Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Атомная и ядерная физика. Конспект лекций
.pdf
При большой (Mc)2≫ q2массе частицы, переносящей взаимодействие, матричный эле-
z
x
r
мент будет константой. Для кулоновского потенциала M → 0. Подставив значение матричного элемента в выражение для сечения и используя равенство q2= 4p2sin2θ/2, получим
формулу Резерфорда:
2
α
4m2v
dΩ
4
sin4θ/2
.
dσ =
4m2α
4
q
2
dΩ =
Для рассеяния частиц со спином нужно учитывать взаимодействие магнитного момента электрона с полем ядра. Формула для рассеяния электронов на точечном ядре была
получена М оттом:
2
dσ =
4α2E
(qc)
(1 − β2sin
4
θ
2
),
2
где E — энергия электрона, а βc — его скорость. При β → 0 формула Мотта переходит в
формулу Резерфорда.
2.8.2. Формфакторы
Рассмотрим случай неточечного заряда.
Рассеивающий потенциал ядра дается следующей формулой:
Z
U(r) = −
Ze
2
ρ(x)d3x.
|r − x|
Подставим это выражение в формулу
2
dσ =
Используя соотношение r = x + z перепишем интеграл в виде:
Z
U(r)e
iqr
−
~
m
|ZU(r)e
4
4π~
dV == −Zd3xe
iqr
−
~
iqx
−
~
ρ(x)Zd3r
dV |2dΩ.
Ze
2
iqz
−
~
e
.
z
Второй интеграл после замены d3r на d3z при фиксированном x равен 4π~Ze2/q2, и формула для сечения переписывается в виде:
dσ = dσ
Мотт
|F (q2)|2,
71
где функция
iqx
−
~
F (q2) =Zd3xe
ρ(x)
называется электрическим формфактором и описывает отличие распределения заряда в
ядре от точечного. При нулевом передаваемом импульсе F = 1 для заряженной частицы
и 0 для нейтральной.
Эксперименты по рассеянию электронов на ядрах были проведены в 1950-х годах
Р. Хофштадтером в SLAC.
Из измеренной зависимости формфактора от q2можно извлечь распределение заряда.
t
1
Простейшим распределением, неплохо описыва-
0.8
0.6
R
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10
При наличии у ядра магнитного момента надо учитывать также взаимодействие электрона с магнитным моментом ядра. Аналогично электрическому формфактору вводится
магнитный формфактор:
FM(q2) =Zd3xe
ющим экспериментальные данные, является
ρ
1 + e
0
1/3
r−R
a
,
− 0.48,
ρ(r) =
R(Фм) = 1.18A
t = 4 ln 2a ≈ 2.4 Фм
iqx
−
~
µ(x), FM(0) =
µ
.
µ
N
С учетом магнитного формфактора
n
dσ = dσ
Мотт
|FE|2+ b|FM|
1 + b
2
+ 2b|FM|2tg
72
o
θ
2
, b =
2
−q
4m2c
2
.
2
2.9. Слабые взаимодействия
Электромагнитное — взаимодействие электромагнитного тока с фотонами. Слабое —
взаимодействие слабого тока с промежуточными векторными бозонами: W+, W−, Z0:
e
γ W
µ µ
MW= 80.4 ГэВ, поэтому H
энергиях является точечным. Величина g2/(8m
Ферми. GF/(~c)3= 1.17 ×10−5ГэВ−2. Слабость взаимодействия возникает из-за большой
массы W бозона. При энергиях сравнимых с массой W слабое взаимодействие того же
порядка, что и электромагнитное (g2/
Слабый заряженный ток имеет лептонную и кварковую составляющие:
e e e
Hel= e2j
µ
d u
e
g
µν
q
jν, H
2
weak
weak
= g2/(8m
g
=
√
2)/e2≈ 2.
ν
2
µ
j
8
q2− m
2
)jµjµи слабое взаимодействие при низких
W
2
) = GF/
W
1
2
W
√
ν ν
qµq
gµν−
2 называется константой связи
m
ν
jν.
