Электротехника. Решение типовых задач. Ч.1. Учебное пособие

A

ɺɺɺ

ɺ

+

−=+

ɺɺɺ

=−⋅−−⋅−=⋅−⋅

−

=

−

=

−

=

I

1

U

xx

2

xx

21

I

1

==

xx

⋅

13

xx

1

200

jIZ

005.0

j

−==

См. (5.9)

Рассмотрим режим короткого замыкания на выходе четырехполюсника. В этом случае U2 = 0.

Найдем выражение для выходного тока в функции от входного напряжения с учетом, что сопротивления Z2 и Z3 теперь параллельны:

U

+

1

ZZ

⋅

32

ZZ

+

32

ɺ

I

=

2

кз

Z

1

U

⋅=

100(

Z

3

ZZ

200

j

200100

=

32

ɺɺ

U

)200100)(

jj

+−

⋅

+

jj

⋅−

jj

+−

Из первого уравнения системы (5.1) получим:

U

A

12

1

I

2

кз

−==

)10050(

j

Ом. (5.11)

Из второго уравнения (5.1):

Z

ZZ

32

200

3

j

A

I

1

22

==

I

2

кз

I

1

ɺ

I

1

Z

⋅

+

=

3

ZZ

32

(5.10)

1

j

=

.

10050

5.0

. (5.12)

⋅=

11

−

200100

jj

Проверяем соотношение:

1)005.0()10050(5.0)5.01(

. (5.13)

005.021jA

См,

A

22

Ответ:

5.0

.

21122211

5.0111jA

,

12

)10050(

jA

Ом,

jjjAAAA

Задача 5.4. Для Т-образного четырехполюсника (см. рис. 5.2) вычислить характеристические сопротивления при Z1 = 10 Ом, Z2 = 10 Ом, Z

= 20 Ом.

3

81

Решение:

⋅

05.0

Характеристические сопротивления ZС1 и ZС2 одинаковы, так как четырехполюсник симметричный:

===

CCC

/ AAZZZ

. (5.14)

211221

Коэффициенты в уравнении четырехполюсника в форме А связаны с параметрами Т-образной схемы замещения [3, 4]:

20

1010

25

=

Ом; (5.15)

ZZ

Z

21

3

++=

ZZA

2112

1010

++=

11

05.0

20

===

См; (5.16)

A

21

Z

3

25

Z

C

==

36.22

Ом. (5.17)

Ответ: ZС1 = ZС2 =22.36 Ом.

Задача 5.5. Пять одинаковых четырехполюсников включены каскадно. Постоянная ослабления цепи a = 80 дБ. На вход цепи подано напряжение U1 = 200 В. Вычислить постоянную ослабления отдельного четырехполюсника, выходное напряжение и напряжение на входе четвертого каскада.

Решение:

При каскадном включении постоянные ослабления четырехполюсников суммируются. По условиям задачи четырехполюсники одинаковые, поэтому ослабление отдельного каскада составляет a1 = a/n = 80/5 = 16 дБ.

Если U2 − напряжение на выходе цепи, то





U

1



=

a



lg20

 

. (5.18)



U



2

82

Отсюда

10

100

=

Z

⋅+⋅

=

ɺɺɺ

U

2

200

1

a

20

10

4

02.0

===

В. (5.19)

Входное напряжение четвертого каскада образуется после прохождения сигналом трех каскадов со стороны входа цепи. Три каскада дают ослабление 16·3 = 48 дБ, т.е. если U3 − напряжение на выходе третьего каскада, то





U

1



=



lg2048

 

. (5.20)



U



3

Отсюда

U

3

200

1 48

20

10

4.2

796.0

===

В. (5.21)

Ответ: постоянная ослабления отдельного четырехполюсника равна 16 дБ, выходное напряжение – 0.02 В, напряжение на входе четвертого каскада – 0.796 В.

Задача 5.6. На рис. 5.3 представлена схема четырехполюсника. Определить его А-параметры, если

Z

Ом.

Рис. 5.3

Решение:

Система уравнений четырехполюсника по форме А приведена в

(5.22):

,

IAUAU

2122111

(5.22)

ɺɺɺ

⋅+⋅=

.

IAUAI

2222211

Здесь U

  

, U2 – напряжения на входе и выходе четырехполюсника,

1

I1, I2 – токи на входе и выходе четырехполюсника.

83

Рассмотрим работу четырехполюсника на холостом ходу, в этом

⋅

=

ɺ

ɺɺɺ

ɺ

=

ɺ

=

−

=

⋅+⋅

=

ɺɺɺ

случае I2 = 0. Система уравнений изменится:

,

  

UAU

2111

(5.23)

ɺɺ

⋅=

.

UAI

2211

В схеме на рис. 5.3 входное и выходное напряжения совпадают. Для того чтобы первое уравнение в системе (5.23) соответствовало этому факту, коэффициент А11 должен быть равен единице.

