Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Атомная и ядерная физика. Конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Откуда

ρω=

B12e

~ω/kT

− B

При T → ∞ ρω→ ∞, поэтому

B12= B21.

При T → 0 справедлива формула Рэлея–Джинса ρω=

~ω

π2c

A B

kT , откуда

π2c

Подставляя соотношения для коэффициентов Эйнштейна в формулу для ρωполучим формулу Планка:

ρω=

~ω

π2c

~ω/kT

− 1

В коротковолновой области главную роль играет спонтанное, а в длинноволновой — вынужденное излучение.

1.4.2. Лазеры

В лазерах используется свойство когерентности вынужденного излучения: испущенный фотон идентичен вынуждающему.

Рассмотрим прохождение электромагнитного излучения через слой вещества. Поглощенная энергия ∆Iωравна:

−~ωρωB12N1∆x + ~ωρωB21N2∆x.

Выразив плотность энергии через интенсивность падающего пучка ρω= Iω/c, получим

~ω

dIω= −

B12(N1− N2)Iωdx.

При больцмановском распределении по уровням энергии N2< N1и излучение ослабляется. Если мы каким-то образом создадим инверсную заселенность, то есть N2> N1, то интенсивность света проходящего через такую среду будет увеличиваться.

Для создания инверсной заселенности можно использовать, например, трехуровневую систему с метастабильным уровнем (рубиновый лазер).

Лазер состоит из трех элементов: активной среды, системы накачки и устройства для создания положительной обратной связи (оптический резонатор). Генерация начинается со спонтанного излучения. В результате многочисленных отражений в резонаторе (L = nλ) усиливается свет, распространяющийся вдоль оси резонатора, для которого выполняется условие образования стоячих волн.

1.4.3. Момент и ч¨етность фотона

Волновой функцией фотона является вектор-потенциал в трехмерно-поперечной калибровке: div A = 0. Электрические и магнитные поля выражаются как

E = −

Уравнения М аксвелла дают волновое уравнение для вектор-потенциала:

∆A −

решением является плоская волна

2π~c

A = e

где e — вектор поляризации, а ω и k связаны соотношением

ω2− k2c2= 0,

т. е. волновая функция фотона совпадает с волновой функцией частицы с энергией ~ω, импульсом ~k и массой равной 0.

Волновая функция нормирована условием

(|E|2+ |H|2)dV = ~ωV.

8π

, H = rot A.

c∂A∂t

∂2A

∂t

−i(ωt−kr)

= 0,

+ e

i(ωt−kr)

Поскольку волновая функция является вектором, то фотону можно приписать спин равный 1 и внутреннюю ч¨етность P = −1. Есть однако существенные отличия от обычной частицы. Условие div A = 0 приводит к соотношению

kA = 0.

Т.е. спиновые и координатные переменные для фотона связаны. Поэтому невозможно разделить орбитальный момент и спин, и состояние фотона описывается полным моментом

j. Тем не менее обычно фотону приписывают спин s = 1 и выделяют орбитальный момент l. Тогда ч¨етность состояния фотона P = (−1)

l+1

. Складывая орбитальный момент и спин,

получим следующие состояния

l = j, P = (−1)

j+1

; l = j ± 1, P = (−1)j.

Из этих состояний мы должны вычеркнуть состояния, соответствующие продольному вектору поляризации. Для каждого j лишним оказывается одно из состояний с ч¨етностью

P = (−1)j. Таким образом, состояния с j = 0 вообще не существует, и для каждого j есть

два состояния с ч¨етностями (−1)j(электрический 2j-польный фотон) и (−1)

j+1

(магнит-

ный 2j-польный фотон).

1.4.4. Возмущения зависящие от времени.

Решение уравнения Шредингера

∂ψ

= (ˆH0+ˆV )ψ

∂t

ищем в виде суммы:

Тогда

Умножив на ψ

(0)∗

и интегрируя получим:

ψ =

cm(t)ψ

(0)

, i~

∂ψ

∂t

(0)

=ˆH0ψ

(0)

V ψ

(0)

(1)

. Тогда

Vnm(t)cm, Vnm(t) = Vnme

(0)

= 1, c

(1)

= Vnk(t).

iωnmt

, ωnm=

(0)

= 0, n 6= k. В следующем прибли-

В качестве нулевого приближения берем c жении cn= c

(0)

+ c

и коэффициенты для волновой функции k-го состояния ψk= как

cn= −

Vnke

iωnkt

dt.

(0)

− E

cnψn(0) определяются

1.4.5. Излучение

Рассмотрим переход из состояния k в состояние n с испусканием фотона с энергией ~ω. Гамильтониан взаимодействия с электромагнитным полем вводится заменой

p → p −

Тогда с точностью до квадратичных по полю членов

V = −

pA.

