Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Атомная и ядерная физика. Конспект лекций
.pdf
Следующий член связан с поверхностным эффектом:
Z=50
A-Z
W/A (MeV)
Z=49
A-Z
W/A (MeV)
E2= −a2A
.
Кулоновское расталкивание протонов (плотность заряда в ядре ρ = (Z e)/(
Z
E3= −
R
4π
r3ρ) · 4πr2drρ ·
(
3
0
1
= −
r
(4πρ)
15
2
R5= −
3
5
2
2
Z
e
r
.
1/3
A
0
Эффект симметрии вкладов протонов и нейтронов:
2
.
A
8.55
8.5
8.45
8.4
8.35
8.3
8.25
8.55
8.5
8.45
8.4
8.35
8.3
8.25
E4= −a
(A − 2Z)
4
4π
3
R3)):
На рисунках видно, что в зависимости от ч¨етности числа нейтронов кривые, описывающие
энергию связи расщепляются. Верхняя кривая соответствует ч¨етному числу нейтронов.
неч¨етные, 4 — неч¨етно-неч¨етные.
ти числа нуклонов:.
Полная формула, называемая формулой Вейцзеккера, выглядит следующим образом:
где численные значения коэффициентов (в МэВ) равны: a1= 15.75, a2= 17.8, a3= 0.71,
a4= 23.7, a5= 12.
8.2
8.15
50 60 70 80 90
8.2
8.15
50 60 70 80 90
Среди стабильных ядер: 150 — ч¨етно-ч¨етные, 50 и 53 — неч¨етно-ч¨етные и ч¨етно-
В формулу для энергии связи добавляется дополнительный член, зависящий от ч¨етнос-
E5=
W = a1A − a2A
В качестве примера можно рассчитать энергию связи для
+a5A
−a5A
−1/3
для ч¨етно-ч¨етных,
0 для ч¨етно-неч¨етных,
−1/3
для неч¨етно-неч¨етных.
2
2/3
− a
Z
3
1/3
A
− a
(A − 2Z)
4
A
2
+ E5,
120
50
Sn:
W/A = 15.75 − 3.61 − 3.00 − 0.66 + 0.02 = 8.5.
Из значения коэффициента a3= 0.71 можно вычислить параметр r0, характеризующий
радиус ядра.
2
3
a3=
e
, r0= 1.22 Фм.
5
r
0
61
2.4.1. Спонтанное деление ядер
Z
W(A,Z) - 2W(A/2,Z/2), MeV
50
На рисунке приведена энергия (с обратным знаком),
0
−Qf= W (Z, A) − 2W (Z/2, A/2),
-50
высвобождаемая при делении ядра на два
-100
равных осколка, как функция от заряда
ядра. W (Z/2, A/2) вычислена по формуле
-150
Вейцзеккера. Видно, что при Z > 40 такое
деление становится энергетически выгод-
-200
но.
Спонтанному делению ядер препятству-
-250
0 20 40 60 80 100
Например, для
238
U Qf≈ 180 МэВ, а энергия кулоновского расталкивания двух ядер с
92
зарядами Z/2, находящихся на расстоянии 2r0(A/2)
ет кулоновский барьер.
1/3
, составляет около 250 МэВ. В модели жидкой капли при вычислении высоты барьера следует учитывать энергию поверхностного натяжения и деформацию осколков. В результате деформации высота барьера
снижается. Для
238
U она составляет около 6 МэВ.
92
Рассмотрим, как меняется энергия капли при малой деформации, когда сфера переходит в эллипсоид вращения. Из условия несжимаемости V = 4/3πR2= 4/3πab2полуоси
эллипсоида равны
a = R(1 + α), b = R/
√
1 + α.
В формуле для энергии при деформации меняются только член, определяемый поверхностной энергией, и член с кулоновской энергией. При малой деформации α
2
Z
3
1/3
A
(1 −
1
α2).
5
E2= a2A
2/3
(1 +
2
α2), E3= a
5
Полное изменение энергии равно
2
Z
a
).
