Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника. Решение типовых задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Решение:
+
=
++=
+
≠
++≠
Ветви с элементами R, L и C в этой цепи параллельны. Для мгновенных значений токов в узлах действует первый закон Кирхгофа:
iii
; (3.11)
324
iiii
. (3.12)
3215
Амперметры показывают действующие значения токов. Они получены с использованием нелинейных операций по отношению к
мгновенным значениям (возведение в квадрат). Первый закон
Кирхгофа для действующих значений тока выполняться не будет, т.е.:
III
; (3.13)
324
IIII
. (3.14)
3215
При сложении токов следует учитывать их сдвиги по фазе относительно друг друга, т.е. складывать как векторы. Векторная диаграмма
токов (рис. 3.6) поможет определить искомые показания амперметров.
В качестве опорного вектора выбираем вектор напряжения Ū, так как
оно одно и то же для параллельно включенных элементов.
Ī1 Ū a b
Ī4
Ī5 d
Ī3
c Ī2
Рис. 3.6
Напряжение и ток на активном сопротивлении совпадают по фазе, поэтому вектор тока через активное сопротивление Ī1 совпадает по
направлению с вектором напряжения (см. рис. 3.6). На индуктивности
вектор тока Ī2 (отрезок bc на рис. 3.6) отстает от вектора напряжения
на 90º. На емкости вектор тока Ī3 (отрезок cd на рис. 3.6) опережает
вектор напряжения на 90º, т.е. направлен встречно вектору Ī2. В соответствии с векторной диаграммой по треугольнику токов аbc
(см. рис. 3.6) вычислим искомые токи:
51
=−=−=+=
=
IIIIII
25
I
5
I
323244
426
А; (3.15)
2
132155
32
222
5)26(3)(
=−+=−+=++== IIIIIIII
А. (3.16)
Ответ: I4 = 4 A, I5 = 5 A.
Задача 3.4. Ваттметр, вольтметр и амперметр, подключенные к
катушке (рис. 3.7), показывают соответственно 125 Вт, 65 В и 5 А.
Частота сети f = 50 Гц. Определить параметры катушки.
I
U
W A
R
V
L
Рис. 3.7
Решение:
Параметры катушки это активное сопротивление провода R и индуктивность обмотки L. Ваттметр измеряет активную мощность Р,
которая в данной цепи целиком рассеивается на активном сопротивлении R. Отсюда
125
P
R Ом. (3.17)
2
5
===
Здесь I – потребляемый цепью ток.
По входному напряжению U и потребляемому току определяем
полное сопротивление цепи переменному току Z:
U
Z Ом. (3.18)
65
52
13
===
Полное сопротивление связано с параметрами катушки соотно-
+
=
ɺ
−
=
ɺ
+⋅+
+
ɺ
ɺ
шением
22
π
)2( LfRZ ⋅⋅⋅+=
, (3.19)
откуда
L
=
22
−
RZ
=
2
⋅⋅
f
π
−
314
25169
038.0
=
Гн. (3.20)
Ответ: L = 0.038 Гн, R = 5 Ом.
Задача 3.5. На входе пассивного двухполюсника заданы комплексы напряжения и тока:
)6080( jU
В и
)724( jI
А. Опреде-
лить параметры схемы замещения этого двухполюсника.
Решение:
Схема замещения может содержать активные и реактивные сопротивления, соединенные между собой последовательно или параллельно (рис. 3.8).
b
R Х
а б
g
Рис. 3.8
Определим комплексное сопротивление Z двухполюсника.
6080
−
j
=
724
j
22
724
+
U
Z +=
==
I
)724()6080(
jj
)2.34.2(
j
Ом. (3.21)
Полученному выражению соответствует схема замещения на
рис. 3.8, а. Здесь последовательно включены активное сопротивление
величиной R = 2.4 Ом и реактивное сопротивление X = 3.2 Ом. Так
как в комплексном сопротивлении мнимая часть входит со знаком
плюс, это индуктивное сопротивление.
53
Определим комплексную проводимость двухполюсника:
−⋅−
−
ɺ
ɺ
=⋅=⋅=
ω
1020314
⋅
⋅=⋅
C
ω
10
−=−
R
724
+
j
=
6080
j
+
22
6080
Y −=
==
U
I
)6080()724(
jj
)2.015.0(
j
См. (3.22)
Полученному выражению соответствует схема замещения на
рис. 3.8, б. Здесь параллельно включены активное сопротивление с
проводимостью g = 0.15 См и реактивное b = 0.2 См. Так как в комплексной проводимости мнимая часть входит со знаком минус, это
индуктивная проводимость.
Ответ: R = 2.4 Ом и X = 3.2 Ом или g = 0.15 См и b = 0.2 См.
