Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Атомная и ядерная физика. Конспект лекций
.pdf
1.5.1. Антипротонная ловушка
Антипротоны из деселератора захватываются в ловушку и охлаждаются с использованием методики электронного охлаждения.
41
1.5.2. Позитронная ловушка
В качестве источника позитронов используется радиоактивн ый изотоп22Na.
1.5.3. Смешивание
Антипротоны инжектируются в позитронную ловушку, где охлаждаются соударяясь с
позитронами и затем образуют атомы антиводорода.
1.5.4. Антиводородная ловушка
Следующим этапом будет накопление антиводорода.
42
1.5.5. Детектор
В эксперименте ATHENA образующиеся атомы антиводорода попадали на стенку вакуумной камеры, где аннигилировали. При этом одновременно регистрировались два фотона
от аннигиляции позитрона и три и более треков от заряженных пионов, возникающих при
аннигиляции антипротона.
43
1.6. Стандарт частоты
1.6.1. Измерение времени
Для прецизионных спектрометрических экспериментов требуется точное измерение
времени и частоты. Использовались следующие методы:
1. Вращение земли. Солнечное время. Для измерения коротких интервалов — маятник.
∆t ∼ 10−8из-за неравномерности суточного вращения. Замедление вращения Земли
на 0.001 с за 100 лет.
2. Кварцевые часы. ∆t ∼ 10
−11
за сутки. ∆t ∼ 10−9за год. В 1960 г. за эталон был
принят период обращения Земли вокруг Солнца.
3. Радиоспектроскопия+квантовая электроника. 1967 — квантовый стандарт частоты:
1 сек = 9192 631 770 периодов колебаний излучения для сверхтонкого перехода в
133
Cs
.
Используется сверхтонкое расщепление основного состояния Cs
133
:
J = 1/2, / : I = 7/2 =⇒ F = 3, 4.
1.6.2. Эффект Зеемана с учетом сверхтонкой структуры
Расщепление уровней энергии в магнитном поле описывается формулой:
∆E = µ0(¯Lz+ 2¯Sz)H
Усредняем сначала по электронному состоянию J = L + S: ∆E = µ0gJJzH, затем — по
состоянию с сохраняющимся полным моментом F = J + I:
(JF)
Jz=
F (F + 1) + J(J + 1) − I(I + 1)
∆E = µ0gJMFH
Состояния с MF= 0 в слабом поле не смещаются, при увеличении поля появляется смещение ∼ H2.
MF,
2
F
2F (F + 1)
.
1.6.3. Цезиевый эталон частоты
Для основного состояния Cs
происходит расщепление на 9 + 7 = 16 линий с
полным спином F = 4 и 3. На рисунке приведена
зависимость энергий уровней от величины магнитного поля. Стрелка показывает область слабого поля.
В сильном неоднородном поле пучок атомов Cs
расщепится на два с проекциями электронного
спина равными mJ= ±1/2.
44
133
в магнитном поле
Пучок атомов Cs в магните А с неоднородным полем расщепляется на два. Атомы из
восьми состояний с SJ= 1/2 уходят в геттер. Остальные проходят через резонатор,
находящийся в слабом поле магнита C. Резонатор настраивается на частоту перехода
F = 3, MF= 0 → F = 4, MF= 0. Магнит B с неоднородным полем отклоняет состояния
с SJ= −1/2 в геттер. На детектор попадают лишь атомы, испытавшие переход в резонаторе, с F = 4, MF= 0, имеющие SJ= 1/2. Резонатор Рамзея специфической формы
обеспечивает узость резонансной линии.
1.6.4. Переходы в двухуровневой системе
В периодическом электромагнитном поле происходит дипольный переход (электриче-
ский или магнитный). Матричные элементы
V34=Zψ
V43= ~be
∗
V ψ4dV = ~be
3
−i∆ωt
, V33= 0, V44= 0,
i∆ωt
,
∆ω = ω − ω34.
Подставим волновую функцию ψ = a3(t)ψ3+ a4(t)ψ4в уравнение Шредингера:
∂ψ
i~
= (ˆH0+ˆV )ψ.
∂t
∗
Умножим на ψ
3
∗
и ψ
и проинтегрируем:
4
i~
da
3
= a4~be
i∆ωt
,
dt
da
i~
4
= a3~be
−i∆ωt
.
dt
Решаем с начальными условиями a3(0) = 1, a4(0) = 0. Для вероятности перехода получаем:
2
|a4|2=
4b
∆ω2+ 4b
sin2(Ωt/2),
2
45
Ω = (∆ω2+ 4b2)
1/2
.
bt → ∞ sin Ωt/22= 1/2. Оптимальное соотношение мощности радиочастотного сигнала
и времени: bt = π/2. Увеличивая время и уменьшая мощность, можно делать линия все
более узкой. Однако более эффективно использовать два резонатора:
2
|a4|2=
4b
∆ω2+ 4b
sin2(Ωt/2)
2
[cos(Ωt/2) cos(∆ωT /2) −
∆ω
sin(Ωt/2) sin(∆ωT /2)]2.
