Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Задачный кейс. Учебно-методическое пособие.pdf
61
Воспользуемся законом сохранения энергии:
п1 п 2 к 2
= +WWW
п1
0
()
4 (2 )
−
=
πε
qq
W
H
п2
0
()
4 (2 )
−
=
πε
qq
W
h
2
к2
2
=
mWv
2 22
00
4 (2 ) 4 (2 ) 2
− =− +⇒
πε πε
q qm
Hh
v
2
00
11
82
−
= −=
πε πε
q q Hh
m h H mhH
v
0
2
−
=
πε
q Hh
mhH
v
1
v
• потенциальная энергия заряда +q в точке 1
• потенциальная энергия заряда +q в точке 2
• кинетическая энергия заряда в точке 2
; (1)
; (2)
; (3)
. (4)
Подставим выражения (2), (3), (4) в уравнение (1):
.
Задача 10
Частица массой m и c зарядом q движется в электрическом поле за-
крепленного заряда Q того же знака. На расстоянии R
цы равна
заряда Q на расстоянии R
. С какой скоростью будет двигаться частица, находясь от
?
2
Решение
Так как на систему двух зарядов не действуют другие силы, а куло-
новская сила их взаимодействия – сила консервативная, то сумма кинети-
Ответ:
скорость части-
1
.
62
ческой и потенциальной энергий сохраняется. Энергия электростатиче-
22
12
12
22
+=+⇒
RR
vv
2
21
12
2 11
=−−
kqQ
mRR
vv
2
21
12
2 11
=−−
kqQ
mRR
vv
2 22 2
12
01 02
4 24 2
∆∆
+= +⇒
πε πε
q kl q kl
ll
2 22 2
10 20
01 02
() ()
4 24 2
−−
+=+⇒
πε πε
q kl l q kl l
ll
22
0 12 2 0 1 0
21
2 ( )( )
πε − − −
=
−
kl l l l l l
q
ll
22
0 12 2 0 1 0
21
2 ( )( )
πε − − −
=
−
kl l l l l l
q
ll
ского взаимодействия зарядов положительна, поскольку заряды одноименные. По закону сохранения энергии:
m kqQ m kqQ
.
Ответ:
Задача 11
Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые одноименные заря-
ды, соединены пружиной, жесткость которой k, а длина l
леблются так, что расстояние между ними меняется от l
. Шарики ко-
0
до l2.
1
Найдите заряды этих шариков.
Решение
Шарики взаимодействуют с силой упругости и с кулоновской си-
лой. Это консервативные силы, следовательно, полная энергия системы сохраняется, во внутреннюю не переходит.
При максимальном сближении сжатие пружины ∆l
максимальном удалении абсолютное удлинение пружины равно ∆l
= l
− l0. По закону сохранения энергии:
2
= l1 − l0, а при
1
2
=
.
Ответ:
.
.
63
Задача 12
mg
T
22
ll
vv
P
T
2
= +
Pm g
l
v
Маятник ОА представляет собой невесомую тонкую изолирующую
спицу длиной l, на конце которой находится шарик массой m, имеющий заряд q. Второй шарик, заряд которого −q, закреплен в точке С,
причем отрезки ОВ и ВС равны между собой и равны длине спицы l.
Найдите силу, действующую на спицу в момент прохождения шариком точки В. В начальный момент скорость маятника равна нулю, а
угол отклонения от вертикали составил 45°.
Решение
В точке В на шарик действуют две силы: сила тяжести
направленная вертикально вниз, и сила упругости
спицы, направленная вертикально вверх в сторону центростремительного ускорения,
с которым шарик проходит эту точку. По второму закону Ньютона,
записанному в проекциях на ось y:
m
=− ⇒= +
T mg T m g
.
По третьему закону Ньютона на спицу будет действовать со стороны шарика сила
по модулю
, являющаяся весом шарика в этот момент и равная
, но направленная в противоположную сторону, т. е. вер-
тикально вниз:
.