Задача 3.6. В цепи на рис. 3.9: R = 10 Ом, L = 0.25 Гн, С = 20 мкФ.
На схему подается напряжение u = 100sin(314t – 30º) В. Определить
мгновенные значения тока и напряжений на элементах.
a b
L R C
Рис. 3.9
Решение:
Определим сопротивления реактивных элементов на переменном
токе:
L
LX
5.7825.0314
Ом; (3.23)
11
X
=
C
=
6
−
2.159
Ом. (3.24)
Вычисляем амплитудное значение тока в цепи:
U
=
I А. (3.25)
m
m
−+
XXR
=
)(
CL
100
23.1
=
2222
−+
)2.1595.78(10
Определим сдвиг по фазе между напряжением и током:
XX
= arctg
arctg
ϕ
CL
54
2.1595.78
−=
9.82
. (3.26)
Мгновенные значения тока и напряжений на элементах:
+=−−=
ϕ
+=++⋅
=
−=−+⋅
=
+=+⋅=
ɺ
5.78jL
j
=
ω
7.80
10
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
m
mLL
mCC
mR
ttIi
ttIXu
ttIXu
ttIRu
)9.52314sin(23.1)30314sin(
А; (3.27)
)9.142314sin(5.96)909.52314sin(
В; (3.28)
)1.37314sin(8.195)909.52314sin(
В; (3.29)
)9.52314sin(3.12)9.52314sin(
В. (3.30)
В выражениях (3.28) и (3.29) учтено, что на индуктивности синусоидальное напряжение опережает ток на угол 90°, на емкости – отстает на угол 90°.
Для решения задачи можно применить комплексный метод расчета. Подготовим исходные данные к расчету комплексным методом.
Расчет ведем в амплитудных значениях тока и напряжений.
Комплекс входного напряжения:
30
j
−
−=−+−==
)506.86()]30sin()30[cos(100100
jeU
В. (3.31)
Комплекс индуктивного сопротивления:
1
плекс емкостного сопротивления:
jCj−=
ω
Комплексы тока и напряжений на элементах цепи:
506.86
−
j
jj
−+
2.1595.7810
3.1223.110
eeIRU ⋅=⋅⋅=⋅=
=
U
R
L
1
ω
U
=
jXjXR
−+
+
CL
jj
+⋅−
22
)7.8010()506.86(
ω
ɺɺ
Cj
ɺ
I
=
C
Ом, ком-
2.159
Ом.
=
(3.32)
9.52
j
=+=
9.529.52
jj
5.9623.15.78
8.19523.12.159
⋅=⋅⋅−=⋅=
ej
В; (3.33)
9.1429.52
jj
eejILjU ⋅=⋅⋅=⋅=
1.379.52
jj
−
eejI
;23.198.074.0
В; (3.34)
В. (3.35)
55
Для перехода от комплексных токов и напряжений к мгновенным
+
=
+
=
−
=
+
=
U
ɺ
I
ɺ
⋅
R
⋅
R
значениям комплексы удобно представить в показательной форме. В
этом случае модуль комплексного числа равен амплитуде синусоидального тока или напряжения, а аргумент – начальной фазе.
Ответ:
C
ti
tu
)1.37314sin(8.195
В, )9.52314sin(3.12
R
)9.52314sin(23.1
А,
L
tu
В.
tu
)9.142314sin(5.96
В,
Задача 3.7. В схеме на рис. 3.10 сдвиг фаз между напряжением и
током составляет 60º при условии, что ключ разомкнут. Определить
сдвиг фаз между напряжением и током φ1, когда ключ замкнут.
R
L
L
Рис. 3.10
Решение:
В этой цепи активные и реактивные элементы включены последовательно. Сдвиг фаз между напряжением и током φ может быть
определен по соотношению сопротивлений элементов цепи на переменном токе:
ϕ
=
arctg
X
L
=
60
. (3.36)
2
Здесь XL – сопротивление индуктивности L переменному току. В
(3.36) учтено, что последовательно включены две одинаковые индуктивности. Из (3.36) следует:
2
)( ==
tg
ϕ
=
X
L
tg
732.1)60(
. (3.37)
56
При замыкании ключа числитель дроби и тангенс угла сдвига фаз
8
T
φ1 между напряжением и током уменьшаются в два раза, т.е.
φ1 = arctg(0.866) = 41º.
Ответ: φ1 = 41º.
Задача 3.8. На рис. 3.11 приведена осциллограмма напряжения.
