Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Атомная и ядерная физика. Конспект лекций
.pdf
Phys. Rev. D 66, 012002 (2002).
vx= qE/6πηr.
vz= 2r2ρg/9η − v
air
.
1. Размер капели — 20 мкм.
2. Скорость генерации капель — 1 Гц.
3. Количество капель — 17 млн.
4. Количество вещества — 70.1 мг.
5. Время — 7 мес.
Распределение по mod(Q, e). На в 4 раза большем количестве вещества капель с дробным
зарядом не обнаружено.
Поиск массивных частиц
Методика Милликена может быть применена для поиска сверхтяж¨елых частиц.
1. LHC (14 ТэВ) — 3 × 103ГэВ/c2,
11
2. другие непрямые методы — 105ГэВ/c2,
3. VLHC (200 ТэВ) — 106ГэВ/c2,
4. методика М илликена — 1013– 1017ГэВ/c2.
Скорость падения в поле тяжести пропорциональна массе:
v(m + M ) = (m + M )g/6πηr.
Нижний предел измерения массы: для капли с диаметром 6 мкм и плотностью 1.4 г/см
масса равна 1.6 × 10
−10
г или 1014ГэВ/c2.
Верхний предел: частица должна быть связана в веществе. Энергия связи должна быть
больше M g. Что дает 1017ГэВ/c2для заряженной частицы с характерной энергией связи
Eb= 1 эВ.
Возможные трудности для применения этой методики на Земле:
1. Отсутствие в земных материалах. Частицы ушли к центру земли.
2. Частицы вытряхиваются из метеоритов при торможении и ударе о землю.
1.1.6. Положительные лучи. Масс-спектрометрия
Из газоразрядной трубки можно выводить положительные ионы через щель в катоде.
Дж. Д. Томпсон предложил методику измерения отношения q/m для ионов с помощью
параллельных и B:
qE
l
y =
·
m
,
qvxB
z =
m
Для ионов с одинаковым q/m вспышки от флуоресценции на экране будут располагаться
вдоль параболы
q
z2=
m
Для положительных лучей q/m — разные, массы равны массам соответствующих атомов.
В этих экспериментах было найдено mH/me≈ 1836. Были обнаружены изотопы.
v
x
l
·
v
x
B2ld
E
d
·
,
v
x
d
·
.
v
x
y.
3
B
R
E B
Развитие методики Томпсона привело к созданию масс-спектрометрии. На рисунке показана
схема масс-спектрографа Бейнбриджа. Он состоит из двух основных частей: селектора скоростей
со скрещенными электрическим и магнитным полями (v = E/B) и анализирующего магнита.
qB′R
m =
.
v
12
1.1.7. Опыты Резерфорда (1909–1913)
ω (eV)
ρ(ω) (arb. units)
В 1895 г. были открыты рентгеновские лучи. В 1896 г. А. А. Беккерель открыл естественную радиоактивность. В 1899 г. Э. Резерфордом были обнаружены α-частицы (He++).
Эксперименты по рассеянию α-частиц при прохождения через золотые пластинки проводились Х.Гейгером и Э.Марсдером. Было обнаружено рассеяние на большой угол, которое не ожидалось в модели атома Томпсона. Теоретическое объяснение распределения
рассеянных частиц было дано в 1911 г. Резерфордом. В предположении точечных зарядов:
dN
= (nd)N(
dΩ
zZe
2Mv
2
2
2
)
1
sin4(
.
θ
)
2
В экспериментах было показано, что эта формула справедлива для прицельных параметров
2
zZe
ρ =
Mv
θ
ctg
2
2
> 10
−12
см.
Естественным выводом является планетарная модель атома.
1.1.8. Атомные спектры
Наблюдаемые спектры излучения, например, нагретых разряженных ионизированных
газов являются линейчатыми. Для атома водорода в видимой области справедлива формула Бальмера (1885):
3645.6n
λ =
2
, n = 3, 4, 5. . ..
n2− 4
1.1.9. Тепловое равновесие излучения
В классической физике для спектральной плотности излучения черного тела справедлива формула Рэлея-Джинса:
ρ(ω)dω =
Видно, что полная энергия бесконечна.
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Измеренный спектр естественно отличается от
этой формулы. М.Планк в 1900 г. предположил,
что энергия испускается и поглощается порциями
кратными ~ω. Характерные значения величин:
ω
π2c
2
kT dω.
