вид
GG
()()
rtrt
где ()rtδ
δ−δ
() 2 1 2 1
Qt
==−=−
G
– приращение радиус-вектора частицы. Видно, что при
G
2
()
rt
δ
121
α− −
H
,
H = 1/2 (α = 1) корреляция прошлых и будущих приращений отсут-
ствует при всех t, что соответствует марковскому процессу. При
этом уравнение (14) переходит в (13), что соответствует классической диффузии. Случай H > 1/2 (1< α < 2) соответствует положительной корреляции – если приращения были положительными за
некоторый период в прошлом, то и впредь в сред
нем будет происходить увеличение. Случай H < 1/2 (0 < α < 1) соответствует отрицательной корреляции – рост в прошлом означает уменьшение в
будущем и наоборот. Данные процессы называют соответственно
персистентными (супердиффузионными) и антиперсистентными
(субдиффузионными). Таким образом, суть обобщения состоит в
том, что обобщенный броуновский процесс обладает памятью.
Примером персистентного процесса с H = 0,92 явля
ется статистика морских волн. В этом случае персистентность означает, что
если высота волн увеличивалась в течение времени t, то можно
ожидать ее увеличения в течение последующего периода примерно
такой же длительности. И наоборот, если высота волн уменьшалась
35
в течение времени t, то следует ожидать ее дальнейшего уменьше-
–
–
–
ния в течение последующего интервала времени (рис. 17,а). Таким
образом, персистентные стохастические процессы обнаруживают
довольно четко выраженные тенденции изменения при относительно малом шуме. В общем, персистентные стохастические процессы проявляют своего рода периодичность.
С другой стороны, при антиперсистентном стохастическом
процессе по
сле возрастания переменной обычно происходит ее
уменьшение, а после уменьшения – возрастание. Такое поведение
2
1
Н = 0,9
0
–1
2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
4
2
0
Высота
–2
4
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
4
2
0
–2
4
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Н = 0,5
Н = 0,1
Рис. 17
а
б
в
36
характерно для фрактальных броуновских процессов. Запись антиперсистентного процесса представляется очень зашумленной кривой. У таких кривых уровень локального шума совпадает по порядку величины с глобальными отклонениями сигнала (рис. 17,б,в).
В заключение отметим, что уравнение (11) в классификации
уравнений в частных производных занимает промежуточное положение между эллиптическим (описывающим стационарные процессы) α = 0, параболи
фузию) α = 1 и гиперболическим (волновым) α = 2 типами. Решение уравнений с дробными производными сводится, по сути, к решению интегральных уравнений.
ческим (описывающим классическую диф-
37
Список использованной литературы
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2001.
2. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры
из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
3. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.
4. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
5. Кроновер Р. Фракталы и хаос в ди
новы теории. М.: Постмаркет, 2000.
6. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и про-
изводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск:
Наука и техника, 1987.
7. Фракталы в прикладной физике / Под общ. ред. А. Е. Дубинова. Арзамас-16: ВНИИЭФ, 1995.
8. Потапов А. А. Фракталы в радио
пология выборки. М.: Университетская книга, 2005.
9. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
10. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по
траекториям. М.: Мир, 1968.
11. Нигматулин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретиче
№ 3. С. 354–368.
12. Рехвиашвили С. Ш. Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30, № 2.
С. 33–37.
13. Зеленый Л. М., Милованов А. В. Фрактальная топология и
странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН. 2004. Т. 174, №. 8. С. 809–852.
ская и математическая физика. 1992. Т. 90,
намических системах. Ос-
физике и радиолокации: то-
38
СОДЕРЖАНИЕ
1. Понятие фрактала...................................................................... 3
2. Фрактальная размерность......................................................... 4
3. Фрактальные множества........................................................... 6
3.1. Канторово множество................................................…… 6
3.2. Снежинка Кох.................................................................... 9
3.3. Салфетка и ковер Серпинского........................................ 10
4. Фракталы в физике..................................................................... 12
4.1. Клеточная размерность..................................................... 12
4.2. Массовая размерность....................................................... 13
4.3. Ограниченная диффузией агрегация (ОДА)................... 14
4.4. Образование «вязких пальцев»........................................ 15
4.5. Фрактальные временные ряды......................................... 16
4.6. Фрактальные поверхности раздела сред как основа
дробных показателей частоты.......................................... 20
4.7. Фрактальные траектории квантово-механических
частиц…………………………......................................... 24
5. Интегралы и производные дробного порядка
во фрактальной геометрии........
5.1. Интегральное уравнение Абеля....................................... 27
5.2. Дробные операторы Римана – Лиувилля....................... 30
6. Физическая интерпретация дробных операторов................... 32
6.1. Одномерное движение частицы во фрактальной
среде...................................................................................
6.2. Уравнение переноса в дробных производных................ 33
Список использованной литературы............................................ 37
...............................................
26
32
39
Тренькин Алексей Александрович
Введение в теорию фракталов:
математические аспекты
и некоторые физические приложения
Учебное издание
Редактор Л. В. Мазан
Корректор Л. В. Степченкова
Компьютерная подготовка оригинала-макета В. М. Князькова
_____________________________________________________
Подписано в печать 12.02.2007. Формат 60×84/16
Печать офсетная. Усл. печ. л. ~2,3. Уч. изд. л. ~1,7
Тираж экз. Зак. тип. 407-2007
_____________________________________________________
Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ»
607188, г. Саров Нижегородской обл.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]