Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника. Решение типовых задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
4. РЕЗОНАНС В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
8
Для успешного решения предлагаемых задач студент должен
освоить следующие разделы программы: установившийся синусоидальный ток в линейных электрических цепях, резонанс токов, резонанс напряжений.
Необходимая информация имеется в учебниках и задачниках по
электротехнике [3-8].
Задача 4.1. Цепь с элементами RLC, соединенными последовательно (рис. 4.1), имеет активно-индуктивный характер и подключена
к источнику синусоидального напряжения с частотой ω.
Z1 Z2 Z3 a b c
Рис. 4.1
С помощью осциллографа были получены графики напряжений в
точках a, b и c схемы относительно общей точки (рис. 4.2). Действующие значения напряжений, представленных на рис. 4.2: U1 = 3 В,
U2 = 5 В, U3 = 5 В.
6
4
2
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
-2
-4
Напряжение, В
-6
-8
Время, с
U1
U2
U3
Рис. 4.2
Информация о порядке размещения элементов RLC в схеме и соответствии осциллограмм точкам схемы не предоставлена. Цепь подбором частоты ω вводится в режим резонанса, определить напряжение на емкости.
61
Решение:
Сначала определим порядок размещения элементов RLC в схеме
так, чтобы напряжения в точках a, b и c в ней соответствовали набору
осциллограмм. Количество возможных способов размещения элементов RLC в цепи равно числу расстановок из трех элементов по три,
т.е. 3! = 6. Будем анализировать векторные диаграммы напряжений
для каждой комбинации соединения элементов RLC, сопоставляя их с
набором осциллограмм.
Допустим, элементы RLC соединены так, как представлено на
рис. 4.3.
R L C a b c
Рис. 4.3
По условию цепь имеет активно-индуктивный характер, при последовательном подключении напряжение на индуктивности в этом
случае больше, чем на емкости. Напряжения в точках b и c схемы на
рис. 4.3 должны быть противофазны, а если поменять местами элементы L и C, то напряжения в точках b и c совпадут по фазе. Таких
графиков на рис. 4.2 нет.
Рассмотрим следующий вариант (рис. 4.4).
С R L a b c
Рис. 4.4
Этой комбинации элементов RLC с учетом активно-индуктивного
характера цепи соответствует векторная диаграмма на рис. 4.5.
0
a b
Рис. 4.5
62
c
Вектор 0b опережает вектор 0a на угол, меньший 90º, вектор 0с
опережает вектор 0b также на угол, меньший 90º. Вектору 0с в этом
случае должна соответствовать осциллограмма U2 на рис. 4.2, вектору 0b – U1. На рис. 4.5 0с – катет, который меньше гипотенузы 0b, а
U2 > U1, следовательно, набор осциллограмм схеме на рис. 4.4 не соответствует.
Допустим, элементы RLC соединены так, как представлено на
рис. 4.6.
L R C a b c
Рис. 4.6
Этой комбинации элементов RLC с учетом активно-индуктивного
характера цепи соответствует векторная диаграмма на рис. 4.7.
a b
0
Рис. 4.7
c
Векторам 0с и 0b могут соответствовать графики напряжений U1
и U2 на рис. 4.2, тогда график напряжения U3, чтобы соответствовать
вектору 0a, должен опережать U1 на угол в пределах 90º ÷ 180º, но
этого на рис. 4.2 нет.
Рассмотрим следующий вариант (рис. 4.8).
С L R a b c
Рис. 4.8
Этой комбинации элементов RLC с учетом активно-индуктивного
характера цепи соответствует векторная диаграмма на рис. 4.9.
63
=⋅=
b
a
0
c
Рис. 4.9
Соотношение модулей векторов 0b, 0a, 0с здесь не соответствует
соотношению амплитуд сигналов U2, U1, U3.
Последний вариант представлен на рис. 4.10.
L C R a b c
Рис. 4.10
Этой комбинации элементов RLC с учетом активно-индуктивного
характера цепи соответствует векторная диаграмма на рис. 4.11.
a
0
c
b
Рис. 4.11
Здесь обеспечено соответствие: 0с – U1, 0b – U3, 0a – U2.
UR = U1 = 3 В. Входным для цепи является напряжение U2 = 5 В.