Для вектор-потенциала берем выражение, соответствующее волновой функции фотона

A = e

2π~c

−i(ωt−kr)

+ e

i(ωt−kr)

Временная зависимость коэффициента волновой функции cnдается следующим выражением:

cn= −

i(ωnk−w)t

+ V

∗

i(ωnk+w)t

]

Интегрируя от 0 до t, получим

i(ωnk+w)t

∗

~(ωnk+ w)

− 1

cn= −V

i(ωnk−w)t

~(ωnk− w)

− 1

− V

Если ωnk> 0, можно рассматривать только первый член. После возведения в квадрат получаем

ωnk−w

|cn|2= |Vnk|2t

4 sin

~2(ωnk− w)2t

При больших t (≫ 2π/ω) используем предел

sin2at

lim

t→∞

= πδ(a)

a2t

и получаем

|cn|2=

|Vnk|2δ(

ωnk− w

)t =

2π

|Vnk|2δ(ωnk− w)t.

Для вычисления полной вероятности перехода мы должны просуммировать по всем возможным состояниям конечного фотона N:

Pn=

|cn|2=Z|cn|2dN.

Для кубического объема V = L3:

тогда ∆N = ∆Nx∆Ny∆Nz=

kx=

(2π)

2π

Nx, ky=

∆k. Поскольку волновая функция нормирована на один

2π

Ny, kz=

2π

Nz.

фотон в единице объема, то

d3k

dN =

(2π)

Вероятность перехода в единицу времени равна

dwnk=

|cn|

dN =

2π

|Vnk|2δ(ωnk− w)

d3k

(2π)

Подставив выражение для матричного элемента, получим вероятность излучения фотона с поляризацией ρ:

dwρ=

2π

m2c

dwρ=

2π~c

2π~c3m

|eρ< n|pe

e2ω

|eρ< n|pe

ikr

|k > |2δ(ωnk− w)

ikr

|k > |2dO.

ω2dωdO

(2πc)

1.4.6. Электрическое дипольное излучение

Если длина волны волны велика по сравнения с размером атома kr ≈ 2πa/λ ≈ 10−3, то изменением амплитуды волны можно пренебречь e

< n|pe

ikr

|k >≈< n|p|k >= −iωm < n|r|k > .

Учитывая, что er = d есть электрический дипольный момент, получим

dwρ=

2π~c

|eρdnk|2dO.

ikr

≈ 1, тогда

Для вычисления полной вероятности излучения нужно просуммировать по двум возможным поляризациям фотона. Проведем это суммирование путем усреднения по направлениям e в плоскости, перпендикулярной направлению излучения фотона n и умножением результата на 2:

2π

|ed|2= 2|e[nd]|2=

2π

cos2φ dφ|[nd]|2= |[nd]|2,

dw =

2π~c

|[nd]|2dO.

Направив ось z по d, проведем интегрирование по угламRsin3θdθdφ = 8π/3. Тогда

4ω

dwnk=

3~c

|dnk|2.

Оценим вероятность для перехода 2p → 1s в атоме водорода (~ω ≈ 10 эВ, ω ≈ 1.5×1016Гц):

w ∼

ω3e2a

= ωα(

ωa

)2∼ 109с−1.

1.4.7. Правила отбора для электрического дипольного излучения

В приближении, соответствующем дипольному излучению, полный момент уносимый фотоном равен 1. Тогда при сохранении момента получаются естественные правила отбора:

∆J = Ji− Jf= 0, ±1; Ji+ Jf≥ 1; ∆M = Mi− Mf= 0, ±1.

Эти правила должны быть дополнены правилом отбора по ч¨етности. Поскольку электрический дипольный момент является вектором, то

PfPi= −1.

В случае малости спин-орбитального взаимодействия реализуются состояния с определенными L, S, J и M. Матричный элемент электрического дипольного момента не зависит от спиновых координат, поэтому добавляются новые правила

∆L = Li− Lf= 0, ±1; Li+ Lf≥ 1; ∆S = Si− Sf= 0.

В случае атома водорода правило отбора по ч¨етности запрещает переход с ∆L = 0.

1.4.8. Поляризация излучения

Перепишем оператор возмущения в виде:

eˆd = (e

Здесь e — единичный вектор поляризации, совпадающий по направлению с вектором E,

e±= (ex∓iey)/

√

d±= (ˆdx±iˆdy)/

2 и

dx+ e

dy+ e

√

dz) = (e

2. Выпишем части матричных элементов связанных

d++ e

d−+ e

−

с квантовым числом m:

(d+)nk∝

(d−)nk∝

2π

cos φ + i sin φ

2π

cos φ − i sin φ

(dz)nk∝

−i∆mφ

2π

−i∆mφ

dφ =

dφ.