Масштаб по оси времени – 1 с, по оси напряжения – 2 В. Определить
действующее значение напряжения.
u, В
t, c
Рис. 3.11
Решение:
Напряжение, представленное на рис. 3.11, периодическое, период
равен 8 с. Определим величину действующего напряжения по стандартному выражению:
2222
2022242101
⋅+⋅+⋅+⋅
=
47.5
В. (3.38)
U
T
2
==
dtu
∫
0
В (3.38) учтено, что интеграл вычисляется для кусочнопостоянной функции. Сигнал на периоде разбит на отрезки, в пределах которых значение функции неизменно. Площади этих фрагментов
суммируются.
Ответ: действующее значение напряжения равно 5.47 В.
57
E
ɺ
ɺ
83.2jeJ⋅
=
E
1
0
ɺ
−
−
ɺɺɺɺɺ
ɺ
ɺ
ɺ
−
−=−
E
ɺ
E
1
0
Задача 3.9. В схеме на рис. 3.12 дано:
= 100 В,
45
А,
R1 = R2 = 50 Ом, XL = j25 Ом. Определить ток источника ЭДС и
напряжение на источнике тока.
R1 R2 L
I1 I2 I3
J
Рис. 3.12
Решение:
Допустим, на источнике тока падает комплексное напряжение
Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла:
Отсюда
U
10
R
jUj
1.797525
R
ɺ
UE
1
10
ɺɺɺɺɺ
+=−−+
JIIIJ
321
ɺɺ
UU
1010
2550
j
10
U
10
2
j
ejU ⋅=+=
10
X
L
.0304.0
=+−⋅⋅=−−
71
В.
83.2
e
100
45
j
+⋅=−−
50
U
10
−
(3.39)
Ток источника ЭДС:
7525100
UE
R
10
1
50
ɺ
I
=
1
j
12.25.15.1
45
j
−
ej
⋅=−=
А. (3.40)
Ответ: 79.1 В и 2.12 А.
U
.
10
Задача 3.10. В схеме на рис. 3.13 дано:
= 173.2 В, R1 = 10 Ом,
R2 = 20 Ом, XС = -j11.55 Ом. Определить токи и напряжения на элементах цепи.
R1 R2 С
I1 I2 I3
Рис. 3.13
58
Решение:
ɺ
ɺ
ɺ
ɺɺɺ
ɺ
ɺɺɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Воспользуемся методом узловых потенциалов. Запишем уравнение для узлового напряжения
ɺ
U
10
U
ɺ
1
(
10
10
U
:
10
(
111
XRR
C
1
1
++⋅
20
−
j
100jeU
10
⋅=
E
)
=++⋅
; (3.41)
R
121
)
=
55.11
30
−
10
. (3.43)
Определяем токи и напряжения на элементах цепи:
R
1
ɺ
I ⋅=
10
U
ɺ
I ⋅=
1
R
U
2
10
X
C
ɺ
I
3
U
R
R
1
1
==
10
==
RC
100
2
100
2
−
==
10
e
⋅
j
100
⋅
10
e
j
−
55.11
⋅
20
30
j
30
−
e
100
30
j
−
10
⋅===
1001002.173
30
j
e
А; (3.45)
30
j
−
eUUU
В; (3.46)
60
66.8
j
e
30
j
−
5
e
⋅=
2.173
; (3.42)
3030
jj
eeUEU ⋅=⋅−=−=
В; (3.44)
А; (3.47)
А. (3.48)
30
А,
100
RC
2
30
j
−
eUU
⋅==
В,
Ответ:
2
30
100
R
1
60
66.8
j
eI ⋅=
А,
5jeI
3
j
eU ⋅=
В,
30
−
⋅=
А.
10jeI ⋅=
1
Задачи для самостоятельного решения
1. Активное сопротивление катушки равно 10 Ом, ее индуктивность – 0,05 Гн. Катушка подключена к источнику синусоидального
напряжения 120 В, 50 Гц.
Определить полное сопротивление катушки переменному току.
2. Последовательно соединены сопротивление 120 Ом и конденсатор 30 мкФ. К цепи подведено напряжение 311Sin(314t + 37º) B.
Определить действующее значение тока в цепи.
59
3. Для схемы на рис. З3.1 дано: I1 = 4 A, I2 = 7 A, I3 = 4 A,
U = 100 B.
Определить ток в неразветвленной цепи.
I
A2 A1 A3
U
V
I1 I2 I3
R
L C
Рис. З3.1
4. Записать комплекс сопротивления в алгебраической форме для
последовательно соединенных элементов L = 0,85 Гн, C = 30 мкФ,
R = 12 Ом на частоте 50 Гц.
5. На последовательную RL-цепь подали синусоидальное напря-
жение 220 В. На элементе R падает напряжение 120 В.
Определить величину напряжения на элементе L.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]