3
1/3
A
∆W =
2
α2(a2A
5
2/3
1
−
2
При ∆W < 0 ядро не устойчиво, и деление произойдет мгновенно. Условие устойчивости
при a2= 17.8, a3= 0.71:
2
< 2
a
a
2
= 50.
3
Z
A
При других параметрах, лучше описывающих область больших A, можно получить значение близкое к 45.
62
Z
Z
2
/A
46
A
∆W/A (MeV)
10
44
5
∆W, MeV
0
E
f
42
-5
40
38
-10
-15
-20
1
r
36
-25
34
90 95 100 105 110 115
На левом рисунке показана зависимость отношения Z2/A от Z для существующих ядер.
Видно, что ядер с отношением Z2/A > 48 нет. Правый рисунок показывает вид потенциала
для ядер с ∆W < 0 и ∆W > 0. Для последних Ef— высота потенциального барьера, которая тем больше, чем меньше параметр деления Z2/A. Период полураспада спонтанного
деления экспоненциально уменьшается с ростом Z2/A.
В результате деления получаются два осколка с кинетической энергией приблизительно 180 МэВ, перенасыщенных нейтронами. Избыток нейтронов устраняется, во-первых, за
счет β-распада, сопровождаемого γ-переходами, во-вторых, за счет испускания нейтронов.
В результате этих процессов выделяется еще около 20 МэВ энергии.
Осколки деления как правило несимметричны, обычно их массы относятся как 2:3.
Этот эффект не находит объяснения в рамках капельной модели.
-30
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
r/R
2.5. Оболочечная модель
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0 50 100 150 200 250 300
Значения магических чисел могут быть получены в оболочечной модели, базирующейся
на следующих предположениях:
1. Каждый нуклон находится в самосогласованном центрально -симметричном поле. Остаточное нуклон-нуклонное взаимодействие считается малым.
2. K нуклон-нуклонному потенциалу нужно добавить спин-орбитальное взаимодействие,
В разности между вычисленной по формуле Вейцзеккера энергии связи и ее
экспериментальным значением видны
периодические структуры, соответствующие так называемым магическим ядрам.
Магические числа 2, 8, 20, 50, 82, 126. Ядра, имеющие магические числа протонов
или нейтронов, обладают повышенной
устойчивостью и распространенностью в
природе.
63
которое в данном случае не мало. В ядре в отличие от атома реализуется случай jj-связи.
r, fm
V, MeV
dV
U(r) = V (r) + b
(ls), b < 0.
dr1r
Для радиальной части волновой функции:
После подстановки R =
-10
-20
-30
-40
-50
0 2 4 6 8 10 12 14
2
∂
1
r
∂r
χ(r)
получаем:
r
U
eff
(rψ) −
2
2
∂
(χ) +
2
∂r
= V (r) + b
2
ˆ
l
r
2
ψ +
2m
[E − U(r)]ψ = 0.
2
~
2m
2
~
[E − U
dV
dr1r
eff
(ls) +
(r)]χ = 0,
l(l + 1)~
2
2mr
2
.
Форма потенциала близка к прямоугольной. Наиболее распространенная модель:
V
1 + e
0
r−R
.
a
V (r) = −
Значения параметров подбираются под конкретное
ядро.
3.Для протонов дополнительно добавляется самосогласованный кулоновский потенциал
равномерно заряженного шара.
1i
3p
126
2f
1h
3s
2d
1g
82
Схема нейтронных уровней для уровней для ядра
208
U. Значения параметров потенциала:
82
50
2p
1f
2s
1d
20
Особенности з аполнения ядерных оболочек:
V0= 45.7 МэВ, R = 7.6 Фм,
a = 0.65 Фм, b = −0.17 Фм2.
1. Из-за быстрого спада самосогласованного потен-
8
1p
циала возникает сильная зависимость от главного
квантового числа. Уровень 2s лежит выше 1p и 1d.
1s
2
2. Спин-орбитальное взаимодействие при больших l сравнимо с интервалами между уровнями с различными l. Уровень с j = l + 1/2 лежит ниже уровня с j = l − 1/2.
3. Для протонов состав оболочек несколько иной. Шестой оболочке для протонов соответствует n = 114. Седьмая нейтронная оболочка предполагается при n = 284. Эти магические числа чувствительны к слабым изменениям формы потенциала.