Из второго уравнения:

A

U

I

U

1

2

21

1

ZUZ

2

111

100

01.0

===⋅==

См. (5.24)

Режим короткого замыкания для четырехполюсника на рис. 5.3 нереализуем. Проанализируем уравнения (5.22) в сопоставлении со схемой четырехполюсника на рис. 5.3.

В силу топологии устройства напряжения висят от величины тока

A

0

12

Ом.

I

, следовательно, в первом уравнении (5.22)

2

U

1

и

U

равны и не за-

2

Во втором уравнении фактически записан первый закон Кирхгофа. Ток

I

, поэтому А22 = 1.

2

I

равен сумме тока, идущего через сопротивление Z, и тока

1

Ответ: А11 = 1, А12 = 0 Ом, А21 = 0.01 См, А22 = 1.

Задача 5.7. На рис. 5.2 представлена схема Т-образного четырехполюсника. Определить его Z-параметры, если

100

jZ

2

Ом, 200

jZ

3

Ом.

Z

100

1

Решение:

Запишем систему уравнений для четырехполюсника в форме Z:

,

  

84

IzIzU

2121111

(5.25)

ɺɺɺ

⋅+⋅=

.

IzIzU

2221212

Ом,

Здесь U1, U2 – напряжения на входе и выходе четырехполюсника,

⋅+⋅+=+⋅+⋅

=

ɺɺɺɺɺ

ɺ

+=+

=

===

=+−=+

=

I1, I2 – токи на входе и выходе четырехполюсника.

Введем в исходную схему условно-положительные направления для токов и обхода контуров (рис. 5.4).

U

Z

I

1

Z

3

Z

I

2

U

2

Рис. 5.4

Запишем уравнения для левого и правого контуров цепи по второму закону Кирхгофа:

,)()(

  

IZIZZIIZIZU

23131213111

(5.26)

ɺɺɺɺɺɺ

⋅++⋅=⋅++⋅=

.)()(

IZZIZIZIIZU

23213222132

Сопоставляем системы уравнений (5.25) и (5.26). Отсюда:

200100

200

jZzz

jZZz

3111

32112

3222

Ом; (5.27)

Ом; (5.28)

100200100

jjjZZz

Ом. (5.29)

Ответ: z11 = (100 + j200) Ом, z12 = z21 = j200 Ом, z22 = j100 Ом.

Задача 5.8. Резистивный четырехполюсник запитали со стороны входа и при холостом ходе на выходе получили следующие замеры: U1 = 100 В, U2 = 75 В, I1 = 12.5 А, I2 = 0 А. Затем четырехполюсник запитали со стороны выхода и при холостом ходе на входе получили: U1 = 30 В, U2 = 50 В, I1 = 0 А, I2 = 5 А. Определить Z-параметры четырехполюсника.

85

Решение:

⋅

=

ɺ

⋅

=

ɺ

=

−

=

Система уравнений для четырехполюсника в форме Z приведена в (5.25). Для случая холостого хода на выходе четырехполюсника система уравнений примет следующий вид:

,

  

IzU

1111

(5.30)

ɺɺ

⋅=

.

IzU

1212

Отсюда:

U

z

11

I

U

z

21

I

100

1

75

2

1

8

===

Ом; (5.31)

5.12

6

===

Ом. (5.32)

5.12

Случай питания четырехполюсника со стороны выхода:

,

30

5

IzU

2121

(5.33)

ɺɺ

⋅=

.

IzU

2222

6

===

Ом; (5.34)

10

===

Ом. (5.35)

  

U

1

I

2

50

2

I

2

z

12

z

22

Ответ: z11 = 8 Ом, z12 = 6 Ом, z21 = 6 Ом, z22 = 10 Ом.

Задача 5.9. На рис. 5.5 представлена схема П-образного четырехполюсника. Определить его Y-параметры, если

100

jZ

2

Ом, 200

jZ

3

Ом.

I

U

2

U

I

1

Z

1

Z

2

Z

3

Z

1

Рис. 5.5

86

100

Ом,

Решение:

⋅+⋅

=

ɺɺɺ

−

ɺɺɺ

−

+

=

−==

=

Запишем уравнения четырехполюсника в Y-форме:

,

  

UyUyI

212!111

(5.36)

ɺɺɺ

⋅+⋅=

.

UyUyI

2221212

Здесь U1, U2 – напряжения на входе и выходе четырехполюсника, I1, I2 – токи на входе и выходе четырехполюсника.