2π

Таким образом, операторыˆd±иˆdzсоответствуют переходам с различными ∆M. При переходе с ∆M = 0 возникает линейно поляризованное излучение с вектором E вдоль оси z. При переходе с ∆M = ±1 испускаются испускаются фотоны с правокруговой и левокруговой поляризацией e = ex∓ iey.

dz).

−i(∆m−1)φ

−i(∆m+1)φ

dφ,

1.4.9. Угловое распределение

Вычислим угловые распределения для переходов с разными ∆M .

dw =

2π~c

В случае ∆M = 0 от нуля отлична только z-компонента:

dw0=

2π~c

Для перехода с ∆M = 1, подставим в общую формулу d = (dx, idy, 0)/ получим

|[nd]|2=

|d|

(2n

dw±1=

2π~c

Если мы рассматриваем вероятность перехода из состояния с моментом J в состояние с моментом J′со всевозможными комбинациями M и M′, то в силу произвольности выбора оси z: |dx|2= |dy|2= |dz|2. Получающееся в этом случае суммарное угловое распределение

dw = dw0+ dw+1+ dw−1— изотропно.

Зеемановское расщепление линий наблюдают обычно в двух направлениях. В направлении поля видны переходы с ∆M = ±1 (σ-компоненты). Излучение имеет циркулярную поляризацию. Перпендикулярно полю, например вдоль оси x, кроме σ-компонент видны π-компоненты (переходы с ∆M = 0). Излучение в π-компонентах линейно поляризовано вдоль z. Интенсивность σ-компонент в этом направлении в два раза меньше, чем при наблюдении по полю, поляризация линейная вдоль оси y.

|[nd]|2dO.

|d|2sin2θ dΩ.

+ n

|d|

) = |d|

1 + cos2θ

dΩ.

√

2 = (1, i, 0)/√2,

1.4.10. Электрическое мультипольное излучение

В дипольном приближении множитель e по степеням kr можно представить в виде суммы членов с разными значениями момента фотона. Первый член соответствует дипольному излучению (j = 1), следующий квадрупольному (j = 2) и т.д. Вероятность 2j-польного излучения:

Wj∝ ωα(

Правила отбора определяются сохранением полного момента

|Ji− Jf| ≤ j ≤ Ji+ Jf, Mi− Mf= m

и сохранением ч¨етности

PiPf= (−1)j.

ikr

заменялся 1. Разложение этого множителя

ωa

)2j.

1.4.11. Магнитное дипольное излучение

Рассмотрим переходы под действием магнитного поля волны. В дипольном приближении гамильтониан возмущения можно записать в виде

V = −ˆµH, ˆµ = −µB(ˆL + 2ˆS).

Все формулы для вероятности излучения, поляризации, углового распределения получаются такими же, как для электрического дипольного излучения, но с заменой d → µ. Правила отбора по полному моменту так же совпадают

|Ji− Jf| ≤ 1 ≤ Ji+ Jf, ∆M = 0, ±1.

Так как µ является аксиальным вектором, правило отбора по ч¨етности модифицируется

PiPf= +1.

В состояниях с определенными L, S, J, M правила отбора сильно ужесточаются. Оператор

J не имеет недиагональных по энергии матричных элементов. Поэтому ˆµ = −µ

S. В

пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием сохраняются по отдельности L и S и оператор спина диагонален по n, S, L. Поэтому переходы возможны только между компонентами тонкой структуры одного и того же терма:

n = n′, S = S′, L = L′, J − J′= ±1.

Вероятность магнитного дипольного перехода:

маг

∼ wэл(

)2= α2wэл.

Переходы между уровнями сверхтонкой структуры так же осуществляются за счет M1 переходов. Например, вероятность перехода между подуровнями основного состояния атома водорода (λ = 21 см) равна: w1s≈ 3×10

−15с−1

. Тем не менее излучение галактического

атомарного водорода наблюдается с помощью радиотелескопов.

Переход между состояниями атома водорода 2s и 1s строго запрещен для E1 и E2 переходов. В матричный элемент M1 перехода, поскольку µ в данном случае чисто спиновая величина, входит интегралRψ

∗

ψ1sdV = 0. В результате решения уравнения Дирака веро-

ятность M1 перехода оказывается ненулевой, примерно в α4раз меньше, чем для обычного магнитного дипольного перехода: w

= 5.6 × 10−6с−1. Более вероятным оказывается

2s→1s

переход с испусканием двух фотонов: τ = 0.15 c.