64
Модель оболочек объясняет неодинаковость осколков при делении ядра. Деление про-
исходит на два осколка содержащие магические числа нейтронов 50 и 82.
W∆
Другим проявлением эффекта оболочек является
изменение формы потенциального барьера для
спонтанного деления. В 1962 г. в Дубне было
обнаружено спонтанное деление урана с периодом
полураспада 0.3 µс. Основной период (К. А. Петржак, Г. Н. Флеров, 1940 г.) равен около 1016лет.
r
Объяснение было получено В. М. Струтинским в 1967 г. Влияние внутренней структуры
ядра приводит к возникновения дополнительного устойчивого состояния с эллипсоидальной формой (a : b = 2 : 1). Возникающий структурный потенциальный барьер сдвигает
границу стабильности для спонтанного деления в область больших масс.
2.6. Получение трансурановых элементов
Стабильные ядра заканчиваются на Pb и Bi. В природе встречаются также радиактив-
ные элементы
232
Th (τ = 14 × 109лет),
238
U (τ = 4.5 × 109лет) и
235
U (τ = 7 × 108лет).
Трансурановые элементы получаются искусственным путем тремя методами:
1. Облучение реакторными нейтронами. Цепочка захватов заканчивается на
258
100
Fm с
временем жизни τ = 0.3 мс.
2. Ядерный взрыв. Последний элемент —
257
Fm.
3. Столкновение ядер. Получены элементы с номером до 112. Наиболее долгоживущий
элемент
269
Hn с τ = 13 с.
108
Элементы с номерами 114 и 116 обнаружены в 2000 г. в Дубне. В эксперименте ис-
48
пользовался пучок ионов редкого изотопа
изготавливались из
244
94
Pu и
248
96
Cm.
Ca с интенсивностью 1012частиц/с. Мишени
20
Кинетическая энергия налетающего иона 240 МэВ тратится на слияние, преодоление
кулоновского барьера и кинетическую энергию составного ядра. Энергия возбуждения
292
ядра
114, составляющая около 35 МэВ, снимается за сч¨ет испускания тр¨ех или четыр¨ех
нейтронов.
Вылетевшее из мишени тяж¨елое ядро отделялось поперечным электрическим полем и
попадало в полупроводниковый детектор. Детектор измерял координату, энергию и время.
Остановившееся ядро испытывало цепочку α-распадов, заканчивающуюся спонтанным
делением.
За несколько месяцев экспериментов с
244
Pu наблюдалось два события типа:
94
В экспериментах с
292
288
114 → α +
248
Cm наблюдалось три события типа:
96
116 → α +
288
284
114 → α +
Времена распадов 50 мс, 2 с, 30 с, 9 с.
112 → α +
284
112 → α +
65
280
110 → деление.
280
110 → деление.
Зарегистрировано также одно событие с испусканием трех нейтронов:
Z
E
α
(MeV)
A-Z
E
α
(MeV)
289
114 → α +
285
112 → α +
281
110 → α +
277
108 → деление
с временами распадов 30 с, 15 мин, 1.6 мин, 17 мин. Большие времена жизни указывают на
то, что наблюдающиеся ядра находятся вблизи острова стабильности, предсказываемого
оболочечной моделью.
2.7. Альфа-распад
Энергетическая возможность α-распада:
Eα= W (A − 2, Z − 2) + W (2, 2) − W (A, Z ) > 0.
На рисунках показана зависимость Eαот Z и A −Z для ядер с максимальной при каждом
A энергией связи.
10
8
6
4
2
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
0
20 40 60 80 100
0
-2
-4
-6
-8
-10
20 40 60 80 100 120 140 160
Среди известных в настоящее время изотопов α-нестабильными являются8Be, группа
ядер с Z = 52 − 55, обедненных нейтронами, и далее, начиная с Z = 60. Доминирующим
α-распад становится для ядер тяжелее Pb. Для последней группы Eαлежит в диапазоне
от 4 до 9 МэВ.
