Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Атомная и ядерная физика. Конспект лекций
.pdf
1.7.3. Атом гелия. Основное состояние
Рассмотрим электростатическое взаимодействие между электронами как возмущение,
тогда в нулевом приближении основное состояние описывается волновой функцией
r
3
Ψ = ψ(r1)ψ(r2); ψ(r) =
Z
πa
Zr
−
a
e
.
3
Сдвиг уровня равен
2
e
∆E =Z|Ψ|
2
r
dV1dV2.
12
Интеграл можно переписать в виде:
2
e
∆E =Z|ψ(r1)|2U′(r1)dV1; U′(r1) =Z|ψ(r2)|
2
dV2,
r
12
где U′(r1) — потенциальная энергия электрона в поле распределенного заряда другого
электрона.
Иными словами мы вычисляем энергию уровня в эффективном центрально-симметричном
потенциале:
U(r1) = −
2
Ze
+Z|ψ(r2)|
r
1
2
e
2
dV2.
r
12
Вычисленная таким образом энергия основного состояния атома гелия равна
5
E = (−2 · 4 + 2 ·
)E1= −5.5 · 13.6 = 74.8 эВ,
4
где второй член в скобках является поправкой из-за взаимодействия между электронами.
Экспериментальное значение энергии основного состояния — 78.6 эВ.
1.7.4. Обменное взаимодействие
Рассмотрим волновую функцию двух электронов. В пренебрежении спин-орбитальным
взаимодействием ее можно записать в виде произведения:
Ψ = ψ(r1, r2)φ(σ1, σ2).
Построим спиновую часть волновой функции. Для двух электронов возможны состояния
с полным спином 0 и 1. При S = 1 и MS = ±1 волновые функции φ
симметричны. Тогда волновая функция будет симметричной и для S = 1 и MS = 0
1,0
=
√
(φ
(1)φ
1/2
2
−1/2
(2) + φ
1/2
(2)φ
−1/2
(1))
φ
1
Волновая функция для S = 0 находится из условия ортогональности и является антисимметричной:
0,0
=
√
(φ
(1)φ
1/2
2
−1/2
(2) − φ
1/2
(2)φ
−1/2
(1)).
φ
1
Поскольку полная волновая функция должна быть антисимметричной, то можно получить условия на координатную часть:
1
S = 0, ψS(r1, r2) =
√
(ψ1(r1)ψ2(r2)
+ ψ1(r2)ψ2(r1));
2
1,±1
= φ
±1/2
(1)φ
±1/2
(2)
51
1
√
S = 1, ψA(r1, r2) =
(ψ1(r1)ψ2(r2) − ψ1(r2)ψ2(r1)).
2
Координатные волновые функции являются решениями уравнения Шредингера. Из них
для S = 0 должны быть выбраны симметричные решения, а для S = 1 — антисимметричные.
Вычислим среднее значение взаимодействия U = e2/r12для этих функций:
∆E
=ZU|ψ1(r1)|2|ψ2(r2)|2dV1dV2±
0,1
Z
Uψ1(r1)ψ
∗
(r2)ψ2(r2)ψ
1
∗
(r1)dV1dV2.
2
Таким образом, мы видим что из-за принципа неразличимости частиц возникает зависимость энергии системы от ее полного спина. Этот эффект называют обменным взаимодействием. Состояние сo S = 1 имеет меньшую энергию в согласии с правилом Хунда.
Спектр гелия содержит два набора линий, соответствующих S = 0 (парагелий) и S = 1
(ортогелий). В приближении LS-связи переходы между двумя этими группами запрещены
правилом ∆S = 0. Для гелия существует единственное исключение интеркомбинационный
переход3P →1S с вероятностью 180 с−1.
1.7.5. Таблица Менделеева
Электроны в атомах находятся в основном состоянии с наименьшей энергией. С ростом
Z происходит последовательное заполнение оболочек.
52
1 H 1s 13.6 29 Cu 4s 7.7
2 He 1s
3 Li 2s 5.4
4 Be 2s
5 B 2s22p 8.3
6 C 2s22p211.3
7 N 2s22p314.5
8 O 2s22p413.6
9 F 2s22p517.4
10 Ne 2s22p621.6
11 Na 3s 5.1
.. .. .. ..
18 Ar 3s23p621.6
19 K 4s 4.3
20 Ca 4s
21 Sc 3d4s
.. .. .. ..
