Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в техническую физику. Учебно-методическое пособие
.pdf
Можно показать также, что у микрочастицы обладающей определенной
координатой x, импульс P
. совершенно не определён.
x
Таким образом, в отличие от классической частицы, микрочастицы
в силу своей корпускулярно-волновой природы не имеют одновременно
определенных координат и составляющих импульса, вследствие чего их
состояние не может быть охарактеризовано одновременным заданием этих
параметров.
Если, тем не менее, мы хотим выразить состояние микрочастицы
посредством одновременного задания этих параметров, то сделать это можно
лишь с известным приближением, допускающим неопределенность Δ
Р
в значениях координат частицы и неопределенность Δ
, ΔРу, ΔРz в значениях,
х
х, Δy, Δz
составляющих импульса.
Количественная связь между этими неопределенностями была открыта
в 1927 году Гейзенбергом и имеет следующий вид [22]:
Δх ꞏ ΔРх ≥ h; Δy ꞏ ΔРу ≥ h; Δz ꞏ ΔР
≥ h. (37)
z
Выражения (37) называются соотношениями неопределенностей. Они
являются одним из основных законов квантовой механики. Из этих
соотношений следует, что чем точнее определяются координаты микрочастицы,
тем неопределеннее становятся составляющие импульса. И наоборот, чем
точнее определены составляющие импульса, тем неопределеннее становятся ее
координаты [2].
Соотношения Гейзенберга указывают, в каких пределах можно
пользоваться классическим описанием микрочастицы [18].
Рассмотрим применимость понятия траектории и постараемся
разобраться на качественном уровне в смысле соотношений (37). Пусть
необходимо определить координату микрочастицы в некоторой точке
удается сделать с точностью Δ
х. Чтобы «увидеть» частицу, нужно применить
х и это
«микроскоп», работающий при помощи света с достаточно короткой длины
волны, так как чем меньше λ, тем больше разрешающая способность прибора.
В принципе мы можем сделать Δ
брать длину волны λ такой, чтобы Δ
х ≈ λ. Однако короткая длина волны означает большой импульс
Δ
х как угодно малым, для этого придется лишь
х было того же порядка, что и длина волны:
h
P
у фотона. Этот импульс будет передан «рассматриваемой в микроскоп» частице.
51
Частица получит «щелчок» и изменит свой импульс на величину Δ
Р порядка
h
h
Исключая λ из двух соотношений Δ
х ≈ λ и
P
, получим: выражение,
приводящее к соотношению неопределенности.
Δх ꞏ ΔР ≈ h. (38)
Таким образом описание траектории микрочастицы имеет физический
смысл лишь в том случае, если оно произведено с неопределенностями в
значениях координат и импульса вдоль одного и того же направления,
удовлетворяющими неравенству
Δх ꞏ ΔРx ≥ h. (39)
.
Подставляя вместо импульса
P произведение m ꞏ v (что справедливо для
скоростей, не очень близких к скорости света), получим условие, связывающее
неопределенности в координате и скорости вдоль оси х.
h
xv
.
(40)
m
Правая часть соотношения будет иметь совсем разные порядки величин
в зависимости от того, идет ли речь об электроне, атоме, молекуле или теле
макроскопических размеров с соответствующей массой [18].
10
Для электрона
– 10
м), то
v
10
h
710
m
м
6
. Поэтому бессмысленно говорить в этом случае
м
2
и, если он находится внутри атома (размер
с
с
о траектории движения микрочастицы. Если речь идет о траектории
электронов, скажем в электронно-лучевом мониторе, то это вполне допустимо
(при неопределенности Δ
х ≈ 10
–2
см, неопределенностью Δv ≈ 7 м/с при
скоростях более 1 км/с можно пренебрегать).
Соотношение, подобное (37), существует и между энергией и временем,
а именно:
ΔE ꞏ Δt ≥ h. (41)
Здесь
которого микрочастица обладает энергией
что неопределенность в энергии может достигать существенного значения лишь
тогда, когда время пребывания частицы в данном энергетическом состоянии
мало [18].
