Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в техническую физику. Учебно-методическое пособие
.pdf
Рис. 47. Ψ-функция и ее квадрат для четырех первых энергетических уровней
электрона в потенциальной яме [18]
Основные выводы:
1. В потенциальной яме движение микрочастицы возможно лишь
E
с дискретным рядом значений энергии
, E1, E2, … .
0
2. Микрочастица не может покоиться, так как и самому низкому
энергетическому уровню соответствует движение с некоторой скоростью [18].
3. Сведения о характере движения частицы при определенной энергии
2
указываются квадратом пси-функции; зная Ψ
(x), можно узнать, в каких точках
пространства микрочастица бывает чаще, а в каких точках — реже [18].
Надо все же выяснить, при каких условиях становится возможным
«обычное», т. е. классическое, описание поведения микрочастицы.
Пример 2.
Пусть молекула кислорода, заперта в реальном ящике,
размеры которого в несколько десятков раз превышают размеры молекул.
Положим так же, что молекула имеет среднюю энергию молекулы
кислородного газа при комнатной температуре, т. е. порядка
значения, а =
100Å, m = 5,4 – 10
каком квантовом уровне будет находиться микрочастица
–23
г, и E = 0,1 эВ, по формуле (57) найдем, на
. Вычисление дает
0,1 эВ. Беря
n = 1000 [18]. Отсюда следуют два вывода.
2
Во-первых, кривая
будет иметь столь огромное число чередующихся
n
максимумов и минимумов, что вероятность пребывания частицы практически
одинакова для всех точек ящика [18].
61
Во-вторых, мы видим, что соседние уровни энергии будут очень близки
друг к другу. Так, что дискретность энергии становится практически
незаметной [18].
Таким образом особенности, следующие из основного уравнения
квантовой механики, при больших n стираются и результаты квантовой
механики начинают совпадать с результатами механики больших частиц [18].
Теория и опыт показали, что в ряде случаев одному значению энергии E
могут соответствовать несколько собственных волновых функций Ψ
n
n
. Это
происходит, если при одной энергии возможны состояния частицы,
отличающиеся другой физической величиной (например, вращательным
2
импульсом). Виды Ψ
-облаков таких состояний (их называют вырожденными)
могут сильно различаться [18].
Если найдены уровни энергии и вычислены собственные Ψ-функции для
всех уровней, то этим исчерпывающим образом решена задача о движении
частицы в потенциальной яме данного вида. Зная решение уравнения
Шредингера, можно предсказать результат того или иного измерения,
произведенного над этой частицей [18].
3.7. Туннельный эффект [18]
Туннельным эффектом называется возможность частице, например,
электрону, пройти (протуннелировать) через потенциальный барьер, когда
барьер выше полной энергии частицы. Это чисто квантовый эффект.
Потенциальный барьер — ограниченная в пространстве область,
в которой потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле,
больше, чем по обе стороны от нее. Потенциальный барьер соответствует силам
отталкивания.
62
x
U
E
U–E
U
d
Рис. 48. Потенциальный барьер высотой U и шириной d
х
В классической механике прохождение частицы через потенциальный
барьер возможно только в том случае, если ее полная энергия
высоты
U потенциального барьера. Если же частица обладает энергией
E не меньше
меньшей, чем высота потенциального барьера, то она не только не пройдет
сквозь барьер, но даже не проникнет в область барьера. Таким образом,
потенциальный барьер в классическом представлении является как бы
непроницаемой стенкой для частиц с энергией, меньшей высоты
потенциального барьера. Действительно переход через барьер невозможен,
так как при этом частица будет иметь отрицательную кинетическую
энергию и мнимую скорость, что бессмысленно.
Иначе обстоит дело в квантовой механике. Квантовая частица не
движется по какой-либо определенной траектории. Поэтому можно лишь
говорить о вероятности нахождения частицы в определенной области
пространства. Принцип неопределенности Гейзенберга не позволяет
приписать микрочастице одновременно точные значения скорости
и координаты и, следовательно, кинетической и потенциальной энергии.
Поэтому микрочастица с полной энергией
E < U может пройти сквозь барьер.