28 Ni 3d84s
2
2
24.6
9.3
.. .. .. ..
36 Kr 4s24p
6
14.0
37 Rb 5s 4.2
38 Sr 5s
39 Y 4d5s
2
2
5.7
6.4
.. .. .. ..
46 Pd 4d
10
8.3
47 Ag 5s 7.6
48 Cd 5s
2
9.0
.. .. .. ..
54 Xe 5s25p
6
12.1
55 Cs 6s 3.9
56 Ba 6s
2
6.1
57 La 5d6s
2
6.5
58 Ce 4f5d6s
59 Pr 4f3d6s
2
7.6
60 Nd 4f4d6s
2
2
5.2
5.6
2
5.5
2
5.4
2
5.5
Последовательность заполнения оболочек можно изобразить следующим образом в соответствии с периодами таблицы Менделеева:
1s
2
8
2s, 2p
8
3s, 3p
4s, 3d, 4p
18
18
5s, 4d, 5p
32
6s, 4f, 5d, 6p
32
7s, 5f, 6d, 6p
Каждый период начинается щелочным металлом и заканчивается благородным газом.
Начало периода совпадает с началом заполнения новой оболочки.
1.8. Молекулы
1.8.1. Химическая связь
Как простейший пример рассмотрим молекулу водорода. Когда два атома водорода
(назовем их a и b) находятся на больших расстояниях суммарная волновая функ ция может быть записана в виде произведения волновых функций основного состояния атома
водорода: Ψ1= ψa(1)ψb(2). Из-за тождественности электронов возможен также и другой вариант: Ψ2= ψa(2)ψb(1). При сближении атомов становятся возможными переходы
из состояния Ψ1в состояние Ψ2. Так что состояния молекулы с определенной энергией
описываются суперпозицией
Ψ = c1Ψ1+ c2Ψ2.
Считаем ядра неподвижными, а расстояние между ядрами R рассматриваем как параметр. Гамильтониан системы
ˆ
H =ˆH0+ˆV ,
ˆ
H0= −
~
2m
2
∆1−
~
2m
2
∆2−
2
e
r
1a
−
2
e
,
r
2b
53
Уравнение Шредингера
EΨ =ˆHΨ → ∆E(c1Ψ1+ c2Ψ2) =ˆV (c1Ψ1+ c2Ψ2).
∗
Умножив на Ψ
∗
(Ψ
) и проинтегрировав, получим систему уравнений:
1
2
где
ˆ
V = −
2
e
r
1b
−
2
e
r
2a
+
2
e
r
12
+
2
e
.
r
ab
∆E(c1+ S2c2) = V11c1+ V12c2,
∆E(S2c1+ c2) = V21c1+ V22c2,
S =Zψa(1)∗ψb(1)dV1,
V11= V22=ZV ψ
V12= V21=ZV ψ
∗
ψ1dV1dV2,
1
∗
ψ2dV1dV2.
1
Обозначив I = V11= V22и J = V12= V21, перепишем:
c1(I − ∆E) + c2(J − S2∆E) = 0,
c1(J − S2∆E) + c2(I − ∆E) = 0.
Из требования равенства нулю детерминанта системы уравнений получим
∆ES=
I + J
1 + S
, ∆EA=
2
I − J
1 − S
.
2
∆ESсоответствует симметричной волновой функции (c1= c2), а ∆EA— антисиммет-
ричной. Основную роль в формировании химической связи играет обменный интеграл J .
Его знак — отрицательный, а абсолютная величина растет с уменьшением R. На малых
расстояниях становится значимым отталкивание ядер, так что энергию взаимодействия
атомов можно представить в виде:
2
U(R) = ∆E
S,A
(R) +
e
.
R
В симметричном состоянии энергия имеет минимум при R0= 0.74 × 10−8см равный
U(R0) = −4.7 эВ, в антисимметричном состоянии U (R) всегда положительна.
Поскольку полная волновая функция электронов должна быть антисимметричной, то
связанному состоянию соответствует спин S = 0.
В общем случае химической связи устойчивому соединению взаимно скомпенсированные спины атомов. Способность атомов вступать в соединения характеризуется валентностью, которая совпадает с удвоенным спином атома.
Элементы первой группы (щелочные металлы) имеют один электрон на внешней оболочке и спин равный 1/2. Валентность равна 1.