Для тяж¨елых ядер большая часть энергии распада переходит в кинетическую энергию
α-частицы:
M
Tα= E
α
M + M
,
α
где M — масса дочернего ядра.
66
A-Z=128
A-Z=126
Z
E
α
(MeV)
12
Z=82
Z=84
A-Z
E
α
(MeV)
10
10
9
8
8
6
7
6
5
4
2
4
3
2
0
-2
80 82 84 86 88 90 92 94
1
0
95 100 105 110 115 120 125 130 135
Кинетическая энергия α-частиц, как правило, растет с ростом Z, и уменьшается с ростом
A − Z.
α-распаду препятствует кулоновский барьер. Для ядер с Z > 82 высота кулоновского
барьера составляет
EC=
2(Z − 2)e
R + R
2
= 25 − 30 МэВ.
α
30
25
U (MeV)
20
15
Предположим, что внутри ядра имеется
α-частица, которая с вероятностью D ≪ 1
10
5
E
0
α
может пройти через барьер. За время t
частица испытает n =
vit
ударов о стенки.
R
Скорость α-частицы внутри ядра можно
оценить из соотношения неопредел¨енности:
0 20 40 60 80 100
r (fm)
vi∼
~
, n ∼
mR
~t
mR
.
2
Интенсивность падающей волны после n ударов будет равна:
∼ I0e
−
2
mR
.
I = I0(1 − D)n= I0e
n ln(1−D)
≈ I0e
−nD
~
Dt
Следовательно
1
τ
∝
~
mR
D.
2
Чтобы определить D, рассмотрим прохождение волны через прямоугольный потенциальный барьер. Решением уравнения Шредингера
будет:
2
d2ψ
~
−
2m
+ (U(x) − E)ψ = 0
2
dx
67
U
U
I II III
o
где
E
ψ(x) =
0
d
k =
√
x
2mE
p
2m(U0− E)
, κ =
~
ikx
e
C1eκx+ C2e
ikx
Ae
−ikx
+ Be
, I
−κx
, II
, III
.
~
Коэффициенты A, B, C1и C2определяются из условия непрерывности волновой функции
ψ(x) при x = 0 и x = d. Коэффициент прохождения через барьер равен:
D = |A|2=
2
4k2κ
(k2+ κ2)2sh2κd + 4k2κ
≈
2
16k2κ
(k2+ κ2)
2
−2κd
e
2
.
При D ≪ 1 это выражение можно обобщить для барьера произвольной формы:
Z
d
p
D ∝ e−G, G =
2
2m(U(x) − E)dx.
~
0
Уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции в центрально-сим-
метричном поле сводится к одномерному с эффективным потенциалом U(r) = V (r) +
l(l + 1)~2/(2mr2). При l = 0
G =
G =
8Ze
~v
r
2
f(x) =
d
Z
8m
2
~
R
1
Z
p
1/z − 1 dz =
x
0
2
π
p
2Ze2/r − Eαdr, d =
4πZe
~v
[arccos x
1/2
− (x0− x0)
0
2Ze
E
2
f(x0), x0=
1/2
].
2
,
α
R
,
d
Таким образом,
1
τ
∼
~
mR
2
e−G.
Объяснение α-распада было дано Г. А. Гамовым в 1928 г. В его работе предэкспоненциальный множитель равнялся λ0= 8π~/(mR2) и единственным свободным параметром
являлся R. Например, для тория при R ≈ 9 Фм λ0= 5 × 1023. Показатель экспоненты
менялся от 33 до 93 при α в диапазоне от 4 до 10 МэВ, что соответствует периодам полураспада от 10 Гл до 100 нс.
68
1/E
α
1/2
, MeV
ln T, s
Th
40
30
20
Функцию f (x0) можно разложить в ряд в интересующей области, например, вблизи x0=
10
(Eα≈ 6 МэВ).
Тогда получится выражение совпадающее с эм-
0
пирическим законом Гейгера–Нэттола (1911):
p
-10
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
где A = 140 − 150, B ≈ −50.
lg t
(с) = A/
1/2
Eα(МэВ) + B,
Если l 6= 0, то к кулоновской потенциальной энергии добавляется центробежный барьер.
