Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Атомная и ядерная физика. Конспект лекций
.pdf
где ρ =
r/a
R
10
r/a
R
21
r/a
R
20
r/a
R
31
2r
na
, a =
~
me
2
.
2
r
2
−
a
R10=
3/2
a
,
e
√
)e
−
e
+ 2(
−
2a
r
3a
r
2a
r
,
,
)2)e
r
−
3a
,
R30=
R20=
R21=
2
9√3a
3/2
3/2
2a
2√3a
7
(
3
2
(1 −
1
− 6
3/2
r
2a
r
2a
r
3a
√
R31=
R32=
2
9√3a
9√30a
2
3/2
r
(2
3a
4
3/2
− (
(
3a
r
3a
r
)2e
)2)e
r
−
3a
r
−
3a
,
.
Средний радиус состояния:
1
[3n2− l(l + 1)]a.
¯r =
2
Ниже приводятся графики для квадратов модулей радиальных волновых функций.
-2
x 10
0.9
0.3
0.8
0.7
0.6
0.25
0.2
0.5
0.4
0.3
0.15
0.1
0.2
0.05
0.1
0
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
0
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
-2
x 10
0.1
0.18
0.16
0.08
0.06
0.14
0.12
0.1
0.04
0.02
0
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
21
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
30
r/a
R
32
R
0.018
0.016
0.014
-3
x 10
0.5
0.4
0.012
0.3
0.01
0.008
0.2
0.006
0.004
0.1
0.002
0
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
0
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
r/a
1.3. Тонкая структура уровней атома водорода
1.3.1. Атом водорода в магнитном поле
Электромагнитное поле можно описывать с помощью скалярного и векторного потен-
циалов φ и A:
H = rot A, E = −∇φ −
В классическом гамильтониане для учета магнитного поля делается замена
1c∂A
.
∂t
p → p −
A,
c
где p — обобщенный импульс. Соответствующий квантовомеханический гамильтониан:
e
ˆ
H =
1
2m
ˆ
H =
ˆ
p2−
1
2m
e
(ˆpA + Aˆp) +
2mc
(ˆp −
e
A)2+ eφ.
c
2
e
2mc
A2+ U.
2
A иˆp в общем случае не коммутативны:ˆpA −Aˆp = −i~ div A. Однако в силу произвола
в выборе потенциалов: A → A + ∇f, φ → φ −
Для постоянного магнитного поля A =
ˆ
H =
1
[Hr], пренебрегая членом с A2,
2
1
ˆ
p2−
2m
Используя соотношение [Hr]ˆp + H[ˆpr] = 0 и подставляя ~ˆl = [ˆpr], получим
1
ˆ
H =
2m
ˆ
p2+ µ
B
Таким образом, в магнитном поле к гамильтониану добавляется член −ˆµ
1
, их можно выбрать так, что div A = 0.
c∂f∂t
e
[Hr]ˆp + U.
2mc
ˆ
lH + U, µB=
e~
2mc
.
орб
H = µ
B
ˆ
lH.
Оператор
ˆµ
орб
= −µ
ˆ
l
B
можно рассматривать как оператор магнитного момента, соответствующего орбитальному
моменту атома.
22
Классический эквивалент оператора: замкнутому току j с площадью S соответствует
магнитный момент: M = jS/c. Для круговой орбиты j = e/T = eω/(2π), S = πr2. Тогда
M = e/(2mc) · mr2ω = e/(2mc) · L.
Уравнение Шредингера для атома водорода в магнитном поле можно записать в виде:
ˆ
H0ψ + µBHˆlzψ = Eψ.
Если искать решение в виде ψ = R(r)Ylm(θ, φ), Ylm= Θ(θ)e
ˆ
H0ψ = (E −mµBH)ψ.
imφ
, то
Получаем спектр энергий:
En= E
(0)
+ mµBH.
n
В магнитном поле каждый уровень расщепляется на 2l + 1 подуровней, то есть снимается
вырождение по магнитному квантовому числу. Для перехода 2p → 1s в атоме водорода
должно наблюдаться 3 линии. Реально же наблюдается дублет, который в магнитном поле
расщепляется на 6 + 4 = 10 линий.
1.3.2. Спин электрона
В. Паули высказал гипотезу о дублетности квантовых свойств электрона. Г. Уленбек
и С. Гаудсмит (1925) ввели понятие спин, как собственный момент импульса электрона.
2s + 1 = 2 → s =
Прямое экспериментальное подтверждение существования спина — опыт Штерна–Герлаха
(1921). В сильно неоднородном магнитном поле на магнитный диполь действует сила
1
.