Выразим токи I1, I2 четырехполюсника через параметры цепи:

U

ɺ

I

1

ɺ

I

1

+=

Z

1

U

2

Z

−=

3

2

UU

21

( U

UU

21

11

)

U

ZZZ

212

1

U

ZZ

1

22

1

ɺɺ

⋅−⋅+=

; (5.37)

1

Z

(

2

11

ZZ

ɺɺ

)

U

⋅++⋅−=

. (5.38)

2

32

Сравниваем коэффициенты при одноименных напряжениях в (5.36) и (5.37), (5.38):

−

1

100

jZZ

01.001.0

j

См; (5.39)

y +=

11

21

+=+=

100

111

11

01.0

yy −=

2112

−=−==

2

−

111

y =+

22

=+=

100

−

32

100

jZ

1

200

jjZZ

j

См; (5.40)

005.0

j

См. (5.41)

Ответ:

11

01.001.0

jy

См,

01.0

2112

jyy

См,

Задача 5.10. В схеме на рис. 5.6 R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = 4 Ом. Определить Z-параметры четырехполюсника.

1

I

1

U

1

2

R

1

R

2

R

3

R

4

I

U

3

2

4

Рис. 5.6

87

005.022jy

См.

Решение:

⋅+⋅

=

ɺɺɺ

⋅

=

ɺ

⋅

=

ɺ

+⋅+

ɺ

Запишем систему уравнений для четырехполюсника в форме Z:

,

  

IzIzU

2121111

(5.42)

ɺɺɺ

⋅+⋅=

.

IzIzU

2221212

Здесь U1, U2 – напряжения на входе и выходе четырехполюсника, I1, I2 – токи на входе и выходе четырехполюсника.

Для случая холостого хода на выходе четырехполюсника система уравнений примет следующий вид:

,

  

IzU

1111

(5.43)

ɺɺ

⋅=

.

IzU

1212

Для случая холостого хода на входе четырехполюсника при его питании со стороны выхода система уравнений примет вид

,

  

IzU

2121

(5.44)

ɺɺ

⋅=

.

IzU

2222

Из первого уравнения (5.43) следует, что z11 совпадает с входным сопротивлением цепи по отношению к зажимам 1-2. Из второго уравнения (5.44) следует, что z22 совпадает с входным сопротивлением цепи по отношению к зажимам 3-4.

При вычислении z11 и z22 учитываем, что пары сопротивлений R1 – R3 и R2 – R4 соединены последовательно, а между собой – параллельно.

RRRR

4231

==

zz

2211

+++

=

RRRR

4321

)84()84()()(

6

=

Ом. (5.45)

8484

+++

Для случая холостого хода на выходе четырехполюсника выразим ток I1 через входное напряжение U1:

U

=

1

. (5.46)

z

11

88

ɺ

I

1

Перечертим схему, показанную на рис. 5.6, чтобы она стала более

R4

ɺ

ɺɺɺ

=

наглядной (рис. 5.7).

1 2 I

1

R1

U

R2

2

1

3 4

I

2

U

R3

Рис. 5.7

Для случая холостого хода на выходе четырехполюсника (см. рис. 5.7) выразим выходное напряжение U2 через входное U1.

Учитываем, что U2 есть разность выходных напряжений двух делителей напряжения R1 – R3 и R2 – R4:

U

R

+

3

RR

3!

=

2

−

R

+

4

RR

42

8

()(

=⋅

84

+

− +

4

U

ɺɺɺ

)

UU

11

48

1

=⋅

. (5.47)

3

Полученные результаты из выражений (5.46) и (5.47) подставим

во второе уравнение в (5.43), тогда

6

11

3

2

====

Ом. (5.48)

3

UU

:

z

U

z

21

2

I

1

Учитываем, что четырехполюсник симметричный. Ответ: z11 = z22 = 6 Ом, z12 = z21 = 2 Ом.

Задачи для самостоятельного решения

1. В схеме четырехполюсника на рис. З5.1

Z

8

Ом,

1

42jZ

Ом.

Определить А-параметры четырехполюсника А11 и А12.

89

ɺ

Z

1

Z

2

Рис. З5.1

2. В четырехполюснике на рис. З5.2 Z = 3 Ом. Вычислить пара-

метр A12 четырехполюсника.

Z

Рис. З5.2

3. В четырехполюснике на рис. З5.3 Z1 = 4 Ом, Z2 = j8 Ом. Опре-

делить входное сопротивление Z2k.

Z

2

Z

1

Рис. З5.3

4. Симметричный четырехполюсник нагружен повторным сопротивлением. Опыты короткого замыкания и холостого хода дали следующие результаты:

100jeU

10

°=60

В,

10jeI

10

°=30

А,

°=30

100

1

k

j

eU

В.

Найти фазовый сдвиг между током и напряжением на входе четырехполюсника.

5. Экспериментально нашли входные сопротивления короткого замыкания и холостого хода симметричного четырехполюсника:

10jeZ Ом и

10

°=90

10

1

k

°=30

j

eZ Ом. Определить параметр A

четырех-

12

полюсника.

90