ΔE — неопределенность в значении энергии, Δt — время, в течение
E + ΔE. Из выражения (41) видно,
52
Атомный электрон находится сколь угодно долго на своем самом низком
E
(основном) энергетическом уровне. Поэтому энергия основного состояния
фиксирована и может быть определена достаточно точно [18].
На более высоком уровне электрон задерживается весьма недолго
–8
(порядка 10
с). Соответственно частота, излученная атомом, при переходе
с более высокого на более низкий энергетический уровень не может быть
строго определенной, а лежит в небольших границах
[18].
v
h
Это и наблюдается на опыте — спектральные линии обладают конечной
шириной, чем и пользуются для определения так называемых времен жизни
микросистемы в возбужденном состоянии. Опыт показывает, например, что
ширина спектральных линий в рентгеновской области имеет порядок 10 эВ.
Тогда время жизни в возбужденном состоянии имеет порядок
h
E
16
10
[18].
c
3.5. Основы квантовой механики. Уравнение Шредингера
Качественное своеобразие микрочастиц, резко отличающее их от частиц
классической физики, требует и качественно нового подхода к описанию их
движения по сравнению с методами классической механики.
Из наличия у микрочастиц волновых свойств следует, что закон их
движения должен определяться законом распространения волн де Бройля,
связанных с этими частицами. Так как распространение любого волнового
процесса описывается волновым уравнением, то следует ожидать, что
и движение микрочастиц должно описываться волновым уравнением.
Такое уравнение было найдено впервые Шредингером и носит его имя.
Рассмотрим кратко основные представления, связанные с описанием
волнового движения, под которым понимают распространение колебаний
в пространстве с течением времени. Для простоты рассмотрение проведем на
примере распространения механических колебаний в упругой среде вдоль
направления
Х.
Пусть точка, находящаяся в начале отсчета, колеблется согласно
уравнению [18]
ꞏcos .YA t
(42)
53
Запишем уравнение колебания точки, расположенной вдоль линии
x
x
x
x
распространения деформации на расстоянии х от начальной. Эта точка придет
в колебание с запозданием на время
, нужное для распространения
v
деформации на расстояние x. Поэтому колебание точки x будет сдвинуто по
фазе по отношению к начальной точке. Точка x будет находиться в момент
времени t в той же фазе колебания, в какой находилась начальная точка
в момент времени, на
более ранний. Следовательно, уравнение колебания
v
точки, сдвинутой на расстояние х от начала координат, имеет вид [18]
(43)
v
где
— сдвиг фазы.
v
yA t
cos ,
Данное уравнение называют уравнением волны, оно описывает
колебания всех точек, расположенных на любых расстояниях х по отношению
к начальной [18].
Если волна движется слева направо, то правая соседняя точка будет
запаздывать по фазе по сравнению с левой. В обратном случае она будет
опережать ее [18].
Волны, бегущие влево и вправо, показаны на рис. 43. Каждая
синусоида — это мгновенный снимок волны. В каждое следующее мгновение
эта синусоида, как жесткое целое, перемещается в том направлении, куда
передается энергия со скоростью
v [18].
Рис. 43
Таким образом если волна движется вдоль оси координат, то значение
координаты х входит в уравнение (43) со знаком минус, а при движении волны
54
против направления отсчета координаты в аргументе косинуса надо изменить
s
знак на обратный [18].
При волновом движении по гармоническому закону меняется не только
смещение точки, но и ряд других физических величин: скорость колеблющихся
частиц, давление и плотность среды [18].
Поэтому уравнение волны, которое мы рассматриваем, является весьма
общим. Под величиной «
у» можно понимать, например, напряженность
электрического поля и индукцию магнитного поля, изменяющихся по
гармоническому закону при распространении электромагнитной волны вдоль
направления
х [18].