Ω
Характерная ширина линии составляет 200 Гц. Относительная точность измерения времени — 10
−13
.
46
1.6.5. Цезиевый фонтан
Для повышения точности измерения частоты
нужно существенно увеличить время прохождения через резонатор Рамзея. В традиционной схеме это сделать невозможно. Поэтому был осуществлен переход к другой схеме — фонтану.
В нем используется охлаждение газа атомов Cs
с помощью лазера. Фотон переводит атом в возбужденное состояние и передает ему импульс.
Возбужденный атом излучает фотон в произвольном направлении.Минимальная температура:
2
∆E =
(~ω)
= 10
−11
эВ → 10−7К.
2M
Движущаяся частица видит фотон с ω0= ω(1 +
v/c), так что лазер должен иметь частоту мень-
шую, чем ω0. Можно достигнуть температуры
сравнимой с естественной шириной линии.
Как работает цезиевый фонтан?
1. Охлаждение. Три лазера, работающих на частоте перехода F = 4 → F′= 5 + зеркала охлаждают шарик из газа до T ≈ 1µK. Охлаждаются только атомы в состоянии
F = 4, остальные улетают. Затем убирают зеркало сверху, и шарик летит вверх.
2. Селектор состоянии (поле H=10−7T). Сначала в резонаторе (не показан на рисунке)
генерируется переход F = 4, m = 0 → F = 3, m = 0. Остальные атомы удаляются
лазером с использованием перехода F = 4 → F′= 5. Остается только состояние
F = 3, m = 0.
3. Затем дважды проходится резонатор (F = 4, m = 0 → F = 3, m = 0). Часть атомов
переходит в состояние F = 4, m = 0. Время между похождениями резонаторов t ≈ 1
с.
4. Детектирование.
а). Лазер F = 4 → F′= 5 (стоячая волна). Регистрация фотонов, 104, эффектив-
ность 20%. Измеряется N
F =4
.
б). Лазер F = 4 → F′= 5 (бегущая волна). Удаляются атомы в состоянии F = 4.
в). Лазер F = 3 → F′= 4 лазер. Стоячая волна. Атомы с F′= 4 переходят затем,
в основном, в состояние F = 4.
г). Лазер F = 4 → F′= 5 (стоячая волна). Регистрация фотонов. Измеряется
N
.
F =3
5. Вычисляется N
F =3
/(N
F =3
+ N
). Подстройка частоты в резонаторах.
F =4
47
Из-за относительно большого времени пролета
зависимость амплитуды сигнала от частоты
сильно осциллирует. Достигается ширина линии
менее 1 Гц. Относительная точность измерения
времени — 10
−15
.
1.7. Сложные атомы
1.7.1. Тождественность частиц
В квантовой механике понятие траектории частиц отсутствует. Пусть имеется система
из одинаковых частиц. Если мы перенумеровали частицы в один момент времени, то, локализовав одну из них в другой момент времени, мы не сможем сказать какая эта была
частица. Таким образом в квантовой механике одинаковые частицы принципиально неразличимы. Значит состояния, отличающиеся перестановкой одинаковых частиц, должны
быть физически эквивалентны: ψ(1, 2) = eiαψ(2, 1). Повторная перестановка дает e
Таким образом,
ψ(1, 2) = ±ψ(2, 1).
2iα
= 1.
Волновая функция системы одинаковых частиц должна быть симметричной или антисимметричной. Частицы, описывающиеся симметричными волновыми функциями, называются бозонами, антисимметричными — фермионами. Фермионы обладают полуцелым
спином, бозоны — целым.
D
2
1 3
a, b, c — амплитуды для частиц a, b, c рассеяться в элемент площади детектора. Для частицы a полная вероятность регистрации
P =R|a|2dS = |a|2S. Если частицы разные, то для трех частиц —
P = |a|2|b|2|c|2S3.
a b c
Z Z
P =
Если частицы одинаковые и являются бозонами, то для двух частиц
Z Z
S
|a1b2+ a2b1|2dS1dS2= 4|a|2|b|
2
dS1dS2= 4|a|2|b|
2
= 2|a|2|b|2S2,
2
для трех
P = 3!|a|2|b|2|c|2S3.
48
В случае n частиц за счет интерференции вероятность увеличивается в n! раз. Если в
конечном состоянии имеется n частиц, то
P
= (n + 1)!|abc..w|2S
n+1
n+1
= (n + 1)|w|2Pn.
Вероятность того, что в конечное состояние придет еще одна частица возрастает в (n + 1)
раз.
Рассмотрим систему из N невзаимодействующих тождественных частиц. p1, p2. . .p
N
— номера состояний, в которых находятся отдельные частицы. Среди них могут быть
состояния с одинаковым номером. Тогда симметричная волновая функция запишется в
виде:
N1!N2!. . .