2
dH
F = M
z
.
z
dz
Пучок атомов (H, Li, Ag), имеющих спин 1/2, расщепится на два. Магнитный момент
электрона оказался равен:
ˆµs= 2µBˆs.
В волновую функцию электрона нужно внести еще одну дискретную переменную, описывающую ориентацию спина: ψ(x, y, z, σ).
Наличие у электрона спина приводит и к модификации стационарных состояний атома водорода. Имеется взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным полем,
обусловленным орбитальным движением. В результате стационарные состояния описываются собственными функциями суммарного момента j = l + s.
23
1.3.3. Сложение моментов
M1 M2 M
3 1 4
3 0 3
2 1
2 0 2
3 -1
1 1
1 0 1
2 -1
0 1
0 0 0
1 -1
-1 1
-1 0 -1
-2 1
0 -1
-1 -1 -2
-2 0
-3 1
-2 -1 -3
-3 0
-3 -1 -4
Имеется система из двух частей с моментами L1и L2. Для описания системы выберем два набора физических величин:
При заданных L1и L2число состояний равно (2L1+ 1)(2L2+ 1).
Для L1= 3 и L2= 1 полный момент принимает значения 2, 3,
4.
В общем случае при L2< L
всего 2L2+ 1 значений.
В состояниях с определенными значениями L
ленные значения имеют скалярные произведения:
2
L
2
, L
, L1z, L2zили L
1
2
1
2
1
, L
2
, L2, Lz.
2
L = L1+ L2, L1+ L2− 1, . . ., L1− L2,
1
L1L2=
{L(L + 1) − L1(L1+ 1) − L2(L2+ 1)},
2
1
LL1=
{L(L + 1) + L1(L1+ 1) − L2(L2+ 1)}.
2
2
2
, L
, L2опреде-
1
2
Состояния атома водорода с учетом спина: 1s
3d
. . . .
5/2
1/2
, 2s
1/2
, 2p
1/2
, 2p
3/2
, 3s
1/2
, 3p
1/2
1.3.4. Метод теории возмущений
Уравнение Шредингера при наличии возмущения:
(ˆH0+ˆV )ψ = Eψ,ˆH0ψ
(0)
Разложим ψ по собственным функциям невозмущенного гамильтониана ψ =
Умножим на ψ
X
m
(0)∗
и проинтегрируем:
k
(E − E
(0)
k
cm(E
)ck=
(0)
m
X
Для поправки первого порядка (E = E
c
(0)
n
= 1, c
(0)
= 0, m 6= n:
m
V
E
(0)
n
kn
− E
(1)
k
, c
(1)
n
(1)
c
=
k
+ˆV )ψ
Vkmcm, Vkm=Zψ
m
(0)
E
+E
(1)
n
(1)
= Vnn;
= 0; ψ
(0)
=
m
, cm= c
(1)
n
X
Поправка к энергии второго порядка:
E
(2)
n
X
=
k6=n
E
|Vkn|
(0)
n
− E
= E
m
=
2
cmEψ
(0)
m
X
k6=n
.
(0)
k
(0)ψ(0)
+c
.
(0)
.
m
E
(0)∗
k
(1)
m
(0)
n
(0)
ˆ
V ψ
.
m
) к n-му уровню подставляем
V
kn
− E
(0)
k
(0)
ψ
.
k
, 3p
P
3/2
m
, 3d
cmψ
(0)
m
3/2
,
:
24
1.3.5. Теория возмущений. Случай вырожденных уровней
Рассмотрим систему с двумя вырожденными уровнями. Для невозмущенного состоя-
(0)
(0)
ния имеем ψ
, ψ
1
(0)
, E
2
. И скомые функции с учетом возмущения
ψ = a1ψ
(0)
1
+ a2ψ
(0)
2
удовлетворяют уравнению
(ˆH0+ˆV )ψ = Eψ → (E − E
Умножив на ψ
)(a1ψ
(0)
1
+ a2ψ
(0)
(0)∗
и интегрируя, получим систему уравнений:
k
(0)
) =ˆV (a1ψ
2
(0)
1
+ a2ψ
(0)
2
).
a1(V11− ∆E) + a2V12= 0,
a1V21+ a2(V22− ∆E) = 0.
Система имеет решения при
V11− ∆E V
V
21
12
V22− ∆E
= 0
Получили уравнение второго порядка относительно ∆E (секулярное или вековое уравнение). Его решения дадут искомые сдвиги уровней. Таким образом, возмущение снимает
вырождение. Подставив найденные значения энергии в уравнения для коэффициентов,
можно найти коэффициенты.
