Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Задачный кейс. Учебно-методическое пособие.pdf
51
Задача 3
1
2
F
3
F
12
0
F
ma
1
F
2
F
3
F
0
F
03 1
2 cos45ma F F F=−−
2
cos452=
2
aR= ω
Четыре одинаковых заряда +q, расположенных в вершинах квадра-
та со стороной а, равномерно вращаются вокруг ядра с зарядом –Q,
расположенного в центре пересечения диагоналей квадрата. Определите частоту вращения зарядов.
На каждый заряд +q действуют четыре силы: со стороны других
,
,
трех зарядов +q: отталкивающие
рых
, и со стороны заряда –Q притягивающая сила
F
F
, равнодействующая кото-
. Равнодей-
ствующая всех четырех сил направлена к центру окружности, по которой движутся заряды, и обеспечивает им центростремительное
ускорение. По второму закону Ньютона:
=
+
+
+
.
Выберем систему отсчета, в которой ось х направлена так, как по-
казано на рисунке. Учитывая, что кулоновские силы F
и F2 равны друг
1
другу по модулю, запишем последнее уравнение в проекциях на ось х
и составим систему уравнений:
• центростремительное ускорение:
; (2)
; (1)
;
52
• по теореме Пифагора
2 22
4 = +Raa
2
1
2
=kqF
a
2
3
2
(2 )
=
kq
F
R
0
2
=
kqQ
F
R
2.ω= πv
2
=aR
22
2
222
22
(2 )
2
22
π = −− ⇒
a kqQ kq kq
m
aaa
v
24
⋅+
2 22
24
⋅+
= −
π
qk Q
a ma q
v
• по закону Кулона
• угловая скорость вращения
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
(7)
Решим полученную систему уравнений (1)–(7), сокращая количе-
ство уравнений до одного, подставляя все в первое уравнение и учиты-
вая, что
.
= −
v
π
qk Q
2 22
a ma q
Ответ:
.
.
53
Задача 4
1
q
2
q
1
ϕ
2
ϕ
1
′
ϕ
2
′
ϕ
1
q
′
2
q
′
1
σ
2
σ
1
′
σ
2
′
σ
W
W
′
1
1
kq
r
ϕ=
2
2
kq
R
ϕ=
1
1
1
q
S
σ=
2
2
2
q
S
σ= ⇒
1
1
2
4qr
σ=
π
2
2
2
4qR
σ=
π
2
1
1
2
kq
Wr=
2
2
2kqR
1
1 12
kq
r
′
′′
ϕ=ϕ=
2
kq
R
′
=
Два заряженных шара соединили длинным тонким проводником.
Первый шар имеет радиус r и заряд
Найдите: 1) потенциалы шаров
сле соединения; 2) заряды шаров после соединения
, второй – радиус R и заряд
и
до соединения и
и
и
.
по-
; 3) по-
верхностные плотности зарядов
сле соединения; 4) энергию системы
и
до соединения и
до соединения и
и
по-
после
соединения; 5) количество выделившейся теплоты Q.
Решение
Условимся считать, что шары до соединения настолько далеко удалены друг от друга, что их взаимодействием можно пренебречь. В
условии задачи на это указывает тот факт, что нить, которой их соединили, была длинной.
1) Потенциалы шаров до соединения
и
.
2) Поверхностные плотности зарядов до соединения:
и
и
.
3) Энергия до соединения равна сумме энергий двух заряженных
сфер:
ность единого проводника всегда эквипотенциальная:
+
.
После соединения потенциалы шаров стали равны, так как поверх-
.
