Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Задачный кейс. Учебно-методическое пособие.pdf
71
12 31
2
38 10
2 8,85 10 9 10
2,5 10
1,6 10 10
−−
−
−
⋅ ⋅ ⋅⋅
= ≈⋅
⋅⋅
l v
= =
y
F eE
a
mm
м.
Ответ: l = 2,5 см.
Задача 18
Электрон (m = 9,1∙10
–31
кг, e = −1,6∙10
душный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 10
–19
Кл) влетает в плоский воз-
6
м/с.
Длина конденсатора 1 см, напряженность электрического поля в нем
5 кВ/м. Найти модуль и направление скорости электрона при вылете
его из конденсатора и смещение его по оси у.
Решение
Сила тяжести, действующая на электрон, равна
F
= mg = 9,1∙10
т
–30
Н,
а кулоновская сила:
F
= eE = 8∙10
К
–16
Н.
Кулоновская сила много больше силы тяжести, поэтому можно
считать, что движение электрона происходит только под действием
одной кулоновской силы, т. е. она является равнодействующей силой
F, направленной вертикально вниз.
Ускорение электрона по оси y равно
− по второму закону Ньютона.
72
По оси х электрон движется равномерно. Траектория движения
0
=lt
v
22
= +
xy
v vv
0
=
x
vv
0
= = ⇒
yy
eEl
at
mvv
2
2
0
0
= +
eEl
m
vv
v
2
0
arctg arctgα= =
y
x
eEl
m
v
v
v
2
2
19 3 2
12 6
31 6
1,6 10 5 10 10
10 8,7 10
9,1 10 10
−−
−
⋅ ⋅⋅ ⋅
=+=⋅
⋅⋅
v
19 3 2
31 12
1,6 10 5 10 10
arctg arctg8,79 84
9,1 10 10
−−
−
⋅ ⋅⋅ ⋅
α= = ≈
⋅⋅
19 3 4
2
31 12
1,6 10 5 10 10
4,4 10
9,1 10 10
−−
−
−
⋅ ⋅⋅ ⋅
∆= = ⋅
⋅⋅
y
6
8,7 10= ⋅v
84α≈
2
4,4 10
−
∆= ⋅y
электрона – парабола, ветви которой направлены вниз. Время, в тече-
ние которого электрон пролетает между пластинами, равно
Скорость электрона в любой точке траектории направлена по каса-
тельной и равна
, где
,
.
Угол между вектором скорости и осью х определяется по формуле
.
Смещение электрона вдоль оси y:
2
at
∆= = =
y
y
22
eE l eEl
v
m
0
2
.
2
v
2
m
0
Вычислим искомые величины по полученным формулам:
м/с;
.
Ответ:
м/с;
м.
;
;
м.
73
Задача 19
y
v
2y
ty=v
Ускоряющее напряжение в электронно-лучевой трубке U
= 1,5 кВ,
х
расстояние от отклоняющих пластин до экрана осциллографа L = 30 см.
На какое расстояние сместится пятно на экране осциллографа при подаче на горизонтальные отклоняющие пластины напряжения U
= 20 В?
y
Расстояние между пластинами d = 0,5 см, длина пластин l = 2,5 см.
Решение
Выберем систему отсчета, направив оси Ох и Оу так, как показано
на рисунке.
По оси Ох движение электронов равномерное. Так как длина пластин
невелика по сравнению с расстоянием до экрана, будем считать, что отклонением луча от горизонтального направления за время прохождения
расстояния, равного длине отклоняющих пластин, можно пренебречь. Но
за время движения между пластинами электрон обретает вертикальную
составляющую скорости, значение которой к моменту выхода из пластин
равно
. После выхода из пространства между отклоняющими пласти-
нами электрон проходит до экрана расстояние L равномерно и одновременно за тот же промежуток времени t
смещается вверх по оси Оy тоже
2
равномерно. Составим систему уравнений, необходимую для решения
задачи, связав между собой физические величины, обозначенные на рисунке, с величинами, указанными в условии задачи.