Условия этого перехода можно оценить следующим образом. Неопределенности
координаты и импульса связаны соотношением
.
ph
63
Неопределенность в импульсе однозначно связана с неопределенностью
p
p
в кинетической энергии
Если неопределенность в кинетической энергии
порядка
U – E, где E — полная энергия микрочастицы, а U — высота
E
. Поскольку кинетическая энергия есть
к
2
E
к
,
то
m
2
2.
mE
к
E
к
составляет величину
потенциального барьера, то частица находящаяся, например, слева от барьера,
имеет неопределенность в координате
x ~
hh
p
2( )
mU E
.
Следовательно в случае, когда ширина потенциального барьера d
меньше
x, микрочастица может быть обнаружена по другую сторону
барьера !!!
Частица как бы проходит по туннелю, проложенному сквозь барьер на
уровне ее полной энергии
E. Таким образом, чтобы туннельный эффект имел
место необходимо выполнение следующего условия
d < x (60)
d
2( ) 1.
2( ) ,dmUE h
т. е.
mU E
h
Туннелирование, например, электронов это квантово-механический
эффект и имеет значение только для микрочастиц. В этом можно убедиться при
помощи следующих оценочных расчетов.
Пример
–30
Для электрона (масса 10
сквозь барьер толщиной
10
–10
кг) при U – E = 10 эВ туннельный переход
м возможен, так как
d
2( ) 0,21.
mU E
h
Для макроскопического тела, например, шарика массой
у спичечной коробки (
d = 2 см, U – E 500 мкДж)
d
2 ( ) 2,5 10 1.
mU E
28
m = 1 г, лежащего
h
Понятно, что шарик сквозь коробок «просочиться» не может.
64
Приведенное выше рассмотрение поясняет явление туннелирования на
качественном уровне. Строгое квантово-механическое рассмотрение позволяет
оценить
барьер. Эта вероятность оказывается пропорциональной экспоненциальному
выражению
уравнения Шредингера. Решение этого уравнения показывает, что ψ-функция,
например, электрона имеет отличные от нуля значения и в тех точках
пространства, где потенциальная энергия больше полной энергии. Значит
с некоторой вероятностью, тем меньшей, чем больше
быть найден и в тех областях пространства, где в рамках классической физики
(справедливой для «обычных» частиц) он обладал бы отрицательной
кинетической энергией [18].
W — вероятность прохождения микрочастиц через потенциальный
4
e
Таким образом туннельный эффект является следствием, вытекающим из
Важно, что явление туннелирования подтверждено многочисленными
2( ) .mU E d
h
U – E, электрон может
экспериментами. Более того туннельный эффект широко используется на
практике и играет большую роль в протекании многих важных физических
явлений. С этим эффектом связаны, например, контактные явления на границе
твердых тел и холодная эмиссия электронов.
3.8. Атом водорода. Полуклассическое
и квантовомеханическое рассмотрение
На ряде простейших квантово-механических задач мы познакомились
с особенностями поведения микрочастиц в микромире. А именно с поведением
электрона, запертого в одномерной «потенциальной яме», а также с эффектом
туннелирования электронов свозь потенциальный барьер.
Сейчас нам предстоит решить более сложную задачу — разобраться
с квантово-механическим описанием электронов в атомах. Естественно начнем
с самого «простейшего» атома — атома водорода. Но прежде следует
напомнить о представлениях ученых об атомах, непосредственно
предшествовавших построению квантовой теории.
Одна из моделей атомов в классической физике была предложена
Томсоном. В этой модели атом представляется, как равномерно заряженная
65
сфера диаметром порядка 10
–10
м. Эта сфера несет положительный заряд,
а внутри сферы находятся электроны. Так что атом в целом нейтрален.
Электроны совершают колебания, т. е. двигаются с ускорением
и, следовательно, атом излучает электромагнитные волны.
Модель Томсона, не нашла подтверждения в опытах Резерфорда по
рассеянию α-частиц при облучении ими тонкой золотой фольги. Поэтому
Резерфорд предложил другую, так называемую «планетарную модель» атома.