Если V12и V21равны 0, то ∆E1= V11, ∆E2= V22, как в случае невырожденных
состояний.
1.3.6. Тонкая структура
Поправки к гамильтониану могут быть получены при разложении релятивистского
уравнения Дирака по степеням 1/c:
ˆ
H =ˆH0+ˆV ,ˆV = −
4
b
p
8m3c
+
2
2
e2~
2m2c2r
3
ˆ
lˆs +
Первый член возникает из-за релятивистской зависимости энергии от импульса:
2
p
−
T =
p
p2c2+ m2c4− mc2→ T =
2m
второй член — спин-орбитальное взаимодействие. Характерная величина взаимодействия
(r → a = ~2/me2):
2
e2~
2m2c2a
2
me8~
=
3
2c2~
me
=
4
2~
2
4
2
e
~c
2
= E1α2.
Для вычислений можно использовать теорию возмущений. Поправка к энергии равна
среднему значению по невозмущенному состоянию. Первый член вычисляем, используя
соотношения:
2
c
p
ψn= (En+
2m
e
r
2
)ψn,
r−1= (an2)−1,
e
r−2= [a2n3(l + 1/2)]−1, En= −
2an
πe2~
2m2c
8m3c
2
2
2
δ(r)
2
4
p
,
2
.
25
Получаем
2
n
e
+ E
2
)2= −
r
2
n
l + 1/2
4n
1
2mc
2
(E
n
2
= |En|
+ 2Ene
2
3
α
2
n
4
2
r−1+ e4r−2) =
n
−
l + 1/2
−
4
p
8m3c
−
= −
2
1
2mc
1
(En+
2
2mc
2
E
− 4E
n
2
Для вычисления второго и третьего членов используются соотношения:
ls =
1
[j(i + 1) − l(l + 1) −
2
3
] (l 6= 0),
4
r−3= [a3n3l(l + 1/2)(l + 1)]−1,
Z
|ψ(r)|2δ(r)dV = |ψ(0)|2= (πa3n3)−1(l = 0).
Общая поправка равна
δE = E
2
α
n
2
n
n
j + 1/2
3
−
4
Расщепление уровней:
1s
,
1/2
(2s
(3s
1/2
1/2
, 2p
, 3p
1/2
1/2
), 2p
), (3p
3/2
3/2
,
,3d
3/2
), 3d
5/2
.
Вырожденные уровни приведены в скобках.
Разность энергий
.
2
E(2p
) − E(2p
3/2
1/2
) = E
α
1
16
=
1372· 16
13.6
эВ = 4.5 × 10−5эВ
соответствует длине волны 2.74 см (11 ГГц). Для сравнения: для перехода 2p → 1s разность энергий 10 эВ, а длина волны 124 нм.
1.3.7. Эффект Зеемана. Продолжение
С учетом спина уравнение для атома в магнитном поле модифицируется:
1
ˆ
H =
По теории возмущений энергия расщепления равна (ось z направлена вдоль поля):
∆E = µBH(
Если магнитное пола слабое, то есть зеемановское расщепление много меньше интервалов тонкой структуры, то в качестве невозмущенных уровней нужно брать состояния с
определенными значениями j. Тогда
собственными функциями оператора ˆsz. При усреднении оператораˆs по состоянию с заданными значениями s, l, j полученный оператор
Тогда можно записать
ˆ
p2+ µB(ˆl + 2ˆs)H + U.
2m
lz+ 2sz) = µBH(jz+ sz).
jz= mj. Состояния с определенным j не являются
ˆ
s может быть направлен только вдольˆj.
sj = const · j2,
а в состоянии с определенной mj:
sz= const · jz= const · mj.
26
Определив из этих двух равенств константу, получим
mlmsm
l
-1/2
1/2
0
0
1/2
mlm
s
1
1/2
1/2
1 -1
0
0
-1
-1/2 1/2
+
2m
s
0
0
1/2
-1/2
-1/2
-1/2
1
2
0
-1
-2
1
-1
0
0
Поправка к энергии равна
∆E = µBgHmj, g = 1 +
m mg
3/2 6/3
p
3/2
p
1/2
s
1/2
1/2
-1/2 -2/3
-3/2
-6/3
1/2 1/3
-1/2 -1/3
1/2
-1/2 1 -1
1.3.8. Эффект Пашена-Бака
sz= m
.
j
2
j
j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
2j(j + 1)
sj
2/3
g — множитель Ланде.