2
W
Z
jl= ¯eνe+ ¯µνµ+ ¯τντ,
jq=¯d′u + ¯s′c +¯b′t.
В кварковый ток входят «повернутые» кварки. Для первых двух поколений связь между
истинными и повернутыми кварками определяется углом Кабиббо θc≈ 13◦:
d′= d cos θc+ s sin θc, s′= −d sin θc+ s cos θc.
Электромагнитный ток описывается вектором, поэтому гамильтониан является скаляром и ч¨етность при электромагнитных взаимодействиях сохраняется. Для слабых взаимодействий гамильтониан является суммой скаляра и псевдоскаляра, то есть ч¨етность не
сохраняется. Слабый ток является разностью вектора и аксиального вектора (V −A ток).
Причем нарушение является 100%.
Для частицы можно ввести понятие спиральности, проекции спина на направление
ее движения. Если спин направлен против импульса, то частиц а называется левополяризованной. Для частиц, обладающих массой, понятие спиральности не является лоренцинвариантным. Для безмассовых частиц спиральность — точное квантовое число. При
пространственной инверсии спиральность меняет знак. Структура же слабого тока такова, что в н¨ем участвуют только левополяризованные частицы. Это приводит к тому, что
в с лабых процессах невозможно получить правополяризованные нейтрино.
73
2.10. β-распад
Имеется три вида β-распада:
1. β−-распад. П римеры: n → p + e−+ ¯νe,
M(A, Z) > M (A, Z + 1) + m или Mат(A, Z) > Mат(A, Z + 1).
+
β
2. β+-распад. П ример:
M(A, Z) > M (A, Z − 1) + m или Mат(A, Z) > Mат(A, Z − 1) + 2m.
11
C
6
−→
11
5
B.
−
β
3
H
1
−→
3
He.
2
3. e-захват. Пример:
55
F eK−→
26
55
Mn с испусканием γ-кванта с энергией 5.9 кэВ (24%)
25
или 6.5 кэВ (3%).
M(A, Z) + m > M(A, Z − 1) или Mат(A, Z) > Mат(A, Z − 1)
24
20
β
16
M-60460, MeV
12
8
4
Ядру
76
Ge энергетически выгодно перейти в состояние
32
-
-
β
-
β
A=65
+
β
+
β
26 27 28 29 30 31 32
+
β
Z
30
-
β
A=76
25
20
M-70700, MeV
15
10
5
0
28 30 32 34 36 38
-
β
-
β
K
-
β
76
Se. Этот процесс может идти
32
+
β
+
β
+
β
+
β
Z
за счет двойного β-распада, когда испускаются два электрона и два нейтрино. Интерес
к двойному β-распаду связан с возможным безнейтринным процессом. При наличии у
нейтрино массы в лагранжиане появится массовый член m¯ψψ. Поскольку нейтрино является нейтральной частицей, возможен и другой член m′ψCψ, переводящий частицу в
античастицу. Здесь C — оператор зарядового сопряжения, а m′— майоранова масса. При
наличии такого члена возникло бы смешивание между нейтрино и антинейтрино.
Наилучший результат по двойному β-распаду в настоящее время получен в эксперименте Гейдельберг-Москва с
76
Ge. Само исследуемое вещество (10 кг) является детектором
32
с разрешением при E = 2.6 МэВ около 0.1%. Измеренный период полураспада составил
1.55 × 1021лет. Для безнейтринного процесса получено ограничение > 2 · 1025лет, что
соответствует майорановой массе < 0.35 эВ.