ψ =
N!
1/2
X
ψ
p
1
(1)ψ
(2). . .ψ
p
2
p
N
(N).
Суммирование идет по всем перестановкам различных индексов p1, p2. . .pN. Числа Niопределяют, сколько частиц имеет одинаковый индекс i.
Антисимметричная волновая функция может быть записана в виде определителя:
ψ =
√
1
N!
ψ
(1) ψ
p
1
ψ
(1) ψ
p
2
. . . . . . . . . . . .
ψ
(1) ψ
p
N
(2) . . . ψ
p
1
(2) . . . ψ
p
2
(2) . . . ψ
p
N
p
1
p
2
p
N
(N)
(N)
(N)
.
Перестановка двух частиц приведет к перестановке столбцов и, следовательно, поменяет
знак определителя. Если два состояния, в которых находятся частицы, окажутся одинаковыми, то одинаковыми окажутся и две строки определителя. Волновая функция обратится
в нуль. Значит все индексы p1, p2. . .pNдолжны быть различны.
Свойство системы одинаковых фермионов, что два и более из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии, называется принципом Паули (1925).
1.7.2. Атомы с несколькими электронами
Точным законом сохранения для атома в целом является закон сохранения полного
момента J . В пренебрежении релятивистскими поправками стационарные состояния атома
определяются уравнением Шредингера, которое не зависит от спиновых переменных. В
этом приближении сохраняется полный орбитальный момент L и стационарные состояния
характеризуются определенными значениями L и спина S. Кратность вырождения уровня
равна (2L + 1)(2S + 1). За счет релятивистских поправок уровень с определенными L и S
расщепляется на 2S + 1 или 2L + 1 с различными J .
Для классификации атомных уровней используются следующие обозначения. Орбитальный момент:
L= 0 1 2 3 4 5 6
S P D F G H I
Слева вверху приводится число 2S + 1, а справа внизу — значение полного момента J.
Например,3D1соответствует L = 2, S = 1, J = 1.
При рассмотрении атомов используется приближение самосогласованного поля, когда
каждый электрон считается находящимся в эффективном центрально-симметричном поле, создаваемом ядром и всеми остальными электронами. В этом случае состояние каждого конкретного электрона описывается главным квантовым числом n и значением орбитального момента l. Для полного описания атома требуется задание состояний всех
49
электронов. Например, 1s2d3D1. Из этой же конфигурации электронов можно сконструировать еще 3 терма3D
2,3
и1D2.
При заданных n и l имеется 2(2l + 1) состояний, отличающихся проекциями орбитального момента и спина. Эти состояния называются эквивалентными. Из принципа Паули
в эквивалентных состояниях не может находиться более, чем 2(2l + 1) электронов. Кроме
этого накладываются ограничения на количество термов, которые могут существовать. В
частности, атом с полностью заполненной оболочкой может находиться только в одном
состоянии —1S. Построим термы для электронной конфигурации p2. Для каждого из
электронов при l = 1 возможны 6 состояний:
(1) 1, 1/2 (2) 0, 1/2 (3) -1 1/2
(4) 1, -1/2 (5) 0, -1/2 (6) -1 -1/2
Комбинируя эти состояния в соответствии с принципом Паули, получим пятнадцать двухэлектронных состояний:
MS\M
2 1 0 -1 -2
L
0 1-4 1-5 1-6 2-6 3-6
1
0
-1
0
1-2 1-3 2-3
2-4 3-4 3-5
4-5 4-6 5-6
2-5
Они соответствуют термам1D,3P ,1S. Если бы электроны не были эквивалентными,
можно было бы построить 6 термов:
3,1D,3,1
P , 3, 1S.
Для нахождения при данной электронной конфигурации терма с минимальной энер-
гией используется эмпирическое правило Хунда:
Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным спином S и наибольшим возможным при этом S значением L.
Рассмотрим основное состояние атома железа Fe. Он содержит 26 электронов:
1s22s22p63s23p63d64s2.
Незаполненной является d оболочка с 6 из 10 возможных электронов. Максимально возможное значение MS= 5 · 1/2 + (−1/2) = 2 соответствует спину S = 2. При MS= 2
максимально возможное значение ML= 2. Значит L = 2. Расщепление термов по полному
моменту происходит в результате спин-орбитального взаимодействия:ˆV = AˆSˆL. Среднее
значениеˆV в состоянии с определенным полным моментом J:
A
∆E =
[J(J + 1) − L(l + 1) − S(S + 1)].
2
Разность энергий соседних уровней равна ∆
= AJ. При A > 0 минимальной энергией
J,J−1
обладает уровень с наименьшим J. Если не заполнена только одна оболочка, то существует
правило:
при n < 2l + 1 A > 0; при n > 2l + 1 A < 0,
где n — количество электронов на незаполненной оболочке. Для атома железа A < 0,
следовательно минимальной энергией будет обладать состояние5D4.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]