Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника. Решение типовых задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Добротность параллельного резонансного контура:
⋅=⋅
=
ω
ω
25
+
ω
ω
042.02=
+
ω
202−
=
ω
Q
b
b
CL
g
16
272
:
4
272
4
====
. (4.13)
KKg
Ответ: Q = 4.
Задача 4.6.
R
1
С
U
L
R2
Рис. 4.19
Определить резонансную частоту для цепи на рис. 4.19 с параметрами R1 = 5 Ом, R2 = 15 Ом, L = 1 Гн, С = 0.2 Ф.
Решение:
В цепи может происходить резонанс токов. При этом равны по модулю емкостная и индуктивная проводимости. Емкостная проводимость:
C
Cb
2.0
См. (4.14)
Индуктивную проводимость определим по мнимой части комплексной проводимости ветви R1L:
Im
−
1
ω
+
1
ω
=
LjR
b
L
Im
=
1
+
1
ω
LjR
LR
ω
−=
25)(
+
См. (4.15)
222
ω
Здесь ω – угловая частота. Составляем уравнение относительно
реактивных проводимостей:
2.0
−=+
bb ; (4.16)
LC
ω
0
=
2
; (4.17)
. (4.18)
71
Выражение (4.18) дает мнимое значение для угловой частоты.
⋅
>
0
999995
.0102.
026=−⋅
⋅
ω
2236
=
ω
8.0
I
⋅⋅⋅
π
Это значит, что при заданном наборе параметров цепи нельзя подобрать такую частоту, чтобы реализовать резонансный режим. Из
(4.16) следует, что для реализуемости резонанса должно выполняться
следующее соотношение:
2
CRL
. (4.19)
1
Зафиксировав значение двух параметров, можно определить величину третьего. Например, неравенство (4.19) удовлетворяется при
С = 0.2 мкФ. Тогда уравнение (4.17) примет вид:
−
; (4.20)
. (4.21)
Решение существует.
Ответ: При заданном наборе параметров цепи резонанс нереализуем.
Задача 4.7. Последовательная RLC-цепь имеет добротность
Q = 5.1 на резонансной частоте f = 100 кГц. Цепь потребляет от ис-
точника синусоидального напряжения мощность P = 100 Вт при токе
I = 0.8 А. Найти параметры этой цепи.
Решение:
Активная мощность Р рассеивается на активном сопротивлении
R. Найдем величину этого сопротивления при заданных токе и мощ-
ности:
P
R Ом. (4.22)
100
156
===
22
Добротность для последовательного резонансного контура определяется следующим образом:
Q
=
Lf
=
2
72
π
12
. (4.23)
RCfR
⋅⋅⋅⋅
Выражение (4.23) позволяет вычислить величину индуктивности
⋅
⋅
25
2jeZ⋅
=
12
3je
Z−⋅
=
12
25
3
2
e
eeeZ
Z
⋅+⋅
+
231123
ZZZ+=
и емкости в цепи:
1561.5
10000014.32
⋅⋅
1
1561.510000014.32
⋅⋅⋅⋅
3
−
1026.1
⋅=
Гн; (4.24)
9
−
1001.2
⋅=
Ф. (4.25)
C
=
RQ
L
=
2
π
=
⋅⋅
f
1
=
2
π
⋅⋅⋅⋅
RQf
Ответ: R = 156 Ом, L = 1.26 мГн, C = 2.01 нФ.
Задача 4.8. В цепи на рис. 4.20 даны комплексы сопротивлений
30
,
40
, частота источника питания f = 50 Гц.
a
Z1
Z2 Z3
Рис. 4.20
Определить параметры двухполюсника Z1, для обеспечения резонансного режима работы цепи.