2.10.1. Энергетический спектр
В 1930 г. В. Паули выдвинул гипотезу нейтрино, a в 1934 г. Э. Ферми создал теорию
β-распада. Вероятность распада равна
W =
2π
~
Z
⋆
ψ
HψidV
f
2
δ(Ei− Ef)
74
d3p
(2π~)
3
(2π~)
d3k
,
3
где ψi= ψNi— волновая функция начального ядра, ψf= ψNfψeψν. В пренебрежении
энергией ядра отдачи фазовый объем конечных частиц можно переписать:
где E
= Mic2− Mfc2.
max
δ(E
− E − ck)
max
k2pEdEdΩedΩ
c3(2π~)
6
ν
d3p
(2π~)
dΩedΩ
=
(2π~c)
d3k
3
ν
(E2− mc2)
6
(2π~)
3
k2p2dpdΩedΩ
=
c(2π~)
1/2
(E
max
ν
=
6
− E)2EdE,
Волновые функции электрона и нейтрино описываются плоскими волнами:
e
ipr
~
= 1 +
ipr
+ . . .
~
Первый член соответствует S-волновому взаимодействию, следующий — P -волновому
и т. д. pr/~ ≈ mc2R0/(~c) ≈ 10−2. Таким образом β-распад идет в основном в S-волне.
В S-волновом приближении зависимость от энергий электрона и нейтрино в матричном
элементе пропадает. После интегрирования по углам вылета электрона и нейтрино матричный элемент сводится к интегралу перекрытия между волновыми функциями конечного и начального ядер. Для разрешенных переходов (l = 0) |M2| ∼ 1. Спектр электронов
описывается следующей функцией:
dN = N0(E2− mc2)
1/2
(E
− E)2EdE.
max
0.25
N(E)
0.2
0.15
0.1
0.05
-
β
+
β
0
0.6 0.8 1 1.2 1.4
E, MeV
Форма спектра искажается кулоновским взаимодействием электрона с ядром. Для анализа β-спектров
обычно используется график Кюри (N (E)/pE)
1/2
.
Интегрируя энергетическое распределение, можно получить зависимость вероятности
распада от выделяющейся энергии:
W ∼ E
5
max
.
Для разрешенных распадов (l = 0) существуют правила отбора:
1. Ф ерми. ∆I = 0. За сч¨ет векторной части адронного тока.
2. Гамова–Теллера. ∆I = 0, ±1 (кроме 0–0 переходов). За сч¨ет аксиальной части адронного тока.
В обоих случаях ч¨етность начального и конечного состояний одинакова, поскольку матричный элемент не содержит пространственных переменных.
Угловая корреляция описывается формулой:
dΩ
(1 + an · v/c),
4π
где n — единичный вектор в направлении вылета нейтрино. a = 1 для переходов Ферми,
и a = −1/3 для переходов Гамова-Теллера.
75
2.10.2. Несохранение ч¨етности в β-распаде
В 1956 г. Ц. Ли и Д. Янг для объяснения «загадки τ − θ» выдвинули гипотезу, что в
слабых взаимодействиях ч¨етность не сохраняется.
K+→ π++ π++ π−(τ − распад),
K+→ π++ π0(θ − распад).
ч¨етность пиона отрицательная, а спин равен 0. В первом распаде все три пиона находятся
в S-состоянии, значит спин каона — 0, а ч¨етность — отрицательная. Во второй реакции
при нулевом спине каона ч¨етность положительна.
В 1957 г. Д. Ву провел эксперимент по изучению корреляции между направлениями
импульса электрона и спина ядра. Основная трудность эксперимента — получение поляризованных ядер. Для этого потребовались:
1. Низкие температуры (0.01 К). Адиабатическое размагничивание.
2. Сильное магнитное поле (105Гс). Использование магнитного поля атомных электронов в парамагнетиках (Ni, Fe, Co . . . ). Атомные моменты могут быть ориентированы
с помощью полей ∼ 100 Гс.
Ниже приведена схема эксперимента.
5
+
Co
60
T
−
β
0.314 MeV
=5.2 y
1/2
PMT
NaI
PMT
+
4
γ
1.173 MeV
sc
+
2
NaI
PMT
0
+
γ
1.332 MeV
60
Co
60
Ni
Степень поляризации ядер измерялась по анизотропии γ-излучения, регистрируемого с
помощью сч¨етчиков на основе кристаллов NaI. β-излучение регистрировалось кристаллом
антрацена (SC). Измерялась скорость счета при двух направлениях поляризующего поля.