Правила отбора: ∆m = 0, ±1.
µB= 5.787 × 10−5эВ/Тл.
.
В предельном случае очень сильного поля можно пренебречь спин-орбитальным взаимодействием. Тогда собственные функции невозмущенного гамильтониана соответствуют
определенным l, s, lz, szи
∆E = µBH(ml+ 2ms).
Спин орбитальное взаимодействие дает тонкую структуру этих уровней:
∆E = µBH(ml+ 2ms) + Amlm
Правила отбора:
∆ml= 0, ±1, ∆ms= 0.
s
Переходы 2p → 1s:
∆ml= 0: ~ω0;
∆ml= +1: ~ω0+ µBH + Ams;
∆ml= −1: ~ω0− µBH − Ams.
1.3.9. Эффект Штарка
Поместим атом в однородное электрическое поле. Поле достаточно слабое, так что
сдвиг уровней мал по сравнению с интервалами тонкой структуры. Оператор возмущения:
V = −Ed = −Ezdz.
В качестве функций нулевого приближения выберем состояния с определенным полным
моментом. Поскольку dz= −ez не зависит от φ, матричные элементы между состояниями
с ∆M 6= 0 равны 0. Так что уровни с разными M можно считать невырожденными. Если
нет вырождения по полному моменту J , то состояния обладают определенной ч¨етностью и
27
диагональные матричные элементы равныRψ∗zψdV = 0. Поэтому в первом приближении
теории возмущений сдвига уровней нет. Во втором приближении имеем:
X
∆En= EiE
k
m
(di)nm(dk)
En− E
m
mn
= α
(n)
ik
EiEk.
Симметричный тензор αikс точностью до константы совпадает с тензором поляризуемости
атома. Ей можно сопоставить оператор, компоненты которого должны выражаться через
компоненты единственного сохраняющегося вектораˆJ:
(n)
ˆα
= An+ Bn(ˆJ
ik
ˆ
Jk+ˆJ
i
Ji),
k
ˆ
где Anи Bnфункции от J , но не от M.
Направив поле по z, получим
(n)
∆En= α
2
E
= (An+ 2BnM2)E2.
zz
z
В электрическом поле вырождение по M снимается частично, а уровень с J = 1/2 вообще
не расщепляется.
Характерная величина расщепления:
(eEaB)2/(E1− E2) ∼ (105· 10−8)2/10 = 10−7эВ.
1.3.10. Ч¨етность
Операция отражения: r → −r. Соответствующий оператор:
ˆ
P ψ(r) = ψ(−r).
Если ψ(r) собственная функция оператораˆP , то
ˆ
P ψ(r) = P ψ(r) → P2= 1, P = ±1.
Если U (r) = U(−r), то гамильтониан не меняется при отражении, {ˆHˆP } = 0 и ч¨етность
состояния сохраняется со временем.
Операторˆl также не меняется при отражении координат, поэтому {ˆlˆP } = 0. Соб-
ственные функции момента обладают определенной ч¨етностью. Состояния, отличающиеся
только значением m, обладают одинаковой ч¨етностью.
Ч¨етность состояния с определенным l равна
P = (−1)l.
1.3.11. Эффект Штарка в атоме водорода
В атоме водорода состояния l = j ±1/2 (например 2s
от нуля матричные элементы dzдля переходов между состояниями с ∆l = ±1 и δmj=0.
Для каждого значения mjзапишем секулярное уравнение:
−∆E V
V
21
−∆E
12
= 0, ∆E = ±|V12| = E|(dz)12|,
где |(dz)12| = | < j, l − 1, m|dz|j, l, m > |. Для атома водорода матричный элемент может
быть вычислен:
∆E = ±
p
3
n2− (j + 1/2)
4
nm
2
j(j + 1)
1/2
и 2p
eEaB.
) вырождены. Отличны
1/2
28
Состояния 2s
1/2
и 2p
расщепляются на два уровня с расстоянием между ними 2√3eEaB.
1/2
В поле 103В/см расщепление 1.8 ×10−5эВ. Состояния с определенной энергией являются
смесью с остояний 2s
1/2
и 2p
1/2
.
i
~
∆Et
1
√
(ψs− ψp).
2
+ ψ2e
i
~
∆Et
) =
1
√
ψ1=
(ψs+ ψp), ψ2=
2
Если при t = 0 атом был в состоянии 2s
i
1
−
Ψ(t) =
√
~
e
, тогда при t > 0
1/2
E0t
(ψ1e
−
2
i
−
E0t
~
e
При E = 103В/см переход из s в p состояние произойдет в течение ∆t = π~/∆E ≈ 10
(ψscos ωt + ψpsin ωt), ω = ∆E/~.
