Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Оптика, специальная теория относительности, квантовая и ядерная физика. Учебное пособие
.pdf
41
Рис. 33. Иллюстрация угла видимости
Лучи от крайних точек почти параллельны. Если на их пути поместить собирающую линзу, то получится действительное перевернутое уменьшенное изображение, находящееся в фокальной плоскости линзы (рис. 34).
Рис. 34. Ход лучей в телескопе
Из рисунка видно, что
0
1
tg .
22
BA
F
=
В силу малости угла φ0 можем запи-
сать
0
1
.
22
BA
F
=
Для угла зрения окуляра имеет место соотношение
2
2
,
22
BA
F
=
тогда угловое увеличение телескопа будет
21
02
.
F
F
= =
Телескопы рассмотренной конструкции называют телескопами-рефракторами. Телескопы, в которых объективы представляют собой сферические зер-
кала, называются телескопами-рефлекторами.
Угловое увеличение телескопа-рефлектора находится по той же формуле,
что и рефрактора.
И рефлекторы, и рефракторы имеют свои достоинства и недостатки. Так,
рефлекторы свободны от хроматической аберрации, а сферическую аберрацию
можно значительно снижать, придавая зеркалам параболическую форму, однако зеркала большого диаметра чувствительны к прогибам и деформациям.
42
Вывод: сочетание объектива и окуляра (в простейшем случае двух собирающих линз) позволяет увеличивать угол видимости космических объектов со-
гласно формуле
1
2
.
F
Г
F
=
4.5. Разрешающая способность оптических приборов
В предыдущих параграфах рассматривались идеальные оптические системы, в которых всякой точке предмета соответствует только одна точка изображения, среда идеально однородная, луч монохроматичен. В реальности эти
положения не всегда выполняются. Погрешности реальных оптических систем
называются аберрациями. Сферическая аберрация связана с тем, что лучи, удаленные от центра линзы и параллельные оптической оси, не проходят через фокус, в результате чего образуется светлое пятно. Хроматическая аберрация является следствием явления дисперсии. Устранить эти недостатки можно путём
добавления дополнительных линз с аберрацией противоположного знака. Такого рода проблемы характерны для всех оптических приборов. Для телескопов и
микроскопов большую значимость играют погрешности, обусловленные явлением дифракции. Дифракция от круглого отверстия неизбежна (рис. 35). В фокальной плоскости объектива образуется центральный максимум, который быстро спадает и переходит в темное кольцо, затем следует светлое кольцо и т.д.
Интенсивность светлых колец очень быстро убывает. Так, интенсивность первого светлого кольца около 2 % интенсивности центрального.
Рис. 35. Дифракционная картина от круглого отверстия
Для первого темного кольца выполняется формула:
1
sin 1,22 ,D
=
где D — диаметр отверстия, λ — длина волны света.
43
Исходя из рис. 36, можно записать выражение для радиуса первого темного кольца:
1 1 1
tg ; 1,22 ,
F
r F r
D
==
где F — фокусное расстояние объектива.
Допустим, что телескоп направлен на две звезды с углом видимости ψ
(рис. 36).
Рис. 36. Изображение двух звезд в телескопе
В точках M и N будут находиться середины центральных максимумов
(рис. 37).
Рис. 37. Положение центральных максимумов дифракционных картин
от двух источников
Если угол видимости звезд уменьшать, то точки M и N приблизятся. Минимальное расстояние, когда центральные максимумы еще различаются и не
сливаются в общее пятно, соответствует положению, при котором первое темное кольцо вокруг точки M проходит через точку N. В этом случае минимальные угловые расстояния между звездами ψ0 окажутся равными углу φ1. Угол ψ0
называют предельным углом разрешения:
0
1,22
.
D
=
44
Величина, обратная предельному углу разрешения, называется разрешающей силой:
0
1 1,22
.
D
=
Предельный угол разрешения для глаза может быть определен с помощью
формулы
9
3
0
3
0,6 10
1,22 0,3 10 рад,
2 10
−
−
−
= =
что соответствует значениям этой величины, полученным из биологических данных строения глаза.