Наблюдающаяся асимметрия согласуется с распределением:
v
I(θ) = 1 + α
где угол θ отсчитывается от направления спина ядра. Угловое распределение представляет
собой сумму скаляра (1) и псевдоскаляра (pI), т.е ч¨етность в β-распаде не сохраняется.
Спиральность электронов отрицательная.
cos θ, α ≈ −1,
c
2.10.3. Измерение спиральности нейтрино
Для выяснения свойств слабого взаимодействия требовалось измерить спиральность
нейтрино (М. Гольдхабер, 1958). Идея эксперимента следующая. Предположим ядро A
(I=0) переходит в ядро B⋆(I=1) за сч¨ет K-захвата:
1
) + A(0) → B⋆(1) + ν(
eK(
2
76
1
).
2
Конечное ядро и нейтрино разлетаются в противоположные стороны. Из закона сохра-
000
000
111
111
00000
11111
00
11
0011001
1
нения момента следует, что спиральности ядра и нейтрино одинаковы. Поэтому вместо
спиральности нейтрино можно измерить спиральность ядра. Далее ядро B⋆переходит в
основное состояние B (I=0) с испусканием фотона:
B⋆(1) → B(0) + γ(1).
Поскольку ядро поляризовано, то фотон испускаемый в направлении движения ядра имеет
ту же спиральность, что ядро. Значит, чтобы определить спиральность нейтрино, нужно
измерить знак циркулярной поляризации фотона, летящего в сторону противоположную
нейтрино.
152
Eu
63
J=0
ν
J=1
Eν= 890 keV
B
*
A
Pb
Sm
O
3
Eγ=960 KeV
-13
T=10
c
J=0
152
Sm
62
Для выбора направления фотона можно использовать резонансное рассеяние на мишени
из Sm. При излучении фотона ядро испытывает отдачу, и энергия фотона меньше энергии возбуждения E0на величину E
поглощающее фотон. Разность энергий между испущенным фотоном и фотоном, который может поглотиться, составляет E
Γ = ~/τ ≈ 0.01 эВ, а уширение за счет теплового движения — σD= E
эВ.
2
E
0
-
=
E
E
0
1
E0E
=
∆
Mc
Mc
ν
2
2
γ
NaI
PMT
2
/(2M). Такую же отдачу испытывает ядро мишени,
0
2
/M = 6.5 эВ. Естественная ширина линии равна
0
p
(kT )/(M c2) = 0.4
0
2
E
-
1
После испускания нейтрино ядро движется
со скоростью v/c = Eν/Mc2, и фотон,
излученный в направлении движения ядра, приобретает дополнительную энергию
EνE0/Mc2, которая скомпенсирует потерю
на отдачу при Eν= E0. В случае распада
152
Eu для полной компенсации не хватает
приблизительно 0.5 МэВ.
∆
E
1
E
+
1
E
∆
0
77
Для измерения поляризации используется поляризационная зависимость сечения эффекта
Комптона. Излучение проходит через намагниченное железо, коэффициент пропускания
которого зависит от взаимной ориентации спинов электронов в железе и фотона. При двух
направлениях магнитного поля измерялись скорости счета фотонов с энергией резонансного рассеяния. По их разнице, составляющей около 2%, определялась степень поляризации
фотонов. Результат (−67 ± 10)% соответствует отрицательной спиральности нейтрино.
2.10.4. Измерение спиральности β-частиц
Продольная поляризация β-частиц была обнаружена в 1928 г. Однако в то время результаты этих экспериментов были проигнорированы. Следующий этап исследований начался в 1957 г. Используются следующие экспериментальные методы:
Моттовское рассеяние
S
-
+
µ
s
v
+
s
v
S
+
H
Электроны со спином вверх предпочитают рассеиваться направо. Для преобразования
продольной поляризации в поперечную используются:
1. радиальное электрическое поле (δφ = πγ/(g − (g − 2)γ2)),
2. скрещенные электрическое и магнитные поля при условии E/H = v/c,
3. рассеяние на мишени с малым Z.