3
kT (300K) ≈ 1/38.7 эВ,
~ω(λ = 400 нм) ≈ 3 эВ.
Вероятность того, что занят определенный уровень энергии равна
Pn(E) = N0exp(−n~ω/kT ).
Средняя энергия:
< E >=
X
EiP (Ei)/
X
P (Ei) =
~ω
exp(~ω/kT ) − 1
13
.
Плотность излучения:
1.1.10. Теплоемкость
ρ(ω)dω =
2
ω
3
π2c
exp(~ω/kT ) − 1
~ω
dω.
В классической физике для одноатомного газа U =
атомного газа ожидается U =
7
RT .
2
3
RT и CV=
2
dU
dT
3
=
R. Для двух-
2
В реальности при нормальных условиях CV/R у гелия равно 1.5, у водорода — 2.43, у
хлора — 3.04. Объяснение: не хватает энергии для возбуждения колебательных степеней
свободы. Для водорода δE
вращ
= 0.0076 эВ, а δE
колеб
= 0.54.
1.1.11. Фотоэффект
При освещении поверхности металла светом из него вылетают электроны. Законы фотоэффекта:
1. Число фотоэлектронов пропорционально интенсивности света.
2. Существует пороговая частота.
3. Энергия электронов пропорциональна частоте света и не зависит от его интенсивности.
Для объяснения фотоэффекта А. Эйнштейн использовал понятие кванта энергии:
1
~ω =
mv2+ W,
2
где W — работа выхода.
1.1.12. Модель атома водорода Бора (1913)
Модель Резерфорда для круговой орбиты:
2
F = −
mv
2
e
= −
2
r
2
2
e
=
, U = −
2r
Полная энергия электрона:
E = −
2r
Постулаты Бора:
1. Из всех электронных орбит возможны только те, для которых момент кратен ~.
2. При испускании и поглощении фотонов энергия атома изменяется на величину
~ω = Ei− Ef,
2
mv
,
r
2
e
.
r
2
e
.
т. е. излучение возможно только при переходе с одной стационарной орбиты на другую.
14
Для момента:
mvr = n~, n = 1, 2. . .
Боровский радиус:
2
~
2
r = n
= 0.529 · 10−8n2см.
2
me
Энергии уровней:
En=
me
2~
4
1
·
=
2
n
mc2α
21n
2
2
13.6 эВ
=
.
2
n
Для переходов между уровнями (1/λ = ω/2πc):
1
= R · (
λ
1
1
2
n
f
−
2
n
i
), R =
E
1
2π~c
= 109740 см
−1
nf= 1, 2, 3 — серии Лаймана, Бальмера, Пашена.
Характерные константы:
2
≈
1
137
,
−13
см.
e
α =
~c
~c ≈ 200 МэВ · Фм, 1 Ферми = 10
Модель Бора дает также предсказания для водородоподобных атомов. При заменах:
m → mM/(m + M), e2→ Ze2,
получается
1
=
λ
Z2R
1 + m/M
∞
!
1
1
−
2
n
f
.
2
n
i
Выводы:
1. Для всех ионов, обладающих водородоподобной структурой (He+, Li++), спектральные серии похожи.
2. Спектральные линии изотопов отличаются. Открытие в 1932 г. изотопа водорода2H.
-0.54
n=4
n=3
n=2
III
II
-0.85
-1.51
-3.39
I — серия Лаймана;
II — серия Бальмера;
III — серия Пашена.
При соударениях атома с другими частицами или поглощении света возможны
возбуждение (∆E < 13.6 эВ) или ионизация (∆E > 13.6 эВ). При ∆E > 13.6 эВ
электроны имеют непрерывное распределение по энергии.
n=1
I
-13.6
Переход из возбужденного состояния может происходить в несколько этапов (флуоресценция). Атомы некоторых веществ имеют метастабильные состояния, тогда появляется
послесвечение или фосфоресценция.
15
1.1.13. Гипотеза Луи де Бройля (1924)
Наличие у частиц волновых свойств: E = ~ω, p = ~k.
|k| = 2π/λ, λ = 2π~/p.