Разрешающая способность микроскопа характеризуется минимальной величиной расстояния между двумя точками предмета, видимыми на изображении
раздельно:
A
l
61,0=
,
где
sin
2
An
=−
числовая апертура объектива;
−
угол, под которым виден диа-
метр объектива из точки предмета, лежащей на оптической оси (угловая апертура);
n−
показатель преломления среды, в которой находится предмет.
Микроскопы, в которых пространство между предметом и объективом заполнено жидкостью с большим показателем преломления, называют иммерси-
онными. Предметы размером менее 0,3 мкм визуально в оптический микроскоп
не различаются.
Из формулы для lследует, что увеличение разрешающей способности
микроскопа связано с переходом к более коротким волнам ультрафиолетового
и рентгеновского диапазонов. При этом возникает ряд проблем, например создание соответствующих линз, решение которых затруднительно.
Законы квантовой механики позволяют увеличить l многократно. Согласно формуле де Бройля, с движением квантовой частицы связывается рас-
пространение соответствующей этой частице волны с длиной волны
,
h
mV
=
где h — постоянная Планка, m — масса частицы, V — скорость частицы.
45
Если частица заряжена, то роль линз могут выполнять электрические и магнитные поля определенных конфигураций. Изображение можно наблюдать на
флуоресцирующем экране либо фотопластинке. Так, разрешающая сила электронного микроскопа превосходит разрешающую силу оптического в несколько
тысяч раз, однако ограничения по-прежнему определяются дифракцией соответствующих волн де Бройля.
Выводы:
1) в рамках модели геометрической оптики геометрическое расположение
точек изображения должно быть подобно геометрическому расположению точек предмета;
2) при использовании реальных оптических систем возникают искажения
изображения (аберрации);
3) если сферические и хроматические аберрации можно компенсировать,
подбирая пары линз с различными значениями аберрации, то искажения, обусловленные природой света, устранить принципиально нельзя;
4) они и определяют разрешающую способность оптических приборов,
например, предметы меньше 0,3 мкм визуально в оптическом микроскопе
неразличимы;
5) эти же явления ограничивают разрешающую способность и в электронной оптике.
46
5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Жаден человеческий разум. Он не может
ни остановиться, ни пребывать в покое,
а порывается все дальше.
Ф. Бэкон
5.1. Скорость света и принцип относительности Галилея
Из модели электромагнитных явлений Максвелла следует, что скорость
распространения световых волн в вакууме определяется формулой
00
1
с
=
,
где ε0 и μ0 — постоянные величины. Получается, что скорость света во всех
инерциальных системах отсчета, как неподвижных, так и подвижных, должна быть
одинаковой. Этот вывод находится в противоречии с классическим принципом
относительности Галилея. Остановимся на нем более подробно. Пусть имеются
две инерциальные системы отсчёта K и K´ (рис. 38).
Рис. 38. Инерциальные системы отсчета K и K´
Система K´ движется относительно системы К со скоростью u вдоль оси х.
Связь между координатами в системах K и K´ определяется формулами:
x x ut
=−
;
yy
=
;
47
zz
=
.
Выражения для изменения координат за промежуток времени Δt будут
иметь вид:
x x u t
= −
;
yy
=
;
zz
=
,
тогда
x x t
u
t t t
=−
;
u
=−
.
Из полученной формулы следует, что скорости тела в системах K и K´ раз-
личны, а ускорения будут одинаковыми:
( ) ( )
2 1 2 1 2 1
uu
− = − − − = −
=
tt
=
;
aa
=
.
Учитывая, что основным уравнением классической механики является
уравнение Ньютона
ma F=
,
где m — масса, являющаяся во всех инерциальных системах величиной постоянной, приходим к выводу, что второй закон Ньютона имеет одинаковый вид
в обеих системах K и K´ и отличается только обозначением переменных:
ma F=
;
ma F
=
.