Меллеровское и Баба рассеяние
Максимальная разница между сечениями рассеяния с параллельными и антипараллельными спинами наблюдается при лобовом столкновении. В лабораторной системе при этом
из мишени вылетают два электрона с одинаковой энергией.
1
σ
σ
p
a
1/8
-
e
0
0 1
+
e
2
E, MeV
σ
p
Электронный пучок под малым углом падает на намагниченную фольгу, вылетевшие частицы регистрируются двумя счетчиками, включенными на совпадения.
σ
a
78
Тормозное излучение
Излучение поляризованных электронов обладает циркулярной поляризацией.
В результате многочисленных экспериментов (1957–1962) с точностью лучше 1% было
установлено, что pl/(v/c) = −1 для электронов, и +1 для позитронов.
2.10.5. Наблюдение взаимодействия нейтрино
Впервые взаимодействие нейтрино с веществом наблюдалось Ф. Райнесом и К. Коуэном
в 1959 г. На антинейтрино от реактора наблюдалась реакция
¯ν + p → n + e+.
Поток нейтрино составлял приблизительно 1013см−2с−1, общее число протонов в мишенях
равнялось 3 × 1028.
ν
LSc
+
e
n
n
+
7.6 cm
Регистрировались импульсы от аннигиляции позитрона, которые сопровождались задержанным примерно на 10 мкс сигналом от нейтрона. При захвате нейтрона кадмием излучается несколько фотонов с суммарной энергией около 10 МэВ. Регистрировалось около
тр¨ех событий в час. Фон составлял около 25% и был связан в основном с космическим
излучением. Изм еренное сечение реакции σ ≈ 10
Поиск другой реакции ¯ν + n → p + e−был проведен Р. Дэвисом. Реакторными антинейтрино облучался большой объем CCl4(4000 л, 117 000 л). Ожидалась реакция
Изотоп
37
Ar имеет период полураспада 34 дня. После длительного, около 1 мес., облучения
18
аргон отделялся методом носителя (
37
Ar распадается путем e-захвата. При этом в 80% случаев испускается Оже-электрон с
18
энергией 2.8 кэВ, для регистрации которого использовался счетчик Гейгера. Процесс не
был обнаружен с сечением σ < 0.25 × 10
для регистрации солнечных нейтрино.
e
H
O+CdCl
2
LSc
−43см2
37
¯ν +
Cl → e−+
17
36
Ar), и исследовалось его радиоактивность. Изотоп
18
−45см2
. Эта методика была затем использована
37
18
2
10µs
совпало с ожидаемым.
Ar.
2.10.6. Солнечная модель
Около 74% массы Солнца составляет водород, 23.5% — гелий. В водородно-гелиевой
среде из-за отсутствия сильных реакций, таких как
p + p →2He + γ,
79
p +4He →5Li + γ,
4
He +4He →8Be + γ,
водородный цикл начинается со слабой реакции.
Реакция Энергия нейтрино (МэВ)
p + p →2H + e++ ν
p + e−+ p →2H + ν
2
H + p →3He + γ
3
He +3He →4He + 2p
e
e
или
3
He +4He →7Be + γ
e−+7Be →7Li + ν
7
Li + p →4He +4He
e
или
3
He +4He →7Be + γ
p +7Be →8B + γ
8
B →8Be + e++ ν
e
В результате происходит превращение
4p →4He + 26.7 MeV.
0.0–0.4
1.4
0.86, 0.38
0–15
От 2 до 19% энергии уносится нейтрино.
Небольшая доля энергии образуется в углеродном цикле
12
C + p →13N + γ,
13
N →13C + e++ νe,
13
C + p →14N + γ,
14
N + p →15O + γ,
15
O →15N + e++ νe,
15
N + p →12C +4He.
Углерод образуется в реакции 34He →12C.
Солнечные нейтрино регистрируются тремя типами детекторов:
1. на основе хлора: νe+37Cl →37Ar + e−,
2. на основе галлия: νe+71Ga →71Ge + e−,
3. на основе воды: νe+ e−→ νe+ e−.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]