По векторной диаграмме определяем напряжения на емкости и
индуктивности:
22
C
UU В. (4.2)
82
CL
492513
=−=−= UUU
В; (4.1)
Для частоты ω сопротивления реактивных элементов и напряжения на них соотносятся следующим образом:
X
X
U
U
L
C
L
C
ω
2
2
=== LC
. (4.3)
64
При резонансе это соотношение должно быть равным 1, т.е. ча-
2
2
3
1
U
стоту следует уменьшить в
раз. Входное напряжение 5 В будет
приложено к активному сопротивлению и ток в цепи возрастет в
U2/U1 = 5/3 = 1.66 раз. Одновременно реактивное сопротивление ем-
кости возрастет в
раз. Таким образом, напряжение на емкости при
резонансе UC0:
2
U В. (4.4)
U
0
2
U
5
42.942
CC
=⋅⋅=⋅⋅=
Ответ: UC0 = 9.42 В.
Задача 4.2. Цепь на рис. 4.12, состоящая из катушки и конденсатора, подключена к источнику синусоидального напряжения 40 В и
работает в резонансном режиме. На конденсаторе напряжение равно
110 В. Определить напряжение на катушке.
a
R L
b
C
Рис. 4.12
Решение:
Схема замещения катушки – последовательное включение активного сопротивления и индуктивности (см. рис. 4.12). В резонансном
режиме в последовательном контуре напряжение на активном сопротивлении равно входному, т.е. UR = 40 В. Напряжение на емкости
(конденсаторе) при резонансе равно напряжению на индуктивности,
т.е. UL = 110 В. Напряжения на активном и реактивном сопротивлениях катушки сдвинуты по фазе на 90º, векторная диаграмма приведена на рис. 4.13.
ŪL Ūк
Ī ŪR
Рис. 4.13
65
Находим напряжение на катушке из треугольника напряжений
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
=
ɺ
(рис. 4.13):
2222
UUU
LRк
=+=+=
04.11711040
В. (4.5)
Ответ: Uк = 117.04 В.
Задача 4.3. Последовательная RLC-цепь подключена к источнику
синусоидальной ЭДС. Угловая частота равна ω. Векторная диаграмма
напряжений для этой цепи приведена на рис. 4.14. Сторона клетки
соответствует одному вольту.
U
U
2
U
3
4
U
1
Рис. 4.14
Найти угол сдвига между током и напряжением питания в исходном режиме.
Как следует изменить угловую частоту источника питания, чтобы
в цепи получить резонансный режим?
Каким будет напряжение на активном сопротивлении в режиме
резонанса?
Решение:
На векторной диаграмме напряжений не обозначено, какому элементу цепи какой вектор соответствует. Установим связь между элементами RLC-цепи и векторами на диаграмме.
Рассмотрим поочередно различные варианты распределения векторов по элементам цепи. При этом учитываем, что векторы напряжений на емкости
U
и индуктивности
C
U
должны быть направлены
L
встречно и ортогональны вектору напряжения на активном сопротивлении
U
1
U
.
R
Допустим,
UU
1
R
. Вариант отклоняем.
, но на диаграмме нет вектора, ортогонального
66
Допустим,
ɺ
ɺ
=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
2
UU
, но тогда имеется вектор
2
R
U
, противоположно
4
направленный вектору
U
, в последовательной RLC-цепи такого быть
R
не может. Вариант отклоняем.
Допустим,
ния:
U
2
и
на 90º, т.е.
U
.
U
4
C
UU
. Этому вектору ортогональны два напряже-
3
опережает
2
UU
R
. Вектор
4
U
на 90º, т.е.
3
U
соответствует входному напряжению.
1
UU
.
U
L
2
отстает от
4
U
3
Сетка позволяет определить напряжения на элементах цепи в исходном состоянии: U1 = 5 В, UR = 4 В, UL = 3 В, UC = 6 В.
Ток и напряжение на активном сопротивлении совпадают по фазе. Угол сдвига между током и напряжением питания равен углу
сдвига между напряжением питания и напряжением на активном сопротивлении. Совместим начала векторов, изображающих эти напряжения (рис. 4.15).
U
3
U
1
Рис. 4.15
Угол φ между векторами
U
и
3
U
равен углу сдвига между током
1
и напряжением питания.
ϕ
U
U
3
1
arccosarccos
4
5
−=−=−=
. (4.6)
8.36
Углу приписан отрицательный знак, так как в цепи ток опережает
напряжение.
Для частоты ω сопротивления реактивных элементов и напряжения на них соотносятся следующим образом:
X
X
U
L
U
C
U
U
2
4
L
C
2
ω
5.0
==== LC
. (4.7)
При резонансе это соотношение должно быть равным 1, т.е. частоту следует увеличить в
раз.