1.4.12. Естественная ширина линии

Рассмотрим атом с двумя состояниями. В начальный момент атом находится в возбужденном состоянии (a0). Второе состояние — атом в основном состоянии + излученный фотон (a1). Тогда для изменения состояния a1во времени имеем:

2π

E1−E

|V01|2.

+w)t

= V01a0e

Полагая в нулевом приближении a0= 1, мы получали для вероятности перехода в единицу времени:

w01=

Добавим еще одно уравнение, соответствующее обратным переходам:

=ZV10a1e

E0−E

−w)

dω.

Поскольку состояние a1принадлежит непрерывному спектру, здесь идет интегрирование по частотам начального состояния.

Предполагая что вероятность нахождения в возбужденном состоянии убывает экспо-

= V01e

−γt/2

. Тогда первое уравнение (ω0= E0− E1/~):

i(ω−ω0)t−γt/2

ненциально, ищем решение в виде a0(t) = e

i(w−w0)t−γt/2

a1= −V

~(ω − ω0+ iγ/2)

− 1

Подставляем выражение для a1во второе уравнение:

i(w0−w)t+γt/2

1 − e

~(ω0− ω − iγ/2)

dω.

−

i~γ

=Z|V01|

Интересуемся временами, для которых ω0t ≫ 1, и полагаем, что γ ≪ ω0. Тогда в интеграле γ можно опустить. После этого разобь¨ем интеграл на действительную и мнимую части:

1 − cos(ω0− ω)t

ω0− ω

sin(ω0− ω)t

− i ω0− ω

При ω0t ≫ 1 это выражение стремится к

− iπδ(ω0− ω).

ω0− ω

Тогда для γ получаем окончательное выражение:

γ = i

|V01|2dω

ω0− ω

2π

|V01|2.

Мнимая часть представляет собой сдвиг энергии за счет испускания и поглощения виртуального фотона. Интересующая нас действительная часть оказалась равна полной вероятности спонтанного излучения за единицу времени.

Вернемся к выражению для a1. П ри временах t ≫ 1/γ

|a1|2=

2π

|V01|

2π1(ω − ω0)2+ γ2/4

Для получения полной интенсивности нужно умножить эту величину на ~ω0и проинтегрировать по частотам

I(ω)dω =

2π

~ω0dω

(ω − ω0)2+ γ2/4

Полная интенсивность равна ~ω. Эта формула для ширины линии называется формулой Брейта-Вигнера. Ширина линии на полувысоте равна γ. Связь между шириной линии и вероятностью перехода можно понять из соотношения неопределенности

∆E∆t ∼ ~,

которое утверждает, что, если на измерение затрачено время ∆t, то энергия системы известна с точностью ∆E. В нашем случае характерное время измерения равно 1/γ, значит энергия определена с точностью ∆E ∼ ~γ, тогда ∆ω ∼ γ.

Если система может перейти в несколько состояний, то полная ширина уровня является суммой парциальных ширин:

γ =

γi.

Ширина спектральной линии определяется полными ширинами начального и конечного уровней.

1.4.13. Причины уширения линий

Есть два эффекта, существенно увеличивающих наблюдаемую ширину линии по сравнению с естественной шириной.

1. Эффект Доплера. Распределение скоростей в газе описывается распределением Максвелла: exp(−Mv чину δω = ω0vx/c (v ≪ c). Тогда распределение интенсивности по частотам будет иметь гауссов вид:

Ширина на полувысоте равна 2.36σ. При λ = 400 нм

2. Соударения в газе. Если возбуждение снимается при каждом соударении, то уширение линии будет равно

где l — длина свободного пробега в газе.

Оба эффекта дают вклад, значительно превышающий естественную ширину линии ширину линии.

/2kT ). При наблюдении в направлении x линия будет смещена на вели-

I(ω)dω = const · e

ω−ω

−

2σ

dω, σ = ω

∆ω ∼ 2.36

6.6 × 10

√

−16

38.7 · 0.938 · 10

∼ 0.6 × 10

c−1.

300 K

∆ω ∼

≈ 10

300 K

c−1,

Tp1 атм

1.5. Изучение свойств антиматерии

В эксперимент ATHENA (CERN) в 2002 г. было получено 50000 атомов антиводорода. Ниже приводится схематическое изображение основных элементов эксперимента

Основной целью экспериментов с антиводородом в ЦЕРНЕ является прецизионная проверка CPT инвариантности.

Для этого предполагается измерить частоту перехода 2s − 1s в антиводороде. Требуется ультрахолодный антиводород. Эксперимент ATHENA был первым этапом в решении этой задачи.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]