Основное состояние элементов второй группы s2и спин 0. Но сравнительно близко
имеется возбужденное состояние sp со спином 1 и валентностью 2.
В третей группе (Al, Tl) основное состояние s2p и возбужденное sp2. Так что валентности 1 и 3.
Пятая группа (N): s2p3и sp3s′. В алентность 3 и 5.
В седьмой группе (галогены) основное состояние — s2p5. S = 1/2. Валентность — 1.
Возможны возбужденные состояния со спином 3/2, 5/2, 7/2.
54
1.8.2. Колебательные и вращательные уровни
Рассмотрим движение ядер в молекуле в фиксированном электронном состоянии. Следует учесть вращение ядер и добавить к потенциалу взаимодействия U (R) член, соответствующий центробежной энергии:
2
B(R)(ˆN −ˆL), B(R) =
где N — полный момент импульса молекулы, L — орбитальный момент электронов, а
M — приведенная масса. После усреднения по электронному состоянию потенциальную
энергию ядер можно записать в виде:
U′(R) = U (R) + B(R)N(N + 1).
Если рассматривать только слабо возбужденные молекулы, то функцию U(R) можно разложить в ряд вблизи минимума. Тогда
U′(R) = U (R0) + B(R0)N(N + 1) + k(R − R0)2.
Уравнение Шредингера для этого потенциала
2
2
d
~
−
2M
(RΨ) + (U′(R) − E)(RΨ) = 0
2
dR
~
2MR
,
2
совпадает с уравнением для гармонического осциллятора. Соответствующая энергия уровней
E = U(R0) + B(R0)N(N + 1) + ~ω(v +
1
), ω =
2
r
k
M
состоит из трех частей электронной, вращательной (m/M) и колебательной (pm/M).
H
N
2
O
2
2
−U(R0) 4.7 7.5 5.2
~ω
B(R0) × 10
0.54 0.29 0.20
3
7.6 0.25 0.18
55
Глава 2
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
2.1. Введение
Ниже перечислены основные события, заложившие основу ядерной физики.
1908 г. Х. Гейгер и Э. Мардстен наблюдали рассеяние α-частиц на большой угол.
1911 г. Объяснение рассеяния Резерфордом. Планетарная модель атома.
1913 г. А. Ван дер Брук предположил, что ядерный заряд равен порядковому номеру в
таблице Менделеева.
1913 г. Г. Мозли исследовал спектры рентгеновских лучей. При прохождении рентгенов-
ских лучей через вещество γ-квант может ионизовать электрон с внутренних оболочек
атома (n = 1 — K-оболочка, n = 2 — L-оболочка, . . . ). При заполнении образовавшейся
дырки испускается рентгеновское излучение. Мозли нашел, что частота излучения подчиняется закону
√
ν = aZ − b,
причем для конкретной серии, например, заполнения дырки в K-оболочке, a и b не зависят
от элементов. Непосредственное измерение заряда было осуществлено Дж. Чедвиком в
1920 г.
dN
= n
N
Z2e
m2v
4
dΩ
4
sin4θ/2
.
T
θ
S — α-источник,
S
1919 г. У. Астон сконструировал первый масс-спектрограф. Точность измерения массы
— 1/1000. Было обнаружено, что атомные массы с хорошей точностью являются целыми
числами. Однако масса атома водорода равна 1.008 (атомная единица в то время была
равна 1/16 массы O), т. е. наблюдается дефект массы. У. Астон предположил, что часть
массы переходит в энергию связи ядра.
1919 г. Э. Резерфорд. Первое наблюдение ядерной реакции
θ/2
D
D — детектор (сцинтиллирующий экран),
T — рассеиватель.
Z(Cu) = 29.30 ± 0.5,
Z(P t) = 77.4 ± 0.8.
α + N14→ O17+ p.
56
1925 г. П. Блэккет получил фотографии этой реакции с помощью камеры Вильсона. Было
0011001
1
dH
dz
dH
dz
00000000
00000000
00000000
00000000
11111111
11111111
11111111
11111111
00000000
00000000
00000000
11111111
11111111
11111111
001
1
00000000
00000000
00000000
11111111
11111111
11111111
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
H H
H
0
H
1
D
A
f
просмотрено 23 тысячи фотографий, содержащих 460 тысяч треков α-частиц и обнаружено 8 событий искомой реакции.