67
В режиме резонанса напряжение на активном сопротивлении
2
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
равно напряжению питания, т.е. 5 В.
Ответ: сдвиг фаз между напряжением и током равен -36.8º, частоту следует увеличить в
раз для обеспечения режима резонанса, в
режиме резонанса напряжение на активном сопротивлении равно 5 В.
Задача 4.4. Параллельная RLC-цепь с идеальными элементами
подключена к источнику синусоидальной ЭДС. Угловая частота равна ω. Векторная диаграмма токов для этой цепи приведена на
рис. 4.16. Сторона клетки соответствует одному амперу.
I
I
1
2
I
3
I
4
Рис. 4.16
Определить добротность контура при вводе цепи в режим резонанса настройкой частоты ω входного напряжения.
Решение:
На векторной диаграмме токов не обозначено, какому элементу
цепи какой вектор соответствует. Установим связь между элементами
RLC-цепи и векторами на диаграмме.
Рассмотрим поочередно различные варианты распределения векторов по элементам цепи. При этом учитываем, что векторы токов
емкости İC и индуктивности İL должны быть направлены встречно и
ортогональны к вектору тока на активном сопротивлении İR.
Допустим, İ1 = İR, но на диаграмме нет вектора, ортогонального
İ
. Вариант отклоняем.
1
Допустим, İ2 = İR, но тогда имеется вектор İ4, противоположно
направленный вектору İR, в параллельной RLC-цепи такого быть не
может. Вариант отклоняем.
Допустим, İ3 = İR. Этому вектору ортогональны два тока: İ2 и İ4. İ2
опережает İ
на 90º, т.е. İС = İ2. İ4 отстает от İ3 на 90º, т.е. İL = İ4. Вектор İ1
3
68
соответствует входному току. Сетка позволяет определить токи на эле-
2
2
ментах цепи в исходном состоянии: I1 = 5 А, IR = 4 А, IL = 6 А, IC = 3 А.
Для частоты ω проводимости реактивных элементов bL, bC и токи
через них соотносятся следующим образом:
b
b
I
C
I
L
I
C
L
2
I
4
ω
2
5.0
==== LC
. (4.8)
При резонансе это соотношение должно быть равным 1, т.е. частоту следует увеличить в
раз.
При резонансе добротность параллельной цепи с идеальными
элементами можно вычислить по следующим соотношениям:
Q ====
b
g
b
g
I
I
I
LCL
R
C
. (4.9)
I
R
Здесь g – активная проводимость. Ток через ветвь с активным сопротивлением при резонансе не изменится, а, например, ток через ем-
кость увеличится в
раз, таким образом:
Q
=
⋅
I
2
I
3
=
⋅
06.1
=
. (4.10)
4
232
Ответ: Q = 1.06.
Задача 4.5. Катушка индуктивности подключена к источнику синусоидального напряжения. На ее активном сопротивлении падает
напряжение 4sin(ωt – 7º) В, на реактивном – 16sin(ωt + 83º) В. Цепь
вводится в резонансный режим подключением конденсатора необходимой емкости: а – параллельно катушке, б – последовательно катушке. Определить добротность контура в обоих случаях.
Решение:
На рис. 4.17 показана электрическая цепь с последовательным
включением катушки и конденсатора.
69
4
KKRXR
−
a
R L
b
C
Рис. 4.17
Активное сопротивление R и индуктивное сопротивление XL катушки на схеме замещения включаются последовательно. Активное и
реактивное сопротивления в катушке пропорциональны падающим на
них напряжениям. С учетом исходных данных можно записать:
R = 4К, XL = 16К, где К – положительное действительное число.
При последовательном подключении конденсатора к катушке
может возникать резонанс напряжений в цепи. При этом емкостное
сопротивление XС в цепи равно индуктивному XL.
Добротность последовательного резонансного контура:
Q
X
16
CL
4
====
. (4.11)
На рис. 4.18 показана электрическая цепь с параллельным включением катушки и конденсатора.
a b
R L
C
Рис. 4.18
При таком включении возможен резонанс токов, когда реактивные индуктивная bL и емкостная bC проводимости равны и компенсируют друг друга. Получим выражения для активной g и реактивной bL
проводимостей катушки по ее комплексной проводимости:
KjK
+
164
25616
22
jbgY
=−=
L
+
164
=
KjK
1
4
272
−=
KKK
j
16
272
См. (4.12)
K
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]