Рис. 44. «Мгновенный снимок» плоско поляризованной электромагнитной волны
В теоретической физике показано, что в самом общем случае волновые
процессы описываются дифференциальным уравнением, которое называется
волновым уравнением:
22
1
222
vt
.
(44)
Функцию Ψ называют волновой функцией (или «пси-функцией»).
В общем случае пси-функция зависит от координат и времени Ψ (
х, у, z, t). Она
может представлять собой некоторую физическую величину, например, вектор
Е или В или их составляющие, поскольку для них всех уравнения одинаковы.
Здесь
s — координата в направлении распространения волны, t — время, v —
скорость ее распространения.
Проверим, что дифференциальному волновому уравнению (44)
удовлетворяет простейший волновой процесс — плоская волна. Как нам
известно (42), уравнение плоской волны с частотой ω, распространяющейся
вдоль направления
s, имеет вид
55
s
Вычислим вторые производные волновой функции Ψ по времени и по
x
координате. Получим
Как видно, результат полностью удовлетворяет уравнению (44).
Если волновая функция должна быть выражена через три координаты
2
2
t
22
22
sv
v
2
(46)
.
(47)
cos .
At
(45)
пространства
х, у, z, то обобщением волнового уравнения является следующая
формула:
222 2
22222
yzvt
1
.
(48)
Для суммы вторых частных производных какой-либо функции (так
называемый оператор Лапласа) существует краткое обозначение: ΔΨ (читается:
лапласиан Ψ). Поэтому уравнение (44) можно записать в виде:
2
1
vt
.
22
(49)
А с учетом первого выражения в формулах (44) из (45) следует, что
волновая функция должна удовлетворять уравнению:
2
v
Если вспомнить, что круговая частота ω = 2
.
2
(50)
ν (ν — частота колебаний),
а также то, что
v
и, следовательно,
2 v
, волновое уравнение можно
представить еще в одной форме записи:
2
40.
2
(51)
Обозначим амплитуду волны, сопоставленной с микрочастицей
массы m, через Ψ. Эта амплитуда, как, впрочем, амплитуда волны любой
природы, есть функция координат. Функция Ψ (
x, у, z) («пси-функция») должна
удовлетворять волновому уравнению (46) [18].
56
h
Подставим в это уравнение длину волны микрочастицы
, выразив
mv
скорость частицы через ее энергию. Если частица движется в поле
с потенциальной энергией
U и обладает полной энергией ε, то
2
mv
2
U
и
2
m
.vU
(52)
Подставляя в волновое уравнение, получим:
2
80.m
2
h
U
(53)
Это уравнение называется стационарным уравнением Шредингера
и является основным законом квантовой механики [18].
Проведенная подстановка в волновое уравнение ни в какой мере не
является выводом основного закона квантовой механики. Ее надо рассматривать
только как иллюстрацию догадки, приведшей к открытию этого уравнения [18].
Так же, как и основной закон движения Ньютона для макроскопических
тел, уравнение Шредингера является основным законом природы,
охватывающим, обширный круг явлений, связанных, однако, с поведением
микрочастиц в микромире [18].
3.6. Электрон в потенциальной яме
Итак, микрочастицы подчиняются уравнению Шредингера
2
80.m
h
Здесь: Ψ (
х, у, z) — волновая функция; U (х, у, z) — потенциальная, а E —
полная энергия микрочастицы.
Рассмотрим движение микрочастицы (например, электрона) вдоль оси
в потенциальном поле, определяемом следующим образом (рис. 45):
EU
2
(54)
x
57
U
n
= 3
n = 2
n = 1
n = 0
х
a
Рис. 45. Бесконечно глубокая потенциальная яма шириной «а»
Внутри ямы потенциальная энергия U(х) = 0, а на «бортах» ямы U(х) = ∞.