Относительное увеличение высоты барьера невелико:
l(l + 1)(~c)
k =
4mc2Ze2R
2
l(l + 1)(197)
=
4 · 3727 · 90 · 0.72 · 2 · 10
2
= 2 × 10−3l(l + 1).
Вероятность испускания α-частицы с ростом l уменьшается:
l 0 1 2 3 4 5
τ0/τl1.0 0.85 0.60 0.35 0.18 0.08
Переходы с ненулевым l встречаются у ч¨етно-неч¨етных ядер.
Поскольку α-частица имеет IP= 0+, а момент и ч¨етность сохраняются, то существуют
следующие правила отбора для α-распада:
1
4
|If− Ii| ≤ l ≤ If+ Ii,
где l — ч¨етное при одинаковых ч¨етностях начального и конечного ядер и неч¨етное при
разных.
2.7.1. Спин и ч¨етность ядер
Оболочечная модель позволяет предсказывать спины и ч¨етности ядер. В простейшую
одночастичную модель можно ввести эффект спаривания одинаковых нуклонов. Нуклоны одного сорта стремятся объединиться в пары с нулевым спином и положительной
ч¨етностью. Тогда:
1. ч¨етно-ч¨етные ядра имеют IP= 0+;
2. спин и ч¨етность неч¨етно-ч¨етных ядер за редким исключением определяются характеристиками неспаренного нуклона.
В ядре
ядра
7
Li неспаренный протон находится в состоянии 1p
3
13
C IP= 1/2−определяется неспаренным нейтроном в состоянии 1p
6
неспаренный протон находится в состоянии 1g
127
ядра
I имеется исключение: IP= 5/2+.
53
, поэтому IP= 3/2−. Для
3/2
. Для ядра
1/2
, следовательно IP= 7/2+. Oднако для
7/2
129
53
I
69
2.8. Ядерные формфакторы
2.8.1. Формула Резерфорда
Рассмотрим волновую функцию частицы с определенным импульсом
ipr
~
ψp= e
Функция нормирована на одну частицу в единице объема. При такой нормировке
Z
⋆
ψpdV = (2π~)3δ(p − p′).
ψ
′
p
R
∞
iαx
e
Здесь использована формула
−∞
= 2πδ(α). Разложение произвольной волновой функ-
ции по собственным функциям импульса:
.
ψ(r) =Za(p)ψ
a(p) =Zψ(r)ψ
p
(2π~)
p
⋆
dV.
,
3
Величина
d3p
|a(p)|
(2π~)
3
d3p
2
есть вероятность импульсу иметь значения в интервале d3p.
Рассмотрим в первом порядке теории возмущений рассеяние заряженной частицы в
поле ядра. Потенциал взаимодействия равен U(r) = zZe2/r = α/r. Волновые функции
начальной (p) и конечной (p′) частиц в нулевом приближении выбираем в виде состояний
с определенным импульсом. Вероятность после рассеяния найти частицу с импульсом в
интервале от p′до p + dp′равна:
dWfi=
|Ufi|2δ(Ef− Ei)
~
Сечение рассеяния равно dσ = dWfi/vi= dWfi(m/p). Заменяя δ(Ef−Ei) на 2mδ(p
2π
2
′
a p
dp′на ( 1/2)p′dp
2
′
и интегрируя δ-функцию, получаем формулу Борна:
d3p
(2π~)
.
3
2
′
−p2),
dσ =
m
4π~
2
|ZU(r)e
4
iqr
−
~
dV |2dΩ,
в которой матричный элемент равен Фурье образу потенциала. Здесь q = p′−p — передан-
ный импульс. Для интеграла, выбрав направление оси z вдоль q и перейдя к сферическим
координатам, получим
Z
U(r)e
iqr cos θ
~
dφ sin θdθr2dr = 4π~ZU(r)
sin qr
rdr.
q
Mcr
α
−
Оставшийся интеграл вычислим для потенциала вида U(r) =
4π~αZe
Mcr
sin qr
−
~
rdr =
q
4π~2α
q2+ (Mc)
2
~
:
e
r
.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]