−10
с.
1.3.12. Лэмбовский сдвиг
В 1947 г. У. Ю. Лэмбом и Р. Ризерфордом был обнаружен сдвиг между состояниями
атома водорода 2s1/2 и 2p1/2. Частота электромагнитного излучения, соответствующая
сдвигу, составила 1057 МГц, что примерно в 10 раз меньше интервалов тонкой структуры.
В эксперименте пучок атомов водорода возбуждался пучком электронов. Состояние
2s
— метастабильное. Пучок попадал в детектор — вольфрамовую пластину. При попа-
1/2
дании на пластину возбуждение снималось за счет выбивания электронов. Величина тока
пропорциональна числу возбужденных атомов.
Если пучок подвергнуть действию радиочастотного электромагнитного поля, то возникают переходы 2s1/2 → 2p3/2 с поглощением энергии при частоте 10000 МГц и переходы
2s1/2 → 2p1/2 за счет вынужденного испускания при частоте 1000 МГц. Состояния 2p1/2
и 2p3/2 быстро переходят в основное состояние с испусканием фотона. В измеренной за-
висимости тока от частоты наблюдалось два пика.
Объяснение эффекта было дано Х. Бете (1948) в рамках квантовой электродинамики.
Основной вклад дают два радиационных эффекта.
1. Испускание и поглощение связанным электроном виртуального фотона (левая диаграмма). Возникновение аномального магнитного момента (g − 2) ≈ α/(2π).
2. Рождение из вакуума виртуальных пар (правая диаграмма), что приводит к искажению
кулоновского потенциала на расстояниях порядка ~/(mc) ∼ 10
−11
см.
Получающееся в результате расчета значение Es− Ep= 0.82E1α3находится в замечательном согласии с экспериментом. Сдвиг p-уровня оказывается отрицательным и
приблизительно в 75 раз меньше сдвига уровня 2s
1/2
.
29
1.3.13. Сверхтонкое расщепление атомных уровней
Сверхтонкое расщепление возникает из-за взаимодействия магнитных моментов электронов с магнитным моментом ядра. Поскольку взаимодействие мал´о даже по сравнению
со спин-орбитальным, то можно рассматривать расщепление каждой линии тонкой структуры отдельно. Оператор взаимодействия:
ˆ
V = AˆIJ,
где I спин ядра, а J полный момент электрона.
Собственными функциями возмущения будут состояния с определенным полным моментом системы F = I + J. Тогда расщепление уровней будет
A
∆E =
Последние два члена дают общий сдвиг уровня. А квантовое число F принимает значения:
[F (F + 1) − J(J + 1) − I(I + 1)].
2
F = J + I, J + I − 1, . . ., |J −I|.
В частности, уровень s
расщепится на 2 подуровня. Характерная величина взаимо-
1/2
действия по сравнению с тонкой структурой равна
V
т.c.
µ
яд
∼ V
µ
эл
т.c.
m
m
p
5.58
2
∼ 10−3V
т.c.
1.4. Переходы в атомах. Излучение фотонов
1.4.1. Вынужденное излучение
Имеется N атомов, N2из которых находятся в возбужденном состоянии, a N1в основном. Переход из возбужденного в основное состояние осуществляется с излучением
фотона с энергией ~ω. Число переходов в основное состояние за время dt равно
= ρ
−A21t
B
ω
A
12
21
,
.
dN2= −A21N2dt → N2= N20e
где A21— вероятность перехода за единицу времени.
В среде присутствует электромагнитное излучение с плотностью энергии ρω. Вероятность поглощения фотона равна B12ρω. Н апишем условие равновесия:
N
A21N2= B12ρωN1→
N
2
1
Но отношение N2/N1может быть вычислено из распределения Больцмана:
−E2/kT
N
N
e
2
=
−E1/kT
e
1
= e
−~ω/kT
.
Комбинируя эти выражения можно получить следующую формулу для излучения черного
тела:
A
21
−~ω/kT
ρω=
B
e
12
,
то есть формулу Вина. Чтобы получить правильное выражение А. Эйнштейн в 1916 г.
добавил еще один член — вынужденное или индуцированное излучение. Вероятность излучения под действием поля равна B21ρω. Тогда условие равновесия переписывается следующим образом:
A21N2+ B21ρω= B12ρω.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]