Если бы к электрону были применимы законы механики Ньютона, то
такой электрон двигался бы непрерывно сначала в одну сторону ящика, упруго
отражался бы от стенки, затем двигался бы в обратную сторону и т. д. [18]
2
mv
Действительно при
U (х) = 0 кинетическая энергия
будет постоянной
2
и равна полной энергии
E. Для каждой данной энергии движение будет
равномерным и будет происходить то в одну, то в другую сторону, причем
в конце дозволенного интервала скорость меняется скачком по направлению
[18].
При квантово-механическом рассмотрении поведение электрона мы
должны характеризовать функцией Ψ, квадрат которой укажет вероятность
нахождения электрона в какой-либо точке дозволенного отрезка «
внутри ящика
U = 0, то уравнение Шредингера упрощается и записывается
a». Так как
в виде [18]
22
d
dx
4
22
0
, гдe
2hmE
.
(55)
Можно проверить подстановкой, что этому уравнению удовлетворяют два
решения (синус и косинус от аргумента
2 x
) [18].
58
xA
x
sin
2
cos .
A
2
(56)
(57)
Если границы ямы
= 0 и = a, то при этих значениях Ψ = 0 (за стенки
электрон не проникает). Поэтому решение (57) с косинусом не годится так как
2
x
cos 1
при = 0. Значит, остается решение (56) [18].
Но длина волны λ не может быть любой, так Ψ = 0 при
x = a. Значит,
должно выполняться равенство [18]
или
2
2
n
1an
a
,
где n = 0, 1, 2
1
Итак, длина волны может принять только дискретные значения
2
2, , , ,
aa
aa
32
Таким образом, функция представляет собой амплитуду стоячей волны,
и вся рассмотренная задача имеет формально много общего с задачей
о колебании стержня или струны [18].
Но если длина волны к имеет дискретный ряд значений, то энергия
E
микрочастицы уже не может быть любой, а равна [18]
E
8
ma
.
(58)
2
2
2
1
nh
Целое число n называется квантовым числом [18].
Таким образом, уравнение Шредингера приводит к квантованию
энергии. Микрочастица в потенциальном ящике имеет ряд дискретных уровней
энергии. Самый низкий энергетический уровень имеет место при
2
h
E
0
8
.
(59)
2
ma
n = 0 [18].
Это так называемая нулевая энергия частицы, находящейся
в потенциальной яме [18].
Наличие нулевой энергии является интересной особенностью
микрочастиц. У «обычных» частиц низшей энергией является нулевое значение.
59
У микрочастиц ни при каких условиях не достигается прекращение
A
движения. При абсолютном нуле температуры микрочастица обладает
определенной нулевой энергией, существенно различной в зависимости от
характера поля сил, в котором она находится [18].
Пример 1.
Пусть, а = 1Å (характерная для атомной области величина).
Тогда нулевая энергия электрона в потенциальном ящике будет
2
E
h
0
8
ma
2
37 эВ.
Если, a = 1 см (свободный электрон в куске металла).
Тогда E
= 37 ꞏ 10
0
–16
эВ [18].
Находясь на данном энергетическом уровне, электрон имеет скорость,
h
которую можно вычислить из длины волны:
. Однако движение
v
m
электрона уже нельзя описывать уравнениями классической механики,
и невозможно указать, где находится электрон в тот или иной момент времени.
2
Зато можно найти значение Ψ
, т. е. плотность вероятности нахождения
электрона в том или ином месте пространства [18]
222 22
n
2
sin sin 1 .
xA n x
a
Важно подчеркнуть, что каждому энергетическому уровню (
соответствует своя (того же номера
n) волновая функция (так называемая
собственная пси-функция, соответственно (Ψ
E
, E1, E2, …)
0
, Ψ1, Ψ2, …) [18].
0
2
hx
99,sin
EEC
313
44,sin
EEC
212
2
8
mL L
2
hx
2
8
mL L
3
2
2
hx
EC
11
8
,sin
2
mL L
Рис. 46. Энергии и волновые функции электрона в «потенциальной яме» с бесконечно
высокими стенками
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]