54
По закону сохранения заряда общая сумма зарядов не изменилась,
1
kq
r
′
2
kq
R
′
=
1212
qq qq
′′
+=+
2
q
′
21 121
1
RR
qq qqq
rr
′′ ′
= ⇒+= + ⇒
12
qq
qr
rR
+
+
12
2
qq
qR
rR
+
′
= ⇒
+
1 12
1 12
kq q q
k
r rR
′
+
′′
ϕ=ϕ= =
+
1 12 12
1
22
1
4( )
44
q qq qq
r
rR rrR
rr
′
++
′
σ= = =
+ π+
ππ
2 12 12
2
22
1
4( )
44
q qq qq
R
rR RrR
RR
′
++
′
σ= = =
+ π+
ππ
22
22 2
1 2 12 12 12
1 1( )
2 2 2 2( )
kq kq kqq qq kqq
W rR
r R rR r rR R rR
′′
++ +
′
=+= + =
++ +
заряды просто пришли в движение из-за наличия разности потенциалов, между шарами происходило перераспределение зарядов до тех
пор, пока потенциалы не уравнялись.
Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, из которой найдем заряды шаров после соединения:
Выразим из уравнения (1)
1
:
′
=
;
; (1)
. (2)
.
Вычислим поверхностные плотности зарядов после соединения:
;
.
Энергия шаров после соединения:
.
55
Количество выделившегося тепла равно убыли энергии электриче-
22 2 2
1 2 12 1 2
( )( )
22 2() 2()
+−
′
=−= + − =
++
kq kq k q q k q R q r
QWW
r R rR RrrR
kq
r
2
2
ϕ=
kq
R
12
+
+
qq
rR
12
1
+
′
=
+
qq
qr
rR
12
2
+
′
=
+
qq
qR
rR
12
1
4( )
+
′
σ=
π+
qq
rr R
12
2
4( )
+
′
σ=
π+
qq
Rr R
2
12
()
2( )
+
′
=
+
kq q
W
rR
2
12
()
2( )
−
=
+
kqR qr
Q
Rr r R
1
r
1
r′ε
ского поля:
Ответ: 1)
2)
3)
4)
5)
ϕ=
1
1
и
и
;
;
.
′′
;
ϕ=ϕ=
1 12
.
k
;
;
Задача 5
Металлический заряженный шар помещен в центре толстого сферического слоя, изготовленного: а) из металла; б) из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 2. Нарисуйте картины линий напряженности внутри и вне сферического слоя. Нарисуйте графики
зависимости напряженности и потенциала поля от расстояния до центра сферы.
;
Решение
Напряженность поля в зазоре между шаром и слоем и вне слоя обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра шара,
Внутри металлического слоя напряженность электрического поля равна нулю. Внутри слоя диэлектрика электрическое поле ослабевает в
2 раза,
E
. Потенциал поля внутри металла постоянен, внутри
2
E
.
2
56
зазора и вне слоя диэлектрика обратно пропорционален расстоянию до
1
r
ϕ
1
r
′
ϕε
центра шара
Задача 6
, а внутри слоя диэлектрика
.
Внутри тонкой металлической сферы радиусом R находится металлический шар радиусом r = R/2. Центры шаров совпадают. Через маленькое отверстие в сфере проходит длинный провод, с помощью которого шар заземлен. На сферу помещают заряд Q. Найдите ее
потенциал φ.
57
Решение
0
kQ
R
ϕ=
0+ =⇒=−
kq kQ Qr
q
rR R
22
()
1
kq kQ kQr kQ kQ R r kQ r
RR R R R
RR
−
ϕ=+=− += = −
1
kQ r
RR
ϕ= −
4QRσ=π
Если бы шар не был заземлен, потенциалы сферы и шара были бы
равны
. При заземлении шар получит от Земли такой заряд,
что его потенциал станет равным нулю.
.
По принципу суперпозиции потенциал сферы равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных на поверхности сферы новым зарядом шара и зарядом сферы:
.
Ответ:
Задача 7
Внутрь полой проводящей незаряженной сферы помещен шарик с
зарядом +Q.
1) Как распределятся индуцированные заряды на сфере?
2) Нарисуйте примерную картину линий напряженности внутри и
вне сферы.
3) Будет ли заряд +Q действовать на заряженный шарик, находя-
щийся вне сферы? Опишите подробно, что при этом происходит.
4) Как изменится распределение зарядов, если сферу соединить с
Землей?
.