,
64
Скорость шарика в точке В найдем по закону сохранения энергии,
=W mgh
2
0
4
= −
πε
q
W
AC
2
2
=mW
v
2
0
4
= −
πε
q
W
BC
2= ⋅OC l
3= ⋅AC l
2 22
00
4 24
−=−⇒
πε πε
qm q
mgh
AC BC
v
2 22
0
11
23
2
2
0
11
21 1
23
2
= − + − +⇒
πε
q
Pmg g
lm
2
2
0
11
21 1
23
2
= − + − +⇒
πε
q
P mg mg
l
сравнивая энергию системы тел в точке А и в точке В. В точке А шарик
обладает потенциальной энергией в гравитационном поле земли
и потенциальной энергией электростатического взаимодей-
ствия с шариком, имеющим заряд –q,
. Если точку В
принять за нулевой уровень при определении потенциальной энергии
гравитационного взаимодействия, то в этой точке шарик обладает ки-
нетической энергией
тического взаимодействия
Треугольник АОС прямоугольный, в котором
. Высота
= − α= −
hl l
и потенциальной энергией электроста-
.
1
(1 cos ) 1
, а ВС = l по условию.
, а
2
πε
l
0
1
−− =− ⇒
mgl
1
24 3
2
v
= −+ −
21 1 .
gl
q mq
πε
0
2
πε
l
2
q
lm
v
24
Подставим выражение для квадрата скорости шарика в выражение
для веса шарика:
65
( )
2
2
0
1
32 1 .
3
2
= −+ −
πε
q
P mg
l
( )
2
2
0
1
32 1 .
3
2
= −+ −
πε
q
P mg
l
v
2 2 22
0
2
22 2
kq m mgh kq m
mgh
hh
−+ = − +
vv
2 22
0
2 22
mgh kq m m
h
++ =
vv
Ответ:
Задача 13
На горизонтальной поверхности неподвижно закреплен шарик с
зарядом +q. На высоте h по вертикали над ним расположен небольшой шарик массой m и с зарядом –q. Шарик бросают вниз со
скоростью
диться на высоте h/2 над нижним шариком?
. Какая скорость будет у шарика, когда он будет нахо-
0
Решение
Применим закон сохранения энергии, приравнивая энергию шари-
ка на высоте h к энергии шарика на высоте h/2. В этих двух положени-
ях шарик обладает кинетической энергией, потенциальной энергией
как тело, поднятое над Землей, и потенциальной энергией электростатического взаимодействия с другим заряженным шариком:
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия имеет
отрицательный знак в обоих случаях, так как заряды разноименные.
Преобразовывая полученное выражение, получаем:
.
,
66
откуда
2
2
0
2
= ++
kq
gh
mh
vv
mh
22
(2 ) 5=+=al l l
22 2
5
l
.
Ответ:
vv
2
= ++
gh
0
2
2
kq
Задача 14
Маленький шарик массой m и с зарядом +q подвешен на нити длиной l и может совершать колебания в вертикальной плоскости. На расстоянии 2l по вертикали под точкой подвеса закреплен заряд +q . Шарик отклонили так, что нить подвеса приняла горизонтальное положение, а затем отпустили без начальной скорости. Какую скорость будет
иметь шарик в нижней точке траектории?
Решение
Начальное расстояние между шариками найдем по теореме Пифа-
.
гора:
хранения энергии. Когда нить подвеса расположена горизонтально,
шарик имеет потенциальную энергию гравитационного взаимодействия с Землей, которая при возвращении в положение равновесия
уменьшается, и потенциальную энергию электростатического взаимодействия с неподвижным шариком, которая к положению равновесия
возрастает, возрастает также кинетическая энергия шарика.
. Затем составим уравнение по закону со-
2
kq m kq
+ = ++
mgl mgl
v
2
⇒
l
67
22
m kq
2
21
21
5
=+−
kq
gl
ml
v
2
21
21
5
=+−
kq
gl
ml
v
2 2 22
0
0
0
()
( )2 2
− = −− + +
−
kq kq kx m
mgh mg h x
h hx
v
⇒
2 2 22
0
0
0
2 () 2
= + −−
−
m kq kq kx
mgx
hx h
v
⇒
v
= + −⇒
mgl
2
1
l
5
1
.
Ответ:
Задача 15
На горизонтальной плоскости закрепили неподвижно шарик с зарядом –q. Над ним по вертикали подвесили на пружине жесткостью k
шарик массой m и с зарядом +q. Начальное расстояние между ними h.
Верхний шарик отпускают, и он опускается вниз на некоторое расстояние x
. Найдите его скорость в этот момент.
0
Решение
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия шарика с
Землей и потенциальная энергия электростатического взаимодействия
с другим заряженным шариком при движении вниз убывают. Возрастает потенциальная энергия деформированной пружины и кинетическая энергия шарика. Уравнение закона сохранения энергии имеет следующий вид:
.