Для атома водорода pr = n~ → 2πr = nλ
r
n = 1 : λ ≈ 3 × 10−8см, v/c =
Свободная частица описывается плоской волной:
i
−
~
θ
Ψ = A · e
θ
d
0.511 × 10
(Et−pr)
Гипотеза де Бройля была подтверждена в
опытах К.Д.Девисона и Л.Х.Джермера в
1927 г. Они наблюдали дифракцию электронов на кристалле. Справедлива формула Вульфа-Брегга:
2 · 13.6
.
= 0.0073
6
2d sin θ = nλ.
1.2. Уравнение Шредингера для атома водорода (1926)
Основные понятия:
1. Состояние системы описывается волновой функцией Ψ(x). |Ψ|2— плотность вероятности.
2. Принцип суперпозиции: Ψ
3. Динамическим переменным классической механики соответствуют операторы:
4. Волновая функция может быть разложена по собственным функциям физической
величины f :
5. Уравнение Шредингера:
Для стационарных состояний:
= c1Ψ1+ c2Ψ
1,2
ˆ
H = −
X
Ψ =
n
2
ˆ
p = −i~∇,
ˆ
L = −i~[r∇],
2
~
∆ + U(r).
2m
anΨn,ˆfΨn= fnΨn.
∂Ψ
i~
=ˆHΨ.
∂t
ˆ
HΨn= EnΨn, Ψn= ψn(x)exp(−
16
i
Ent).
~
6. Если операторыˆf и ˆg коммутативны (ˆf ˆg − ˆgˆf = 0), то у них существуют общие
собственные функции, то есть соответствующие физические величины являются одновременно измеримыми.
1.2.1. Момент импульса
Основные понятия и определения:
Коммутаторы:
{ˆly,ˆlz} = iˆlx, {ˆl2, li} = 0,
ˆ
l±=ˆlx±ˆly, {ˆlz,ˆl±} = ±ˆl±, {ˆl+,ˆl−} = 2ˆlz,
ˆ
l2=ˆl
−
ˆ
l++ˆl
2
z
+ˆlz.
Компоненты момента в сферических координатах:
ˆ
lz= −i
∂
,
∂φ
ˆ
l±=ˆlx±ˆly= −e
2
∂
ˆ
l2= −[
1
sin2θ
∂φ
±iφ
2
(±
+
sin θ∂∂θ
∂
+ i ctgθ
∂θ
1
(sin θ
∂
),
∂φ
∂
)].
∂θ
Собственные значения момента:
∂ψ
−i
= lzψ,
∂φ
ψ = f (r, θ)e
ilzφ
.
Требование однозначности ψ (период 2π) приводит к соотношению:
lz= m, m = 0, ±1, ±2, . . ..
Стационарные состояния, отличающиеся только значением m вырождены.
ψm— волновые функции стационарного состояния с определенным l2. l — максимальное
значение m.
ˆ
ˆ
l
l±ψm=ˆl
z
ˆ
lzψm±ˆl±ψm= (m ± 1)ˆl±ψm, ψ
±
m±1
= cˆl±ψm.
Тогда
ˆ
l+ψl= 0
и
ˆ
ˆ
l
l+ψl= (ˆl2−ˆl
−
2
−ˆlz)ψl= 0.
z
l2= l(l + 1), l = 0, 1, 2. . ..
m может принимать 2l + 1 значений −l, −l + 1, . . .l.
Собственные функции момента находятся из уравнения:
1
sin θ∂∂θ
(sin θ
∂Ψ
) +
∂θ
1
sin2θ
∂2Ψ
+ l(l + 1)Ψ = 0.
2
∂φ
Угловая зависимость собственных функций момента описывается сферическими функциями Ylm= Φm(φ)Θlm(θ):
r
1
Y00=
,
4π
17
r
3
Y10= i
cos θ,
4π
r
Y
1,±1
= ∓i
3
sin θ · e
8π
±iφ
,
r
5
Y20= i
(1 − 3 cos2θ),
16π
r
Y
2,±1
= ±
15
cos θ sin θ · e
8π
±iφ
,
r
Y
2,±2
= −
15
sin2θ · e
32π
±2iφ
.
Графически соответствующие плотности вероятности выглядят следующим образом:
Z
m=0 m=1
l=1
m=0 m=1 m=2
l=2
m=0 m=1 m=2 m=3
1.2.2. Движение в центрально-симметричном поле
Запишем уравнение Шредингера для частицы с массой m в центрально-симметричном
поле U(r)
∆ψ +
в полярных координатах
2m
[E − U(r)]ψ = 0
2
~
l=3
X
2
1
∂
(rψ) +
2
r
∂r
1
r
[
2
1
sin2θ
∂2ψ
∂φ
2
+
sin θ∂ψ∂θ
1
(sin θ
∂
∂θ
)] +
2m
[E − U(r)]ψ = 0.