Решение
На внутренней и наружной поверхности сферы появятся индуцированные заряды, равные соответственно −Q и +Q. Плотность зарядов
на внутренней поверхности сферы неодинакова. Она наибольшая в
точках, находящихся ближе к заряженному шарику. На внешней поверхности сферы заряды оказываются свободными и поэтому распре-
деляются равномерно с поверхностной плотностью:
, где R –
2
58
радиус внешней поверхности сферы. Линии напряженности перпенди-
F qE=
2
Qq
Fk
R
=
кулярны поверхности сферы, так как сфера представляет собой эквипотенциальную поверхность. Число же линий напряженности вне и
внутри сферы должно быть одинаковым. При перемещении шарика
напряженность поля вне сферы изменяться не будет.
Шарик, находящийся внутри сферы, будет действовать на заряженный шарик, находящийся вне сферы с силой, равной
, где
q – заряд шарика, E – напряженность поля вне сферы, линии напря-
женности которого расположены радиально так, как будто заряд +Q,
создающий это поле, помещен в центре сферы независимо от того, где
он там внутри находится. Это значит, что и шарик внутри будет дей-
ствовать на шарик вне сферы с кулоновской силой
.
Если сферу соединить с Землей, то заряды перераспределятся между Землей и сферой таким образом, что на внешней поверхности сферы они будут отсутствовать. Внутри сферы поле останется прежним.
Задача 8
Металлический шарик 1 радиусом R
= 1,0 см прикреплен с помо-
1
щью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего весы
уравновешены гирями. Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2
радиусом R
= 2,0 см. Расстояние между центрами шариков h = 20 см.
2
Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для восстановления равно-
59
весия с чашки весов надо снять гирю m = 4 мг. До какого потенциала φ
1
kq
2
kq
12
Qq q= +
1
1
12
QR
q
RR
=
+
2
2
12
=
+
QR
q
RR
2
22
12
12
12 12
()
()
mgh R R mg
Q hR R
kR R kR R
+
= = +
был заряжен шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1?
Решение
После замыкания шариков 1 и 2 проволочкой их потенциалы уравняются:
1
R
где q
и q2 – заряды шариков после соединения. По закону сохранения
1
2
, (1)
=
R
заряда первоначальный заряд второго шарика Q перераспределится
между двумя шариками:
. (2)
Решая систему из уравнений (1) и (2), находим:
и
.
По закону Кулона сила взаимодействия двух шариков равна:
kq q kQ R R
12 1 2
F mg
= = =
2 22
h RRh
()
+
12
.
Из последнего уравнения найдем заряд, который находился на шарике 2 до соединения его с шариком 1.
.
60
Потенциал шарика 2 найдем по формуле
12 12
2 2 12 2 12
() ()kQ kh R R mg h R R kmg
R R kRR R RR
++
ϕ= = =
2 2 96
4
2 22
0,2(1 10 3 10 ) 9 10 4 10 10
1, 3 10
2 10 1 10 3 10
−− −
− −−
⋅ +⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
ϕ= ≈ ⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅
.
В.
Ответ: φ = 13 кВ.
Задача 9
С высоты Н на горизонтально расположенную бесконечную проводящую плоскость падает частица массой m и зарядом +q. Определите
скорость частицы на расстоянии h < Н от плоскости.
Решение
Под действием заряда +q в пластине происходит перераспределение зарядов, это явление называется электростатической индукцией. На ближней к заряду поверхности пластины образуется отрицательный заряд. На этой пластине заканчиваются все силовые
линии, расположенные над пластиной и выходящие из заряда +q.
Эти линии перпендикулярны плоскости. На поверхности, которая
находится дальше от заряда, появится такой же по величине положительный заряд. Результирующая напряженность поля, созданного
зарядом +q и индуцированными зарядами, внутри пластины равна
нулю. Силовые линии поля поверхностного заряда под пластиной
совпадают с силовыми линиями поля воображаемого заряда –q, рас-
положенного под пластиной на таком же расстоянии, что и заряд +q.
Такой способ рассуждений называется методом изображений: воображаемый заряд –q является как бы
изображением реального заряда +q
в «зеркальной» поверхности пластины. В этом случае задача сводится к рассмотрению движения
заряда +q в поле воображаемого
заряда –q.