Физика. Оптика, специальная теория относительности, квантовая и ядерная физика. Учебное пособие

51

yy



=

;

zz



=

;

2

1

ux

t

c

t

u

c

−



=

−

.

Эти преобразования переводят сферический фронт волны в системе K´ в сферический фронт волны в системе К. Их называют преобразованиями Лоренца. При низких скоростях они переходят в преобразования Галилея. Полученные формулы осуществляют переход от координат и времени в системе К к координатам и времени в системе K´. Обратный переход осуществляется по формулам:

2

1

x ut

x

u

c



+

=

−

;

yy



=

;

zz



=

;

2

1

ux

t

c

t

u

c



+

=

−

.

Вывод: формулы Галилея не преобразуют сферический фронт световой волны в системе K´ в сферический фронт в системе К, поэтому потребовалось ввести преобразования, которые выполнили бы эту задачу. Такие преобразования были получены, это преобразования Лоренца. При u << c преобразования Лоренца совпадают с преобразованиями Галилея, что отвечает принципу соответствия, согласно которому последующая более общая физическая модель должна включать предыдущую как частный случай.

52

5.3. Следствия СТО

Пусть в системе К вдоль оси х движется стержень со скоростью u (рис. 40).

Рис. 40. Длины стержня в системе K к K´ не совпадают

Длина стержня в системе K´, относительно которой стержень покоится,

0 2 1

L x x



=−

.

Принято называть длину тела в системе отсчета, относительно ко-

торой оно покоится, собственной длиной. Воспользуемся преобразованиями Лоренца для координат:

22

2

1

x ut

x

u

c

−



=

−

;

11

1

2

1

x ut

x

u

c

−



=

−

,

тогда

( )

2 1 2 1

0 2 1

22

11

x x u t t

x x ut ut

L x x

uu cc

− − −

− − +



= − = =

−−

.

53

Если измерение координат

1

x

и

2

x

в системе К проводить одновременно,

то есть

21

tt=

, то

21

0

22

11

x x L

L

uu

cc

−

==

−−



2

0

2

1

u

LL

c

=−

.

Таким образом, измерение длины стержня в системах K и K´ дает различные значения. Из полученной формулы следует, что длина стержня в любой инерциальной системе отсчета, относительно которой стержень движется, всегда меньше длины этого стержня в системе координат, относительно которой стержень покоится.

Поэтому, когда заходит речь о длине тела, необходимо уточнить, относительно какой системы отсчета она определяется.

Следует особо отметить, что релятивистское сокращение длины имеет место только для продольной длины тела, поперечные его размеры остаются неизменными.

Будем полагать, что в точке

x



системы

K



происходит некоторое собы-

тие, например засветилась лампочка, которое начинается в момент времени

1

t



и заканчивается в момент времени

2

t



. Длительность этого события будет

21

t t t

  

− = 

. Соответствующий временной промежуток в системе К можно найти

с помощью преобразований Лоренца. Учитывая, что событие в системе

K



про-

исходит в одной точке

12

xx



=

, получаем

21

22

21

2 2 2 2

1 1 1 1

ux ux

tt

t t t

cc

t t t

u u u u c c c c



++

  

−

 = − = − = =

− − − −

.

Таким образом, наименьший интервал времени между двумя событиями наблюдается в собственной системе отсчета.

Представляет интерес случай, когда одновременно (

21

0tt



−=

) в различных

точках системы

K



(

21

0xx



−

) происходят два случайных события, например

загораются две лампочки. События происходят одновременно с точки зрения наблюдателя в системе

K



. Наблюдатель, находящийся в системе К, обнару-

54

жит, что лампочки загораются не одновременно. Это следует из преобразова-

ний Лоренца. Первая лампочка загорится в момент

1

2

1

2

1

ux

t

c

t

u

c



+

=

−

, а вторая в мо-

мент

2

1

ux

t

c

t

u

c



+

=

−



( )

21

2

21

2

0

1

u

xx

c

tt

u

c



−

− = 

−

.

В природе существуют элементарные частицы μ-мезоны, среднее время жизни которых в неподвижной системе отсчета составляет τ0 = 2 × 10-6 с, за которое они успевают преодолеть расстояние порядка 600 м. В верхних слоях атмосферы под воздействием космических частиц рождаются мезоны со скоростями порядка 0,998 с. Относительно наблюдателя на Земле среднее время жизни таких мезонов будет

0

2

1

u

c



=

−

;

6

2 10

32 10

1 0,996



−



=  

−

с.

Относительно Земли такой мезон пролетает более 9 км и может быть зарегистрирован приборами возле поверхности Земли.

Воспользуемся преобразованиями Лоренца для того, чтобы получить переход от значений скорости тела в системе

K



к значению его скорости в си-

стеме К. Пусть за время

21

t t t

  

 = −

координата тела в системе

K



изменилась на

величину

21

x x x

  

 = −

, тогда

x t









=





. Запишем выражения для координат соот-

ветствующих событий в системе К:

22

2

1

x ut

x

u

c



+

=

−

;

55

11

1

2

1

x ut

x

u

c



+

=

−

;

yy



=

;

zz



=

;

2

1

ux

t

c

t

u

c



+

=

−

;

1

2

1

2

1

ux

t

c

t

u

c



+

=

−

,

тогда

( )

2 1 2 1

22

2

1

x x u t t

x x x

u

c

   

− + −

 = − =

−

;

( )

2 1 2 1

2

21

2

1

u

t t x x

c

t t t

u c

   

− + −

 = − =

−

;

( )

2

22

1

11

u

x u t

xu

c

u

t

u u x

t

c

c c t





 +  −



+

= = =











+



−  +









.