2.1.1. Открытие нейтрона
При облучении α-частицами Be и Li вылета протонов не наблюдалось. В экспериментах
с бериллиевой мишенью В. Боте и Г. Беккер в 1930 г. увидели проникающее излучение,
которое они трактовали как электромагнитное.
В 1931 г. И. Кюри и Ф. Жолио обнаружили, что при прохождении этого излучения
через парафин, из него выбиваются протоны с пробегом в воздухе 26 см (T ≈ 5 МэВ). Они
трактовали это явление как эффект Комптона. Из соотношения E
max
энергия фотона получалась около 50 МэВ.
В 1932 г. Дж. Чедвик провел исследования с H, N, Ar. Измерялась энергия ядер отдачи.
Соответствующие энергии фотонов получились равными 55, 90, 150 МэВ.
Противоречие разрешалось, если предположить, что излучаются массивные нейтральные частицы, нейтроны:
α +
9
4
Be →
12
C + n.
6
Зная максимальные энергии ядер отдачи H (5.7 МэВ) и N (1.2 МэВ), он сделал первую
оценку массы нейтрона. Из соотношения v
= 2mv0/(M +m) масса нейтрона получалась
max
близкой к массе протона.
В 1932 г. Д. Д. Иваненко и В. Гейзенберг выдвинули гипотезу о том, что атом состоит
из нейтронов и протонов.
= 2E
2
/(M + 2Eγ)
γ
2.1.2. Свойства протона и нейтрона
Массы протона и нейтрона:
mp= 938.27 МэВ. В атомных единицах точность около 10
mn= 939.57 МэВ. В атомных единицах точность около 6 × 10
Массу нейтрона нейтрона можно измерить, например, из энергетического баланса реакции:
n + p → d + γ, md= 1875.612 MэВ, Eγ= 2.22 MэВ.
Спины нейтрона и протона равны 1/2. Спин нейтрона был измерен по расщеплению
пучка медленных нейтронов в неоднородном магнитном поле.
Магнитные моменты протона и нейтрона:
µp= 2.793µN. µN= e~/2mpc. Точность около 10−8.
µn= −1.913µN. Точность около 2.5 × 10−7.
Магнитный момент протона был измерен резонансным методом Раби (1938).
−10
.
−10
.
57
Резонанс наступает, когда частота переменного поля H1равна частоте, соответствующей
00110
0
0
1
1
1
001
1
001
1
0000000
0000000
0000000
1111111
1111111
1111111
0000000
0000000
1111111
1111111
разности уровней в магнитном поле:
gµNH
ν =
Для протона поле в 1 Тл соответствует частоте ν ≈ 5 × 107Гц (λ = 6 м).
Магнитный момент нейтрона также был измерен с помощью магнитного резонанса, но
другим способом, не требующим узких пучков. В 1936 г. Ф. Блох показал, что при прохождении нейтронов через намагниченный ферромагнетик возникает дополнительный эффект из-за наличия у нейтрона магнитного момента (параллельные диполи отталкиваются). Сечения рассеяния для двух направлений спина различны σ↑↑= σ0+∆σ, σ↓↑= σ0−∆σ,
∆σ/σ0∼ 0.1. Т.е. после прохождения слоя намагниченного ферромагнетика пучок станет
частично поляризованным.
Cd
M
0
.
h
Cd
D
В этом эксперименте измерялся также знак магнитного момента нейтрона.
2.2. Структура адронов
Адроны не являются в прямом смысле элементарными частицами. Они имеют внутреннюю структуру, состоят из кварков:
d u s c b t
q/e -1/3 2/3 -1/3 2/3 -1/3 2/3
m 1–5 МэВ 2.5–6 МэВ 75–170 МэВ 1.15–1.35 ГэВ 4.0–4.4 ГэВ 170 ГэВ
Спин кварков равен 1/2. Обычная материя содержит только d- и u-кварки. Протон — uud,
нейтрон — udd. Адроны, состоящие из трех кварков, называются барионами, из кварка и
антикварка — мезонами. Самыми легкими мезонами являются псевдоскалярные мезоны:
1
π+= u¯d, π−= −¯ud, π0=
√
Симметричная комбинация (d¯d + u¯u)/
примесь странных кварков).
В π-мезонах спины кварков антипараллельны, так что их полный спин равен 0.
Аналогичные комбинации с параллельными спинами кварков соответствуют векторным мезонам ρ±, ρ0, ω.