F
= E·е – сила, действующая на электрон при движении между пла-
y
стинами.
74
1
=
x
l
t
v
и
2
=
x
L
t
v
=
y
y
F
a
m
1yy
at=v
=
y
U
E
d
=xA eU
2
2
=
x
mAv
2 12
2
22
yy y
yy
xx
x
eU lL eU lLm U lL
y t a tt
md eU dU
mdv
= = = = =v
2
2
33
20 2,5 10 0.30
10
2 5 10 1,5 10
−
−
−
⋅⋅ ⋅
= =
⋅⋅ ⋅ ⋅
y
ε
– промежутки времени движении между пласти-
нами и после выхода из них;
и
– проекции ускорения и скорости по оси Оy;
– напряженность электрического поля между пластинами;
и
– работа ускоряющего электрического поля.
Решим полученную систему уравнений:
.
Подставляем значения физических величин из условия задачи:
м.
Ответ: l = 1 см.
Задача 20
Плоский воздушный конденсатор частично погружен в жидкость с
диэлектрической проницаемостью
и плотностью ρ. Через разомкну-
тый ключ К к пластинам конденсатора подведена батарея, которая создает между пластинами конденсатора разность потенциалов U. Внутреннее сопротивление батареи и соединительных проводов мало.
Пренебрегая вязкостью жидкости и капиллярными
явлениями, определите максимальную высоту
подъема жидкости в конденсаторе после замыкания ключа.
Решение
Диэлектрическая жидкость в электрическом
поле конденсатора поляризуется. Так как у краев
пластин конденсатора электрическое поле неодно-
75
родное, то жидкость начинает втягиваться в область более сильного
.=A qU
кп
=∆ +∆AW W
2 22 2
0
00
()
2 22 2
∆
∆= − = − = − =
h
hh
CU CU U U C
WW W C C
1
()= −S aH h
2
=S ah
ε
0 000 00 0
00
0
( ) ( 1)
( 1) ( 1)
,
ε − εε ε − ε + εε ε ε ε −
= += =+ =
ε ε− ε ε−
= + ⇒∆ =
h
a H h ah aH ah ah aH ah
C
dd d dd
ah ah
CC
dd
22
0
к
( 1)
22
∆ ε ε−
∆= =
CU U ah
W
d
2
к
()
22 2
mgh dah hg dah g
W
ρρ
∆= = =
поля, т. е. подниматься вверх. Обозначим высоту, на которую поднимется жидкий диэлектрик после замыкания ключа, h. Работа, совер-
шенная электрическим полем батареи, равна
По закону со-
хранения энергии работа поля равна сумме изменения энергии
конденсатора и изменения потенциальной энергии жидкости в поле
силы тяжести в тот момент времени, когда подъем жидкости завершен.
.
Изменение энергии конденсатора равно
.
Электроемкость конденсатора после частичного заполнения его
диэлектриком найдем как электроемкость двух конденсаторов, соединенных параллельно, один из которых имеет площадь пластин
и не заполнен диэлектриком, другой с площадью пла-
стин
ницаемостью
заполнен жидким диэлектриком с диэлектрической про-
:
где а – ширина пластин конденсатора.
Изменение энергии конденсатора равно
.
Так как центр масс жидкости поднялся на высоту h/2, то изменение
потенциальной энергии поднятой жидкости будет
.
76
Работа, совершенная электрическим полем батареи,
2
2
0
( 1)
ε ε−
==∆=
ahU
A qU CU
d
2 22
00
( 1) ( 1)
22
ε ε− ε ε− ρ
= +
ahU U ah dah g
dd
1
0=h
2
0
2
2
( 1)2U
h
gd
ε ε−
=
ρ
2
0
2
2
( 1)2U
h
gd
ε ε−
=
ρ
.