Уравнение, которое не меняется при преобразованиях входящих в него
переменных, называется инвариантным по отношению к этим преобразованиям. В рассмотренном случае уравнение Ньютона инвариантно по отношению
48
к преобразованиям Галилея. Так как основное уравнение механики инвариантно, то и все механические явления протекают одинаково во всех инерциальных
системах отсчета, равномерно и прямолинейно движущихся друг относительно
друга. Таким образом, состояние равномерного прямолинейного движения системы не оказывает влияния на механические явления. Тождественные опыты,
поставленные в различных инерциальных системах отсчета, дают тождественные результаты. Галилей в доказательство принципа относительности в механике приводил пример о том, что если на движущемся с постоянной скоростью
корабле закрыть шторы на окнах, то невозможно никакими механическими опытами выявить, покоится корабль или движется.
Допустим теперь, что в системе K´ находится источник света, который
излучает свет, тогда скорость света в системе К, по Галилею, будет равна
c
=+
,
то есть будет превышать с.
Этот результат и противоречит выводам электродинамики о постоянстве
скорости света в инерциальных системах. Фундаментальное решение этой проблемы, затрагивающее пересмотр представлений о пространстве и времени, было предложено Альбертом Эйнштейном в 1905 г.
Вывод: в конце XIX в. в физике сложилась ситуация, когда следствия из
модели механических явлений пришли в противоречие со следствиями из модели электродинамики Максвелла. Преобразования Галилея не совмещаются
с постоянством скорости света в различных инерциальных системах отсчета. Решение этих проблем привело к созданию новой физической теории, получившей
название специальной теории относительности (СТО).
5.2. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца
В 1905 г. вышла статья Альберта Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», в которой предлагалась новая физическая модель, базировавшаяся на двух постулатах. В первом принцип относительности Галилея обобщался
на все явления, а не только на механические. Во втором констатировалось, что
скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. В СТО рассматриваются физические явления, происходящие в инерциальных системах отсчета. Рассмотрим, как выглядит излучение цуга волн в двух инерциальных системах отсчёта K и K´. Будем полагать, что система K´ движется относительно
49
системы К с относительной скоростью u, направленной вдоль оси ох, при этом
oy ׀ ׀ oy'; oz ׀׀oz' (рис. 39).
Рис. 39. Движение системы K´ относительно системы K
Момент времени, когда О и
O
совпадали, примем за начало отсчета вре-
мени t = 0. Полагаем, что в этот момент началось излучение, которое длилось
в системе K´ время
t
, а в системе К время t. Фронтом волны в системе K´ будет
сфера, радиус которой
R
можно найти из двух соотношений:
2 2 2
R x y z
= + +
;
R ct
=
,
тогда справедливо выражение
2 2 2 2 2
x y z c t
+ + =
.
Аналогичные рассуждения можно провести для фронта световой волны в
системе К и получить выражение:
2 2 2 2 2
x y z c t+ + =
.
Очевидно, что полученные уравнения не являются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея. Чтобы это происходило, преобразования
Галилея нужно видоизменить:
( )
x x ut
=−
;
yy
=
;
50
zz
=
;
t ax bt
=+
,
где , a, b — коэффициенты, которые можно найти.
Для этого сделаем подстановку в уравнение для фронта волны в системе K´:
( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2x y z c t x ut y z c ax bt x xut u t y z
+ + − = − + + − + = − + + + −
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2c a x c axbt c b t c a x ut c abt x y z u c b t
− − − = − − + + + + −
.
Если положить
2 2 2
1ca
−=
;
22
2 2 0ut c abt
+=
;
2 2 2 2 2
u c b c
− = −
,
то, решая соответствующую систему из трех уравнений, можно найти три неизвестные величины:
2
2
2
1
u
c
a
u
c
−
=
−
;
2
2
1
1
b
u
c
=
−
;
2
2
1
1
u
c
=
−
.
тогда
2
2
1
x ut
x
u
c
−
=
−
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]