2 соответствует η-мезону (в нем имеется также
√
(d¯d − u¯u).
2
58
Источником взаимодействия между кварками являются цветовые заряды (r, b, g), а
переносчиком — безмассовые бозоны, глюоны. Каждый кварк имеет три строго вырожденных разновидности, цвета. Наблюдаемые частицы являются бесцветными:
M =
1
√
¯qαqα, B =
3
√
1
6
qαqβqγε
αβγ
.
Из-за наличия тр¨ех зарядов имеется восемь глюонных полей. В отличие от фотона глюоны имеют цветовой заряд, поэтому могут взаимодействовать друг с другом и испускать
другие глюоны.
В электромагнитных взаимодействиях рождение из вакуума лептонных пар приводит к эффективной экранировке заряда. С уменьшением расстояния наблюдаемый заряд
возрастает. В сильных взаимодействиях возможна поляризация вакуума не только кварками, но и глюонами. Глюонная поляризация да¨ет более сильный эффект и приводит к
антиэкранировке заряда, т.е. к увеличению взаимодействия с расстоянием. На малых расстояниях потенциал имеет вид g2/4πr, a константа сильного взаимодействия αs= g2/4π~c
ведет себя, как
2π
αs(q) ≈
= 0.13 при q = 90 ГэВ,
7ln(q/Λ)
где q — переданный импульс, a Λ ≈ 100 МэВ/c. На расстояниях r ∼ ~/Λ ∼ 10
−13
см
взаимодействие становится по настоящему сильным. При больших расстояниях между
кварками из-за сильного нелинейного взаимодействия глюонов силовые линии сжимаются
в трубку радиусом ~/Λ.
При этом сила перестает зависеть от расстояния.
Энергия, затрачиваемая на на растаскивание кварков, переходит в массу нити. Если
она превышает энергию образования кварк-антикварковой пары, то нить рвется с образованием м езона.
q
q
q
q
q
q
Взаимодействие адронов можно рассматривать, как обмен мезонами. Уравнение,
описывающее волновую функцию свобод-
q
ной частицы со спином 0, записывается в
виде:
q
−∆φ +
m2c
~
2
φ +
2
∂2φ
1
2
c
∂t
2
= 0.
Если нуклону приписать эффективный заряд g и в качестве переносчиков взаимодействия
рассматривать пионы, то волновую функцию φ можно отождествить с потенциалом. Уравнение для потенциала точечного заряда запишется в виде
2
m2c
−∆φ +
φ = gδ(r).
2
~
Оно имеет следующее решение:
−r/R
φ =
g
4π
e
, R =
r
~
≈ 1.4 Фм.
mc
Из полученного выражения для φ следует, что взаимодействие, получающееся в результате
обмена пионами, является короткодействующим.
59
2.3. Энергия связи ядер
A
W/A (MeV)
120
100
80
60
40
20
0
0 50 100 150 200 250 300
Энергия связи ядра вычисляется как
В настоящее время известно около 3 тысяч изотопов. Их распределение показано
на точечной диаграмме (заряд ядра Z —
по вертикальной оси, а вес A — по горизонтальной). Z
max
= 111, A
max
= 273.
Для стабильных ядер выполняется соотношение
A
Z ≈
1.98 + 0.015A
2/3
.
W = Zmp+ (A − Z)mn− M
ядр
.
9
8
7
6
5
4
На рисунке показана зависимость W от веса ядра A. Для больших A > 20
W
ε =
≈ 8 МэВ.
A
3
Откуда следует, что ядерные силы —
2
1
короткодействующие. Каждый нуклон взаимодействует только со своими соседями.
0
0 50 100 150 200
Интенсивность притяжения нуклонов можно сравнить с кулоновским взаимодействием
двух протонов:
2
W
кул
e
=
r
= α
~c
197 MэВ · Фм
=
r
137 · 2Фм
≈ 0.72 MэВ
2.4. Капельная модель ядра
1. Ядерная материя ведет себя как несжимаемая жидкость.
2. Ядро имеет форму шара. R = r0A
3. Плотность электрического заряда внутри ядра ρ(r) = const.
4. Сила притяжения нуклонов не зависит от электрического заряда.
В первом приближении энергия связи пропорциональна A:
Капельная модель основывается на следующих предположениях:
1/3
.
E1= a1A.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]