2
~
18
Подставив оператор квадрата момента, получим:
U(r)
−1
−0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
l=2
l=1
l=0
1
r
∂
∂r
2
(rψ) −
2
2
ˆ
l
r
2
ψ +
2m
[E − U(r)]ψ = 0.
2
~
Если рассматривать стационарные состояния с определенными значениями l и m, то решение можно искать в виде: ψ = R(r)Ylm(θ, φ).
После подстановки R =
где U
= U(r) +
eff
l(l+1)~
2mr
2
∂
1
(rR) −
2
r
∂r
χ(r)
получаем:
r
∂r
2
, а волновая функция нормирована как
2
∂
2
(χ) +
2
l(l + 1)
2
r
2m
2
~
2m
R +
[E − U
[E − U(r)]R = 0.
2
~
(r)]χ = 0
eff
Z
|R|2r2dr =Z|χ|2dr = 1
. То есть получили уравнение Шредингера для одномерного движения в потенциале U
eff
.
2
Для кулоновского потенциала U(r) = −
2
),
2
r
U
eff
= −E0(
2a
r
l(l + 1)a
−
e
:
r
где
E0=
me
2~
4
, a =
2
~
me
2
.
2
При E < 0 движение финитное, а спектр
энергий — дискретный. При E > 0 спектр
непрерывный.
∂2R
∂r
2
+
2
r∂R∂r
l(l + 1)
−
2m
R +
2
r
~
(E +
2
2
e
)R = 0.
r
q
Введем вместо энергии параметр n =
E
0
−
и сделаем замену переменной r = n
E
aρ
:
2
∂2R
∂ρ
2
+
2
ρ∂R∂ρ
+−
1
n
+
l(l + 1)
4
−
ρ
ρ
R = 0.
2
При ρ → ∞:
d2R
dρ
2
ρ =
R
, R ∼ e
4
−ρ/2
.
При ρ → 0:
Ищем решение в виде R = const · ρk, тогда k(k + 1) = l(l + 1). Из двух решений k = l и
k = −l − 1 второе обращается в бесконечность при r = 0. Остается R ∼ ρl.
2
d
(ρR) = l(l + 1)
2
dρ
19
R
.
ρ
Делаем подстановку R = f(ρ)e
f′′+ (
−ρ/2
2
− 1)f′+
ρ
:
n − 1
l(l − 1)
−
ρ
f = 0.
2
ρ
Решение ищем в виде ряда
∞
f(ρ) = ρ
X
[(l + ν)(l + ν + 1) − l(l + 1)]aνρ
ν
l
X
aνρν=
ν=0
l+ν−2
X
ν
=
l+ν
aνρ
.
X
(l + ν + 1 − n)aνρ
ν
Откуда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов:
l+ν−1
.
l + i + 1 − n
ai.
= nr, тогда
max
При i ≫ 1: a
i+1
a
=
i+1
a
i
→ f ∼ eρ. Следовательно ряд надо ограничить. I
=
i
(l + i + 1)(l + i + 2) − l(l + 1)
n = l + nr+ 1.
Стационарные состояния характеризуются тремя квантовыми числами: n — главное квантовое число, l — азимутальное или орбитальное квантовое число, m — магнитное квантовое
число.
При фиксированном значении главного квантового числа l может принимать значения:
l = 0, 1, 2, . . ., n − 1.
Каждому l соответствует 2l + 1 значений магнитного квантового числа.
Поскольку энергия зависит только от от n:
4
me
En= −
2~2n
,
2
то все уровни с данным n вырождены. Кратность вырождения равна
n−1
X
(2l + 1) = n2.
l=0
Уровни нумеруются следующим образом. Орбитальному квантовому числу ставятся в соответствие латинские буквы s, p, d, f, g . . .
n=1 n=2 n=3 n=4
l=0 1s 2s 3s 4s
l=1 2p 3p 4p
l=2 3d 4d
l=3 4f
Радиальные волновые функции
n−l−1
X
R ∼ e
ρ/2ρl
aiρi,
i=0
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]