Согласно этой модели, внутри атома есть положительно заряженное ядро
с зарядом
сосредоточена почти вся масса атома. Размеры ядра ~ 10
q = Ze, (Z порядковый номер элемента в таблице Менделеева). В ядре
–15
м, что на пять
порядков меньше размеров самого атома. Вокруг ядра по круговым орбитам
движутся электроны [10]
Гейзенберга, уже известным Вам, понятие
. Обратите внимание, что согласно соотношениям
траектории в атоме теряет
смысл. Но в то время они еще были неизвестны. Вместе с тем модель атома
Резерфорда и без того испытывала серьезные трудности:
Рис. 49
1 Эксперимент показывал, что атом устойчив. Однако, по Резерфорду,
электрон движется ускоренно по орбите и должен излучать электромагнитные
волны. Следовательно, он теряет энергию и должен по спирали приближаться
к ядру, а значит не устойчив.
2 Излучение атома, по Резерфорду, должно быть непрерывным,
эксперимент показывал, что спектр излучения дискретный.
Нильс Бор на основе полуклассических представлений объяснил
планетарную модель атома Резерфорда. А именно линейчатый спектр
излучения атома и квантовый характер излучения и поглощения света.
В основу теории положены 3 постулата Бора [3]:
66
I постулат (стационарных состояний): существуют некоторые состояния
атома, находясь в которых он не излучает энергию. Этим стационарным
состояниям соответствуют орбиты, находясь на которых движущийся электрон
не излучает энергию (электромагнитные волны).
II постулат (правило квантования орбит): в стационарном состоянии
атома электрон двигаясь по круговой орбите имеет квантованные значения
L
момента импульса
:
n
Lprmvrn
nnn nn
m — масса электрона; p
где
электрона на
h
— постоянная Планка (h = 6,625 ∙ 10
2
n орбите; r
— импульс электрона на pn орбите; vn — скорость
n
— радиус орбиты; rn = 1, 2, 3 … — квантовое число;
n
–34
Дж с).
,
III постулат (правило частот): при переходе атома из одного
стационарного состояния в другое испускается или поглощается один квант
энергии в виде фотона
E
– Em = hν, (61)
n
E
где
и Em — энергии атома в стационарных состояниях с номерами n и m.
n
Излучение фотона происходит при переходе электрона с более удалённой
от ядра орбиты на близлежащую. Поглощение фотона происходит при переходе
электрона в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более
удалённую от ядра орбиту. Набор дискретных частот ν
и определяет
nm
линейчатый спектр атома водорода.
n-й орбиты:
Для
24
где
n = 1, 2, 3, ……….
E
n
1
nh
zme
,
222
8
(62)
0
Видно, что по тории Бора энергия электрона в атоме принимает
дискретные значения и зависит от
n. Знак «–» указывает на то, что энергия
электрона внутри атома отрицательная, т. е. электрон находится в связанном
состоянии (в «потенциальной яме»). Вне атома (в свободном состоянии)
электрон имеет положительную энергию.
В последней формуле
n — главное квантовое число, оно определяет
номер орбиты и энергию электрона в поле ядра. Энергетическое состояние
электрона при n = 1 это основное (невозбуждённое) состояние. Его энергия
67
минимальна. При
n > 1 энергетическое состояние электрона возбуждённое. При
n = ∞ происходит ионизация атома, его энергия E
= 0, и электрон вылетает из
max
атома. Энергия ионизации — энергия, которую необходимо потратить на
перевод электрона из
E
состояние с
max
= 0
n- состояния с энергией E
E = E
– En = 0 – (–En) = En.
max
в свободное (ионизированное)
n
Несмотря на то, что теория Бора достаточно хорошо описывает свойства
атома водорода, она не свободна от недостатков. Отметим главные из них:
1. Она базируется на квантовых постулатах, но при ее построении
применяются законы классической физики. Следовательно, есть внутреннее
противоречие.
2. Теория не описывает спектры атома Не — простейшего атома,
следующего за атомом Н, не говоря уже о более сложных, многоэлектронных
атомах.