68
22
0
0
0
2 11
2
()
= + −−
−
kq kx
gx
m hx h m
v
22
0
0
0
2 11
2
()
= + −−
−
kq kx
gx
m hx h m
v
.
Ответ:
Задача 16
В плоский воздушный конденсатор вставляется металлическая
пластинка толщиной d
Заряд на обкладках конденсатора q. Конденса-
0.
тор отключен от источника. Расстояние между пластинами d, площадь
пластин S. Определите изменение емкости конденсатора и энергии его
электрического поля.
Решение
В металлической пластине есть свободные электроны, которые под
действием электрического поля конденсатора приходят в движение в
направлении, противоположном напряженности поля конденсатора. На
левой стороне пластины появляется некомпенсированный отрицательный заряд, а на правой такой же по величине положительный заряд.
Внутри пластины образовалось электрическое поле, напряженность
которого равна по модулю напряженности поля конденсатора и противоположно ему направлена. По принципу суперпозиции полей результирующая напряженность электрического поля внутри металлической
пластины равна нулю. И теперь конденсатор представляет собой совокупность двух конденсаторов, соединенных между собой последовательно (рис. б).
.
69
Электроемкости этих конденсаторов соответственно равны
0
1
1
S
C
l
ε
=
0
2
2
ε
=
S
C
l
1
12
11
−
= +
C
CC
11
1 2 12 0
0 0 0 12
−−
+ε
=+= =
εε ε +
l l ll S
C
S S S ll
12 0
+=−l l dd
0
0
ε
=
−
S
C
dd
0
0
ε=S
C
d
22
1
00
22
= =
ε
q qd
W
CS
( )
0 0 00
0
00
εε ε
∆= − = − =
−−
s s sd
CCC
dd d ddd
21
∆= −WWW
222 2
00
εε ε
0
d
d
ε
sd
2
0
0
2
∆=−
ε
qd
W
S
где l
и l2 – расстояния от обкладок конденсатора до металлической пла-
1
и
,
стины, т. е. толщина диэлектрика соответственно первого и второго конденсаторов. Электроемкость нового конденсатора найдем по формуле
.
Подставим:
,
.
,
Начальная электроемкость без металлической пластины внутри конден-
сатора равна
. Начальная энергия конденсатора
Изменение электроемкости:
.
.
Изменение энергии конденсатора:
∆= − = − =−
q q q d d d qd
W
22 2 2
CC S S S
Энергия электрического поля конденсатора уменьшилась в
;
()
−
0 00 0
Ответ:
VC
=
dd d
( )
00
−
0
.
;
раз.
.
70
Задача 17
12
0
8,85 10
−
ε= ⋅
0
2=ε
q
E
S
=q eN
=N nV
0
=V Sd
0
0
2=ε
end
E
=F eE
2
0
0
2
= = =
ε
F eE e nd
a
mm m
2
0 00
1
2
2
22
ε
= = ⇒= =
d at d m
lt
a
en
0
2
2ε
= =
m
lt
en
vv
Направленный поток электронов вылетает из тонкой длинной щели со
скоростью v = 10
На каком расстоянии от щели ширина пучка электронов увеличится в
2 раза? Масса электрона m = 9∙10
электрическая постоянная
5
м/с и концентрацией электронов в потоке n = 1010 м–3.
–31
кг, заряд электрона е = 1,6∙10
–19
Кл,
Ф/м.
Решение
Будем считать, что щель настолько узка, что расстояние, на котором ширина пучка увеличится в 2 раза, будет много больше ширины
щели d
. В этом случае можно считать, что пучок электронов пред-
0
ставляет собой плоскопараллельную заряженную пластину, создаю-
щую в пространстве электрическое поле с напряженностью
Заряд такой пластины, состоящей из летящих электронов, равен суммарному заряду электронов:
, где
– число электронов,
находящихся в пучке. Объем плоской электронной пластины
Подставим эти величины в формулу для напряженности:
У края пучка на электрон действует сила
, которая сообщает
ему ускорение в направлении, перпендикулярном пучку, которое можно найти по второму закону Ньютона:
.
.
.
Ширина пучка удвоится, когда электрон пройдет с этим ускорени-
ем расстояние
ни, в течение которого происходило расширение пучка. За этот промежуток времени электрон пройдет по горизонтали расстояние
.
– промежуток време-
;