Таким образом,

2

1

u

c





+

=



+

.

56

В предыдущем параграфе было показано, что величина

2 2 2 2 2 2

s x y z c t= + + −

сохраняется при преобразованиях Лоренца. Это означает,

что значения s будут одинаковыми во всех инерциальных системах. Такого рода величины называются инвариантными.

Вывод: из постулатов Эйнштейна следует, что время и пространство, как формы существования и развития материи, неразрывно связаны между собой и образуют единый континуум пространство-время. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется только интервал

2 2 2 2 2 2

= + + −s x y z c t

, а временные интервалы между событиями и длины тел

в различных инерциальных системах различаются.

5.4. Импульс и энергия в релятивистской механике

Рассмотрим случай, когда тело, масса которого в собственной системе отсчета m, движется относительно системы

K



со скоростью

v



, а относительно К

со скоростью v. Скорости

v



и v связаны соотношением:

2

1

vu

v

u

v

c



+

=



+

.

Пусть с телом происходят некоторые события, например был включен и выключен фонарик. В системе

K



эти события разделены временным проме-

жутком

2

'

1

t

v

c







=

−

, а в системе K

2

1

t

v c





=

−

. В собственной системе от-

счета начало свечения и конец происходят в одной точке

соб

x

. В системах

K



и К эти события происходят в различных точках

1

x



и

2

x



;

1

x

и

2

x

, при этом

соб 2 соб 1

21

2 2 2

1 1 1

x v x v v

x x x

v v v

c c c

  

  

+ + 

  

 = − = − =

  

− − −

;

соб 2 соб 1

21

2 2 2

1 1 1

x v x v v

x x x

v v v c c c

  

+ + 

 = − = − =

− − −

.

57

Воспользуемся связью

x





и x, вытекающей из преобразований Лоренца:

2

1

x u t

x

u c

 − 



=

−

;

yy



=

;

zz



=

;

2

1

u

tx

c

t

u

c

 − 



=

−

.

Домножим обе части

x





на

m



, где m и  — масса тела и время свечения

в собственной системе отсчета:

22

2 2 2

11

1 1 1

m u tm

x

vv

mm

tt

x u t

m

cc

x

u u u c c c







 −  −

 − 



  = = −

− − −

;

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1

x m u tm vm um

t

v v v v

t

xm

c c c c

v u u u u

t

c c c c c





−  − − −





= − = −



 − − − − −

.

Введем обозначения:

2

1

x

mv

P

v

c



=



−

;

58

2

1

x

mv

P

v c

=

−

;

2

1

mc

E

v

c



=



−

;

2

1

mc

E

v c

=

−

,

тогда полученный результат можно записать в виде:

2

2 2 2 2

1

1 1 1 1

xx

x

u m c cc

v

uE

PP

c

cc

P

u u u u c c c c



−



= − = −

− − − −

.

Проведем аналогичные действия для

t

:

2

22

11

m u m

tx

m

c

t

uu

cc









  = −

−−

;

2

22

2 2 2

11

1 1 1

m u vm

c

vv

m

cc

v u u

c c c

−−

=−



− − −

;

2

22

2

22

2 2 2

11

1 1 1

mc uv m

c

vv

c

mc

cc

v u u

c

c c c

−−

=−



− − −

;

59

22

11

x

Eu

P

E

cc

c

uu

cc



=−

−−

.

На основании полученных результатов можно записать:

2 2 2

1 1 1

x

u E u E

P

c c c c

P

u u u

c c c



−



=−=

− − −

;

yy

PP



=

;

zz

PP



=

;

2 2 2

1 1 1

xx

E u E u

PP

E

c c c c

c

u u u

c c c

−



=−=

− − −

.

Сравним это выражение с преобразованиями Лоренца:

2

1

u

x ct

c

x

u

c

−



=

−

;

yy



=

;

zz



=

;

2

1

u

ct x

c

ct

u c

−



=

−

.

60

Из сопоставления следует, что компоненты импульса частицы преобразуются как координаты, а величина

E

c

— как ct. Это позволяет в четырехмерном

пространстве записать еще один инвариант:

2

2 2 2

x y z

E

P P P

c



+ + − =

 

invar.

Значение invar найдем из системы:

2

1

x

mu

P

u

c

=

−

;

2

1

mc

E

u c

=

−

;

0

yy

PP



==

;

0

zz

PP



==



( )

22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22

2 2 2 2 2

22

2 2 2 2 2

1

1 1 1 1 1

uc

m u m c m u m c m c u m c

mc

u u u u u

cc

c c c c c

−



−

− = = − = = −

 

− − − − −

,

тогда

2

2 2 2

22

2

x y z

E

P P P m c

c

− − − =

.

Полученные результаты позволяют прийти к выводу о том, что импульс

частицы в СТО определяется формулой

2

1

x

mu

P

u

c

=

−

, а энергия —

2

1

mc

E

u c

=

−

.

Вывод: исходя из преобразований Лоренца и определения массы частицы в собственной системе отсчета показано, как определяется импульс и энергия в СТО. Доказано выполнение законов сохранения этих величин.