Решение:
В резонансном режиме комплексное сопротивление заданной цепи между общей шиной и выводом а должно иметь нулевую мнимую
часть. Определим эквивалентное сопротивление для параллельных
ветвей 2 и 3:
4030
jj
Z
23
=
32
ZZ
⋅
1225
=
−
⋅⋅⋅
4030
jj
−
8.18
j
−
−=⋅=
1.31.961.9
je
Ом. (4.26)
Входное сопротивление всей цепи:
. (4.27)
73
Комплекс сопротивления Z1 должен содержать мнимую часть
{
}
−
2
ω
−
+j3.1, тогда комплекс входного сопротивления Z123 не будет содержать мнимой части. Таким образом, двухполюсник Z1 должен быть
или чисто индуктивным, или содержать последовательно включенные активное сопротивление и индуктивность. В составе Z1 должна
быть индуктивность:
L
=
23Im
Z
=
2
⋅⋅
f
π
1.3
0098.0
=
5014.32
⋅⋅
Гн. (4.28)
Ответ: в составе двухполюсника должна быть индуктивность
0.0098 Гн.
Задача 4.9. Для цепи, представленной на рис. 4.21, заданы комплексные сопротивления элементов: R = 1 Ом, XL = jω Ом,
XC = -j/2ω Ом. Здесь ω – угловая частота.
a
L
R C
Рис. 4.21
Определить частоту резонанса.
Решение:
При резонансе комплекс входного сопротивления цепи Zвх имеет
нулевую мнимую часть.
j
+
2
j
ω
+
41
⋅
XR
+
C
XR
C
+=
XZ
Lвх
ω
j
2
+=
ω
ω
−=
j
j
1
−
74
+
1
; (4.29)
22
41
ωω
{ }
4
1
+
ω
ω
4
1025005
.014.3
212
LC
0036
.
0
I
1.11111
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
RLfR
π
ω
Im
Z ; (4.30)
вх
2
−=
ω
1
5.0,
==
ωω
0
=
2
. (4.31)
Ответ: ω = 0.5 рад/с.
Задача 4.10. Конденсатор емкостью 25 мкФ и катушка индуктивностью 5 мГн соединены последовательно и подключены к источнику синусоидального напряжения 40 В. Цепь работает на частоте резонанса и потребляет ток 3.6 мА. Определить частоту резонанса, сопротивление провода катушки, добротность катушки.
Решение:
Определяем резонансную частоту для заданного последователь-
2
ного контура:
1
=
f
0
π
⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅
=
6
−
2.450
Гц. (4.32)
В резонансном режиме напряжение питания последовательного
контура U равно напряжению на активном сопротивлении UR.
U
R
40
===
1.11111
Ом. (4.33)
Добротность катушки составляет
Q
L
==
0
005.02.45014.322
3
−
1028.1
⋅=
. (4.34)
Ответ: f0 = 450.2 Гц, R = 11111,1 Ом, Q = 1.28·10-3.
75
Задачи для самостоятельного решения
ɺ
ɺ
ɺ
1. При каких значениях сопротивления R2 в цепи на рис. З4.1
возможен резонансный режим? Дано: С = 50 мкФ, L = 0.25 Гн,
R1 = 30 Ом.
R
2
L
U
R
С
1
Рис. З4.1
2. Определить емкость, при которой резонанс в цепи на рис. З4.2
происходит на частоте 150 Гц. Параметры цепи: R1 = 11 Ом,
R2 = 15 Ом, L = 0.1 Гн.
R
1
С
U
R2
L
Рис. З4.2
3. На рис. З4.3 приведена векторная диаграмма напряжений для
RC-цепи.
U
1
U
3
U
2
Рис. З4.3
76
Масштаб клетки 1 В. Параллельно исходной цепи подключают
индуктивность L, реализуется резонансный режим. Найти добротность контура.
4. Последовательная RLC-цепь в режиме резонанса при
ω0 = 50 рад/с и Q = 80 потребляет от источника питания 100 В ток
10 А. Определить ее параметры.
5. На последовательную цепь RС подается синусоидальное
напряжение с угловой частотой ω. Комплексы напряжений на элементах цепи: 1 В, -j10 В. Последовательно с элементами RС включа-
ют индуктивность L. В результирующей цепи реализуется резонансный режим. Найти добротность контура.