Подставим полученные выражения для работы электрического поля, изменения энергии конденсатора и жидкости в закон сохранения
энергии:
.
Найдем корни квадратного уравнения:
,
.
Первый корень соответствует начальному положению жидкости, а
второй является максимальной высотой подъема жидкости через некоторое время после замыкания ключа.
Ответ:
.
77
ОТВЕТЫ
Номер
задания
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
Номер
задания
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
102
112
122
132
142
Номер
задания
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
103
113
123
133
143
Номер
задания
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
104
114
124
134
144
Номер
задания
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
135
145
Номер
задания
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
106
116
126
136
146
Часть 1
Вариант 1
Ответ 2 3 2 4 1 3 3 1 4 1 2 4 2 2 2
Вариант 2
Ответ 4 1 3 1 1 4 4 3 2 4 1 1 2 1 4
Вариант 3
Ответ 1 2 2 2 4 2 1 1 3 1 1 4 1 4 1
Вариант 4
Ответ 4 3 1 3 2 4 4 1 4 2 3 1 2 2 1
Вариант 5
Ответ 3 3 4 2 3 1 4 4 2 4 4 2 3 4 4
Вариант 6
Ответ 2 1 1 4 1 3 1 1 1 1 4 3 2 3 1
78
Окончание таблицы
Номер
задания
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
107
117
127
137
147
Номер
задания
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
108
118
128
138
148
Номер
задания
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
109
119
129
139
149
Номер
задания
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Вариант 7
Ответ 4 4 3 4 3 2 4 1 1 1 1 3 1 3 2
Вариант 8
Ответ 2 2 1 3 1 3 3 1 1 3 3 2 1 1 3
Вариант 9
Ответ 1 3 3 1 2 1 1 2 4 2 4 3 2 2 4
Вариант 10
Ответ 4 2 3 2 4 4 4 2 3 2 2 3 2 2 1
79
ОТВЕТЫ
Номер
задачи
Номер
задачи
к
2
2cos (tg tg )
qEl
W =
α α+ β
2
23
0
16 sin
2
q
Tl=
α
πε
qE
14
2∙10
10
34
1,8∙10
–11
Кл
2
0
tgmdv
U
eL
α
=
2
2
1
4
Ul
yUd=
17
2,93∙107 В/м
37
1 см
12
0
19
А = − 2 мкДж
39
5∙10–4 Кл/кг
20
1340 В
40
1,6∙106 м/с
2
0
=
πε
q
r
mv
2
2
2 (tg 1)
kq
v gh
mh
= + α−
mh
Часть 3
Ответ
11 1,26∙10
12
13
15
m
На 10 см правее заряда q
–3
кг 31
( 1)
gN=−
32 5∙10
33 5,5∙10
35
2
16 16 Н/Kл 36
q
q
18
A EE= −
0
( )
πεε
2
38 500 кВ
Ответ
–8
–16
с
Дж
21 18 кВ/м 41
22
23
q
3
= –3 пКл
q
3
= 17 мВ/мКл
42
43
2
kq q
2 (1 tg )
v gh
= + −α
12
80
Окончание таблицы
Номер
задачи
Номер
задачи
( )
12
0
qq
25
16 В
45
79 мкДж
0
2
0
=
kq
m
gr h
22
2
11 22
общ
22
11 2 2
()ϕ+ ϕ
=
ϕ+ ϕ
СС
С
СС
φ1 = φ
= 77 В;
∆q = 2,4∙10
Кл
Ответ
24 2 кВ 44
26 1,6∙102 м/с 46
27 2,9∙10
–18
Кл 47
28 2∙10–3 м 48
29 3∙103; 1,8∙103 49
30 5 мм; вверх; 0,13 мм/с2 50
Ответ
+
l
=
4
πε ϕ
22
3
qR
h
16=πε ρ
gr
kq
1
µ= +
gll l l
( )2
+
00
1
–10
2
6
v