В квантовой механике алгоритм решения задачи об электроне в атоме
водорода следующий.
Электрон в атоме водорода находится в кулоновском поле ядра.
Следовательно, для определения энергетических уровней электрона в атоме
водорода необходимо решить задачу о движении электрона в кулоновском поле
ядра, т. е. решить уравнение Шредингера с потенциальной энергией
U
взаимодействия электрона с ядром. Выражение для этой энергии имеет вид:
2
() .
Ur r
e
0
4
(63)
На рис. 50 показана кривая изменения этой энергии с расстоянием r от
ядра. Из рисунка видно, что атом водорода можно рассматривать как
своеобразную потенциальную яму, ограниченную поверхностью, которая
получается при вращении потенциальной кривой
U(r) вокруг оси, проходящей
через ядро. Яма не имеет дна, а ее борта — гиперболы. Это своего рода
«воронка» без дна. Электрон внутри ямы обладает отрицательной
потенциальной энергией
к нулю и обращающейся в ноль при
U, стремящейся к − бесконечности при r стремящемся
r стремящемся к + бесконечности.
68
Рис. 50. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром от
расстояния r (Е
, Е2, Е3 — энергетические уровни атома водорода)
1
Подставляя формулу (63) в известное вам уравнение Шредингера
получим:
22
8
hr
me
2
E
4
0
0,
(64)
где Δ — оператор Лапласа.
Уравнение (64) описывает стационарные состояния атома водорода.
Решение этого уравнения приводит к следующим результатам.
1. Электрон в атоме водорода обладает дискретным энергетическим
спектром. Собственные значения полной энергии определяются формулой
4
где
Rh
1
E
4
me
— универсальная постоянная, а — главное квантовое число. На
22
8
0
n
nh n
me R
,
222 2
8
0
(65)
рис. 50 показано расположение уровней в потенциальной яме атома водорода.
Видно, с ростом
n энергетические уровни располагаются ближе друг к другу
(интервал между соседними уровнями уменьшается). В принципе это следует
и из выражения (65).
2. Решение уравнения Шредингера позволяет найти не только все
E
энергетические уровни
В основном состоянии электрон характеризуется одной функцией Ψ
, но и все волновые функции электрона [18].
n
69
.
1
В возбужденном состоянии все они вырождены, причем
2
n
— кратно [18].
В квантовой механике вырожденными называют такие состояния когда одному
E
значению
уровню энергии
отвечают несколько Ψ-функций. Например, в атоме водорода
n,
E
соответствуют четыре Ψ-функции, а энергии E3 — девять.
2
Вырожденные состояния отличаются друг от друга величиной момента
L
импульса L, а также значением проекции момента импульса
на какое-либо
z
произвольно выбранное направление
i в пространстве [18]. Причем момент
импульса L может принимать лишь дискретный ряд значений
0,5
где
l — орбитальное (побочное) квантовое число. Оно может принимать
любое целочисленное значение от 0 до
Состояние с
с
l
= 1 называют p-состоянием, с l = 2 d-состоянием, с l = 3 f-состоянием.
l = 0 при любом значении принято называть s-состоянием,
n – 1, т. е. l
1,Lll
= 0, 1, 2, 3, …
3. Решение уравнения Шредингера показывает, что по отношению
к избранной оси
проекция на направление
z вектор L может быть ориентирован только так, чтобы его
z была кратна ħ.
L
= mħ,
z
где m — магнитное квантовое число. Оно может принимать все
целочисленные значения от –
значений [18].
l
до +l, включая ноль. Таким образом всего (2
l
+ 1)
Таблица возможных состояний электрона в атоме водорода
для первых трех главных квантовых чисел
n l
1 0 1s 0
2 0 2s 0
1 2p –1, 0, 1
3 0 3s 0
1 3p –1, 0, 1
2 3d –2, –1, 0, 1, 2
Обозначение
состояния
Итак, состояние электрона в атоме водорода определяется тремя
n, l
квантовыми числами
волновыми функциями Ψ
и m. Это состояние описывается собственными
, являющимися решениями уравнения
nlm
Таблица 2
m
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]