77
5. ЛИНЕЙНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
⋅+⋅
=
ɺɺɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
=⋅=⋅=
ɺ
ɺ
−=⋅−+⋅+
=
ɺ
Для успешного решения предлагаемых задач студент должен
освоить следующие разделы программы: установившийся синусоидальный ток в линейных электрических цепях, линейные четырехполюсники.
Необходимая информация имеется в учебниках и задачниках по
электротехнике [3-8].
Задача 5.1. Пассивный линейный четырехполюсник с параметрами: A11 = (2 + j), A12 = (3 – j2) Ом, A21 = (1 + j2) См, A22 = 4 подключен
к индуктивной нагрузке. Через индуктивное сопротивление
XL = 10 Ом идет синусоидальный ток 200 мА. Вычислить величину
входного тока и напряжения.
Решение:
Параметры четырехполюсника в условии задачи приведены для
системы уравнений в форме А:
,
Здесь
,II
– токи на входе и выходе четырехполюсника.
21
,UU
– напряжения на входе и выходе четырехполюсника,
21
IAUAU
2122111
(5.1)
ɺɺɺ
⋅+⋅=
.
IAUAI
2222211
Вычислим комплекс выходного напряжения:
22.010
jjIjXU
22
L
В. (5.2)
По первой строке системы уравнений определим комплекс входного напряжения:
1
Его действующее значение:
jjjjU
1
78
4.16.32.0)23(2)2(
В. (5.3)
22
86.36.34.1
=+=U
В.
По второй строке системы уравнений определим комплекс вход-
−=⋅+⋅+=
ɺ
=
=
ного тока:
1
Его действующее значение:
jjjI
1
2.322.042)21(
А. (5.4)
22
77.322.3
=+=I
А.
Ответ:
U
1
86.3
В,
I
1
77.3
А.
Задача 5.2. Пассивные одинаковые линейные четырехполюсники
с параметрами: A11 = (2 + j), A12 = (3 – j2) Ом, A21 = (1 + j2) См, A22 = 4
соединены, как показано на рис. 5.1. Определить параметры эквивалентного четырехполюсника.
I
1
U
1
1
2
I
U
2
2
Рис. 5.1
Решение:
Представленное на рис. 5.1 соединение четырехполюсников
называется каскадным. Если использовать матричную форму записи
уравнений четырехполюсника, то матрица эквивалентного четырехполюсника равна произведению матриц исходных четырехполюсников, включенных каскадно.
Запишем матрицу исходного четырехполюсника:
A
AA
=
)(
1211
AA
2221
=
+
j
−+
232
jj
. (5.5)
421
79
Матрица эквивалентного четырехполюсника:
=
−
=
=
=⋅−
⋅
+=+
ɺɺɺ
⋅+⋅⋅+⋅
AAAAAAAA
2212121121121111
; (5.6)
⋅+⋅⋅+⋅
AAAAAAAA
2222211222212111
920810
. (5.7)
423134
A
2
=
)(
2
−+
232
jj
+
j
421
=
−+
jj
++
jj
Ответ: параметры эквивалентного четырехполюсника:
A
= (10 + j8), A
11Э
= (20 – j9) Ом, A
12Э
= (4 +j13) См, A
21Э
= (23 + j4).
22Э
Задача 5.3. На рис. 5.2 представлена схема Т-образного четырехполюсника. Определить его А-параметры, если
100
jZ
2
Ом, 200
AAAA .
1
21122211
jZ
3
Ом. Проверить соотношение
Z
100
1
Ом,
Z
1
Z
Z
2
3
Рис. 5.2
Решение:
Система уравнений четырехполюсника по форме А приведена в
(5.1). Рассмотрим работу четырехполюсника на холостом ходу, в
этом случае I2 = 0. Из первого уравнения системы (5.1) получим:
200100
200
j
j
5.01
j
−=
. (5.8)
A
U
+
U
1
ɺ
1
ZZ
31
=
Z
⋅
3
U
1
11
U
==
2
xx
Z
ZZ
31
3
Здесь учтено, что сопротивления Z1 и Z3 образуют делитель
напряжения, с выхода которого снимается напряжение U
. Из вто-
2xx
рого уравнения:
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]